●方亞斌
(南頭中學(xué) 廣東深圳 518052)
一道國(guó)外數(shù)學(xué)名題的研究性學(xué)習(xí)*
●方亞斌
(南頭中學(xué) 廣東深圳 518052)
文章以第2屆“友誼杯”國(guó)際數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽的一道試題為題根,通過(guò)類(lèi)比推廣、拓展構(gòu)造、變換移植,演繹出一批又一批形式優(yōu)美、風(fēng)格獨(dú)特的經(jīng)典試題,讓名題的價(jià)值世代相傳.
特例;推廣;置換;拓展;演繹
例1 已知a,b,c>0,求證:
(a+b+c).
(第2屆“友誼杯”國(guó)際數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)
這道世界名題猶如一顆閃爍的明珠,璀璨奪目,光彩照人,歷經(jīng)歲月不斷的洗禮,仍舊閃爍著真理的光輝,傳承著名題的智慧和力量.幾十年來(lái),以這道名題為背景,各級(jí)各類(lèi)命題專(zhuān)家探驪尋珠,通過(guò)類(lèi)比推廣、拓展構(gòu)造、變換移植,演繹出一批又一批形式優(yōu)美、風(fēng)格獨(dú)特的經(jīng)典試題,讓名題的價(jià)值世代相傳.
為了便于探究,筆者首先考察問(wèn)題的由來(lái):
筆者將從6個(gè)角度進(jìn)行探究.
探究思路1 特例考察
考察式(1)的特例:令a+b+c=1,得:
(2014年哈爾濱工程大學(xué)自主招生試題)
探究思路2 推廣引申
考察式(1)的一般情形,將3個(gè)正數(shù)推廣為n個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an,由上述推導(dǎo)過(guò)程,易知
令a1+a2+…+an=1,可得:
(第24屆全蘇中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽10年級(jí)試題第2題)
例3的等價(jià)問(wèn)題是:
例4 設(shè)ai,bi∈R+(其中i=1,2,…,n),且a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn,求證:
(1991年亞太地區(qū)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第3題)
例3或例4的一個(gè)變式問(wèn)題是:
(《數(shù)學(xué)通報(bào)》1994年11月號(hào)問(wèn)題925)
探究思路3 置換分母
根據(jù)式(1)的結(jié)構(gòu)特征,若保持左邊的分子不變,置換分母,則可以衍生一批新的不等式.
若將式(1)左邊的3個(gè)分母b+c,c+a,a+b分別用a+b,b+c,c+a替換,分子不變,則可得式(1)的一個(gè)“孿生”不等式:
例6 若a,b,c>0,則
(a+b+c).
(《數(shù)學(xué)通報(bào)》1995年4月號(hào)問(wèn)題946)
式(2)顯然成立(事實(shí)上,由式(1)推導(dǎo)過(guò)程不難知道,其左邊3項(xiàng)的分母b+c,c+a,a+b可以按照任意次序交換,分子不變,不等式仍然成立).若將式(1)左邊的3個(gè)分母b+c,c+a,a+b分別用b+c-a,c+a-b,a+b-c替換,分子不變,可得:
例7 設(shè)a,b,c是△ABC的3條邊,求證:
c.
(《數(shù)學(xué)教學(xué)》1996年1月號(hào)問(wèn)題384)
若將式(1)左邊的3個(gè)分母b+c,c+a,a+b分別用b-1,c-1,a-1替換,分子不變,則可得:
(《數(shù)學(xué)教學(xué)》1999年4月號(hào)問(wèn)題488)
例8的一種退化情形是:
(第26屆獨(dú)聯(lián)體數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽10年級(jí)試題第1題)
例8和例9的一般情形是:
例10 如果ai>1(其中i=1,2,…,n),則
事實(shí)上,由柯西不等式的變式可得
若考察例8的一個(gè)類(lèi)似情形,即假定a>b>c,則
進(jìn)一步可得:
(第32屆烏克蘭數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)
若將式(1)左邊的3個(gè)分母b+c,c+a,a+b分別用b+2c,c+2a,a+2b替換,則
若令a+b+c=1,或abc≥1,則可得:
例12 已知正數(shù)x,y,z滿(mǎn)足x+y+z=1,求證:
(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考自選模塊試題)
(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考自選模塊試題)
探究思路4 置換分子
根據(jù)式(1)的結(jié)構(gòu)特征,若保持分母不變,適當(dāng)改變分子的次數(shù),則又可以衍生一批新的不等式.
