蔣瑩瑩，王惠文（云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500）

基于非線性效用函數(shù)的多屬性模糊決策分類算法

蔣瑩瑩，王惠文
（云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500）

模糊環(huán)境下，基于非線性效用函數(shù)和級(jí)別優(yōu)于關(guān)系的分類算法提供一個(gè)好的分類決策方法.此方法利用模糊理論及模糊數(shù)排序準(zhǔn)則將含有三角模糊數(shù)的決策模型轉(zhuǎn)換成普通決策模型，再采用加權(quán)求解的方法將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)換成單一目標(biāo)規(guī)劃.通過數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證算法的有效性.

非線性效用函數(shù)；模糊理論；三角模糊數(shù)；加權(quán)

0 引言

多屬性決策問題是在考慮多個(gè)屬性狀態(tài)下，選出最優(yōu)的方案或?qū)Ψ桨高M(jìn)行排序的分類決策問題.普遍存在于經(jīng)濟(jì)、社會(huì)生活的方方面面.由于人類思維的模糊性和客觀事物的復(fù)雜性，客觀實(shí)際中存在眾多的模糊性事件和現(xiàn)象，促使人們尋求建立一種適于描述模糊事物和現(xiàn)象的邏輯模式.美國(guó)控制論專家Zadeh［1］教授清楚地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)為什么會(huì)與人腦思維相分離和從什么地方開始分離的本質(zhì)之后，重新把模糊性和數(shù)學(xué)統(tǒng)一在一起.1965年Zadeh教授第一次提出模糊集［2］的概念，用隸屬函數(shù)［2］來刻畫元素對(duì)集合屬于程度的連續(xù)過度性.模糊集合理論自誕生以來研究的范圍變得廣闊，從開始的模糊集合，發(fā)展為模糊數(shù)、模糊代數(shù)、模糊積分、模糊規(guī)劃、模糊圖論等眾多的分支，擴(kuò)展數(shù)學(xué)研究的層面.同時(shí)效用理論［2-3］作為評(píng)價(jià)與度量的基礎(chǔ)漸漸被社會(huì)大眾接受.大部分的決策亦是借助于效用函數(shù)［3］來對(duì)方案進(jìn)行選優(yōu)和分類.總結(jié)閆艷［4］、郭嗣宗［5］等人研究的模糊數(shù)排序方法，提出新的模糊數(shù)排序準(zhǔn)則轉(zhuǎn)換決策模型進(jìn)行決策.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 偏好于效用函數(shù)

定義1［3］嚴(yán)格序“?”：a?b（或記作aPb）的含義是“a優(yōu)于b”；若非外界因素的強(qiáng)迫，決策人只會(huì)選擇a而不會(huì)選擇b.

定義2［3］無差異“～”：a～b（或記作aIb）的含義是“a無差異于b”；決策人對(duì)選擇a或b同樣滿意.

定義3［3］弱序“”：ab（或記作aRb）的含義是“a不劣于b”，即a優(yōu)于或無差異于b.

定義4［3］在集合P上的實(shí)值函數(shù)u，若它和P上的優(yōu)先關(guān)系一致，即若P1,P2∈P,P1P2當(dāng)且僅當(dāng)則稱u為效用函數(shù).

1.2 隸屬度

定義5 論域X到［0，1］閉區(qū)間上的任意映射都確定X上的一個(gè)模糊集?，μA?叫做?的隸屬函數(shù)［2］，叫做x對(duì)?的隸屬度，記為顯然，模糊?完全由隸屬函數(shù)刻畫，當(dāng)時(shí)，A?退化為A退化為特征函數(shù)CA(x).

1.3 三角模糊數(shù)

用有序三元組數(shù)表示，其中分別表示?的下限和上限，n為?的中間值.其隸屬程度定義如下：

1.4 不同類型屬性指標(biāo)值歸一化

（1）收益類模糊指標(biāo)值的歸一化

設(shè)有m個(gè)模糊指標(biāo)值令如果是三角模糊數(shù)，記為bi,ci分別為的左右邊界值；則歸一化［3］的模糊指標(biāo)值可寫為

（2）成本類模糊指標(biāo)值的歸一化

設(shè)有m個(gè)模糊指標(biāo)值如果是三角模糊數(shù)，記為分別為的左右邊界值；則歸一化的模糊指標(biāo)值可寫為

2 算法描述

假定用于分類所用的決策模型中的效用函數(shù)u(x)是非線性的，即其中未知.

決策者從D中選取一個(gè)初始參照方案xr，令Cr={xr}，任取xi∈D決策者根據(jù)偏好進(jìn)行判斷，若xi劣于xr，令并將xi從D中排除，同時(shí)生成約束條件（ε為一個(gè)取定的小的正數(shù)）；若xi與xr無差異，將xi歸放到Cr類中并從D中排除亦生成約束條件w∈Λ；若xi優(yōu)于xr，則令同樣把xi從D中排除并生成約束

決策者通過下面的決策模型對(duì)?xk∈D與xr進(jìn)行判斷并分到相應(yīng)的類別中：

其中w∈Λ，“*”表示"≥,=,≤".即

采用加權(quán)方法求解，上面的多目標(biāo)線性規(guī)劃可轉(zhuǎn)換為：

處理步驟如下：

第1步：任取xr∈D作為初始的參照方案，令Cr={xr}，Cl=?，Cy=?，K=1.

第2步：任取xi∈D，將xr與xi由決策者通過效用函數(shù)評(píng)判；若xi優(yōu)于xr則轉(zhuǎn)至第3步；若xi無差異于xr，則轉(zhuǎn)至第4步；若xi優(yōu)于xr則轉(zhuǎn)至第5步.

第3步：令Cy=Cy?{xi}，生成約束條件若K≠1，將約束條件加入到規(guī)劃（15）（16）的約束中，轉(zhuǎn)至第6步.

第4步：Cr=Cr?{xi}，生成約束條件將約束條件加入到規(guī)劃（17）（18）的約束中，轉(zhuǎn)至第6步.

第5步：Cl=Cl?{xi}生成約束條件將約束條件加入到規(guī)劃（15）（16）的約束中，轉(zhuǎn)至第6步.

第6步：處理D中xk方案，求規(guī)劃（15），若Smax≤-ε，再求解規(guī)劃（16），若smin≤-ε則令Cl=Cl?{xk}，并在規(guī)劃（15）（16）加入約束若Smax≥ε，令Cy=Cy?{xk}，并在規(guī)劃（15）（16）加入約束w∈Λ；若令并在規(guī)劃（15）（16）加入約束w∈Λ，否則將xk用其他方法處理.判別xk之后將其從D中刪除.對(duì)D中其余方案同樣 處理.

第7步：當(dāng)D中所有方案處理完即可停止，否則令K=K+1，返回第2步.

按上面的方法步驟將D中方案被分為Cr、Cl和Cy三類.

3 算例

為了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況對(duì)云南師范大學(xué)本科學(xué)生體育鍛煉等級(jí)以問卷的形式做詳細(xì)調(diào)查，主要是鍛煉行為及歸因方式、心境的調(diào)查.對(duì)學(xué)生鍛煉情況從外部身體的體能鍛煉到內(nèi)部心境的綜合評(píng)定判斷其等級(jí)情況.其中心境量表主要從緊張、憤怒、疲勞、抑郁、精力、慌亂、自尊這7個(gè)方面進(jìn)行考量，現(xiàn)從統(tǒng)計(jì)表中抽取部分同學(xué)的心境指標(biāo)值進(jìn)行心境程度的分類.

現(xiàn)從眾多問卷表中抽4人進(jìn)行心境分類.用x1,x2,x3,x4和x5分別代表依次抽到的4位同學(xué).方案集D=（x1,x2,x3,x4,x5）.