如將式(1)的分子a2,b2,c2分別用a,b,c替換,分母不變,注意到
(第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)
例14的一般情形是:
例15 設(shè)ai∈R+(其中i=1,2,…,n),且n≥2,a1+a2+…+an=s,求證:
(1976年英國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)
例15的一個(gè)變式是:
例16 設(shè)ai∈R+(其中i=1,2,…,n),且a1+a2+…+an=1,求證:
(1982年西德數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)
同理可得
2個(gè)式子相加得
從而
同理可得
3個(gè)式子相加得
由柯西不等式知
即
若令a+b+c≥1,可得:
(2013年摩爾多瓦國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)試題)
式(1)的“孿生”不等式為
(a+b+c).
將左邊的分子a2,b2,c2分別用a3,b3,c3替換,分母不變,便有
(4)
式(4)+式(1),得
若再令a+b+c=1,可得:
例18的推廣形式如下:
例19 設(shè)ai∈R+(其中i=1,2,…,n),且a1+a2+…+an=1,求證:
式(4)可以拓展為:
例20[1-2]設(shè)ai∈R+(其中i=1,2,…,n),且n≥2,求證:
(1996年《數(shù)學(xué)教學(xué)》5月號(hào)問(wèn)題405)
若再令a1a2+a2a3+a3a4+a4a1=1,可得:
例21 設(shè)a,b,c,d是滿(mǎn)足ab+bc+cd+da=1的正實(shí)數(shù),求證:
(第31屆IMO預(yù)選試題)
探究思路5 換元改造
進(jìn)一步得:
(《數(shù)學(xué)教學(xué)》1995年3月號(hào)問(wèn)題364)
若把式(1)中的a,b,c分別用bc,ca,ab替換,且令abc=1,則
即
進(jìn)一步得:
(第36屆IMO試題)
即
進(jìn)一步得:
(2009年韓國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)
探究思路6 拓展演繹
若將式(1)左邊的3個(gè)分母b+c,c+a,a+b分別用3個(gè)正數(shù)b,c,a替換,則
(5)
若令a+b+c=1,則可得:
(2013年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科試題第24題)
若將式(5)左邊的3個(gè)分母b,c,a分別用c,a,b替換,分子不變,則可得式(5)的一個(gè)“孿生”不等式
若令a+b+c=1,并去分母,則可得a3b+b3c+c3a≥abc,這就是:
例26 設(shè)正數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a+b+c=1,求證:a3b+b3c+c3a≥abc.
(1984年列寧格勒數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)
式(5)的一般情形是:
(1984年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第2試試題)
式(5)還可以作如下變形
(b+c)2(c+a)(b-a)+(c+a)2(a+b)(c-b)+(a+b)2(b+c)(a-c)≥0,
再將上式中的b+c,c+a,a+b分別a′,b′,c′替換,容易驗(yàn)證a′+b′>c′,b′+c′>a′,c′+a′>b′,則a′,b′,c′可看成是一個(gè)三角形的3條邊長(zhǎng),得
a′2b′(a′-b′)+b′2c′(b′-c′)+c′2a′(c′-a′)≥0,
進(jìn)一步得:
例28 設(shè)a,b,c是一個(gè)三角形的3條邊長(zhǎng),求證:a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,并判斷等號(hào)何時(shí)成立.
(第24屆IMO試題)
筆者希望通過(guò)對(duì)例1的探究,讓讀者在品味數(shù)學(xué)名題背景、感受數(shù)學(xué)名題魅力的同時(shí),體會(huì)到數(shù)學(xué)名題的科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值,“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”般地受到數(shù)學(xué)名題的熏陶,進(jìn)而提高興趣、增強(qiáng)素養(yǎng)、明澈思維、啟迪心智、豐富情感、完善人格,收獲數(shù)學(xué)名題的知識(shí)、方法、思想、能力,領(lǐng)略數(shù)學(xué)名題給我們帶來(lái)的力量、情懷和溫暖.
[1] 查正開(kāi).探究一類(lèi)分式不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2014(1):28-31.
[2] 楊晉.一個(gè)不等式變形的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,1999(12):44-46.
2016-11-30;
2016-12-30
2014年廣東省教育研究院教育研究課題(GDJY-2014-A-b390);2016年廣東省深圳市遴選“好課程”(深教[2016]619號(hào))部分內(nèi)容
方亞斌(1964-),男,湖北黃梅人,湖北省特級(jí)教師.研究方向:數(shù)學(xué)教育.
O122.3
A
1003-6407(2017)04-20-06