用xi=（xi1,xi2,xi3,xi4,xi5,xi6,xi7）表示第i位同學(xué)心境的7個(gè)屬性的指標(biāo)值.其中緊張、憤怒、疲勞、抑郁、慌亂屬于成本類指標(biāo)，精力和自尊屬于收益類指標(biāo).由于問卷調(diào)查的調(diào)查項(xiàng)具有模糊性所以屬性指標(biāo)值用三角模糊數(shù)表示，這4位同學(xué)的模糊屬性值矩陣如下:

由于指標(biāo)的類型不同不便于直接應(yīng)用決策模型，所以要用不同類型指標(biāo)值的歸一化方法進(jìn)行歸一化處理，處理如下：

由規(guī)劃（15）和（16）決策模型進(jìn)行抉擇，運(yùn)用LINGO.11求解.取x1為初始參照方案，根據(jù)體育心理測(cè)試的依據(jù),x1的心境屬于良.令Cr={x1}，再取x2由決策者與x1作比較，x2劣于x1，則令Cl={x2}，x2的心境為中等.把x2從D中刪除同時(shí)生成約束條件

加入到（15）式,再取x3與x1進(jìn)行比較規(guī)劃如下：

求解得Smax=0.501 9>0.1.即x3優(yōu)于x1，把x3歸并到Cy={x2}中則有Cy={x3}.x3心境為優(yōu).同時(shí)生成約束條件

加入到新的規(guī)劃（17）中，同樣把x4與x1用如下規(guī)劃進(jìn)行比較

求解得Smax=-0.324 1<-0.1，再求解規(guī)劃（16）得smin=-0.392 3<-0.1.則x4劣于x1，將x4歸到Cl中則有Cl={x2,x4}.x4心境中等.同樣把x5與x1用如下規(guī)劃進(jìn)行比較：

求解得Smax=-0.490 8<-0.1，再求解規(guī)劃（16）得smin=-0.605 4<-0.1,則x5劣于x1.將x5歸到Cl中則有Cl={x4,x5}.x5心境中等.此時(shí)D=?，得到的分類結(jié)果為中等Cl={x2,x4,x5}，良Cr={x1}，優(yōu)

4 總結(jié)

本文針對(duì)有限集的方案分類問題提出一種基于非線性的效用函數(shù)作為決策模型的目標(biāo)函數(shù)的決策方法.該模型比線性的更能迎合決策者的需求條件，運(yùn)用模糊理論把三角模糊數(shù)的規(guī)劃轉(zhuǎn)化為精確規(guī)劃也更便于方案間的比較分類.模糊理論補(bǔ)充數(shù)學(xué)研究中嚴(yán)格精確的準(zhǔn)則所不能解決的由不確定或模糊信息表述的問題.模糊理論通過隸屬度，模糊數(shù)到精確數(shù)的轉(zhuǎn)化，利用人類的智慧理解語言的模糊內(nèi)含和外延，將各方面的知識(shí)互相轉(zhuǎn)化.最后通過數(shù)值實(shí)例來運(yùn)用和檢驗(yàn)此模糊算法的可行性.

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A Classification Algorithm Based on Nonlinear Utility Function for Fuzzy Multiple Attribute Decision Making

JIANG Yingying，WANG Huiwen
（School of Mathematics，Yunnan Normal University，650500，Kunming，Yunnan，China）

A classification algorithm is presented based on nonlinear utility function and outranking relation which provides a decision making under fuzzy environment.This method use fuzzy theory which can transform the decision programmingwith triangular fuzzy number into common decision programming，andoperates with the weighted method which change multiple objective programming into single objective programming.Finally，an illustrative numerical example is provided to demonstrate the efficiency of the proposed method.

nonlinear utility function；fuzzy theory；triangular fuzzy number；weighted method

O 223

A

2095-0691（2017）02-0028-08

2016-12-05

云南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2013FB034）

蔣瑩瑩（1990— ），女，安徽宿州人，碩士生，研究方向：決策分析.

王惠文（1975— ），男，江蘇鎮(zhèn)江人，博士，副教授，主要從事決策分析方面研究.