伍玩秋

（陽江職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電系，廣東陽江529500）

時域分析法在系統(tǒng)響應(yīng)分析中的應(yīng)用

伍玩秋

（陽江職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電系，廣東陽江529500）

對系統(tǒng)的時間響應(yīng)分析是揭示系統(tǒng)本身動態(tài)特性的有效途徑。時域分析法充分運用拉普拉斯變換（下稱“拉氏變換”）規(guī)則，重視發(fā)揮數(shù)學(xué)模型的優(yōu)勢作用，在系統(tǒng)響應(yīng)分析中具有獨特而重要的應(yīng)用。其基本思路是：運用物理規(guī)律，建立反映系統(tǒng)本質(zhì)的微分方程；通過拉氏變換及待定系數(shù)法求出系統(tǒng)輸入信號后的響應(yīng)輸出信號的拉氏變換式；利用拉氏反變換，求出系統(tǒng)響應(yīng)輸出信號的實變量函數(shù)解析式；再通過應(yīng)用軟件作出系統(tǒng)響應(yīng)曲線；最后結(jié)合曲線進行必要的數(shù)學(xué)運算和推理，完成對系統(tǒng)有關(guān)性能的分析和總結(jié)。

時域分析法；拉普拉斯變換；系統(tǒng)響應(yīng)；思路

1 引言

在經(jīng)典控制理論中，系統(tǒng)時間響應(yīng)是指系統(tǒng)在外加作用（信號輸入）的激勵下，其輸出量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系；時域分析法通常是指直接從微分方程或間接從傳遞函數(shù)出發(fā)去分析系統(tǒng)問題的方法。時域分析法是系統(tǒng)時間響應(yīng)分析中常用的方法，但對方法應(yīng)用的一般規(guī)律卻探討得較少。本文試圖以常用的單位階躍信號為系統(tǒng)輸入信號，以典型一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）的時間響應(yīng)分析為例，以探求時域分析法在系統(tǒng)響應(yīng)分析中的基本思路。

2 系統(tǒng)微分方程的建立

【例】圖1所示為慣性調(diào)節(jié)器，其中ui為輸入信號，uo為輸出信號，設(shè)初始條件為零。請運用時域分析法分析其單位階躍響應(yīng)輸出性能。

解決問題的第一步是建立反映系統(tǒng)本質(zhì)規(guī)律的微分方程。

根據(jù)基爾霍夫電流定律（KCL）有：

由于運算放大器的開環(huán)增益很大，這時可認為：

式（1）即為慣性調(diào)節(jié)器的微分方程。

圖1 慣性調(diào)節(jié)器

3 運用時域分析法進行系統(tǒng)響應(yīng)分析的過程

3.1 求出輸出信號的拉氏表達式

將系統(tǒng)微分方程兩邊進行拉氏變換：

因輸入信號是單位階躍信號，且初始條件為0（即t≥1），所以ui（t）＝I（t）＝1，這時有，代入式（1）得：

式（3）即為輸出信號的拉氏表達式

3.2 用待定系數(shù)法求出輸出信號拉氏表達式的分式和的形式

先將式（3）變成含待定系數(shù)A、B的分式和的形式：

對比式（3）和式（4），可求得A＝1，B＝－T代入式（4）得：

3.3 通過拉氏反變換得出響應(yīng)輸出信號的函數(shù)解析式

根據(jù)常用函數(shù)拉氏變換對照表，將式（5）分項進行拉氏反變換，得出響應(yīng)輸出信號的函數(shù)解析式。

3.4 應(yīng)用仿真軟件（如Simulink）作出系統(tǒng)響應(yīng)曲線

式（6）的函數(shù)圖像即為慣性調(diào)節(jié)器的單位階躍響應(yīng)曲線，如圖2所示。

圖2 慣性調(diào)節(jié)器的單位階躍響應(yīng)曲線

3.5 結(jié)合響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)有關(guān)性能

從上圖可以看出，慣性調(diào)節(jié)器的單位階躍響應(yīng)曲線是按指數(shù)規(guī)律下降的一條曲線。該曲線有以下特征：

（1）階躍響應(yīng)曲線起點的斜率

由上式可知，響應(yīng)曲線起點的斜率m是時間常數(shù)T′的倒數(shù)的相反數(shù)，T′越大，m的絕對值越小，Uo（t）下降過程越慢，即Uo（t）的絕對值上升過程越慢。

（2）穩(wěn)態(tài)值

Uo（t）的穩(wěn)態(tài)值為

（3）趨向穩(wěn)態(tài)值的過渡時間

由曲線可知，在t經(jīng)過T、2T、3T、4T、5T后，其響應(yīng)輸出值分別為穩(wěn)態(tài)值的63.2%、86.5%、95%、98.2%、99.3%。由此可見，對典型一階系統(tǒng)，其過渡時間大約為（3－5）T，響應(yīng)輸出值可達到穩(wěn)態(tài)值的95%－99.3%。

4 結(jié)束語

綜上可知，時域分析法在系統(tǒng)響應(yīng)分析中的基本思路是：運用物理規(guī)律，建立反映系統(tǒng)本質(zhì)的微分方程；通過拉氏變換、待定系數(shù)法及拉氏反變換，求出系統(tǒng)響應(yīng)輸出實變量函數(shù)解析式；通過應(yīng)用軟件做出系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，最后結(jié)合曲線對系統(tǒng)進行必要的數(shù)學(xué)運算和推理，完成對系統(tǒng)有關(guān)性能的分析和總結(jié)。在此過程中，拉氏變換和拉氏反變換規(guī)則、常用數(shù)學(xué)模型及待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)工具的運用，使求解過程變得簡單、有效；系統(tǒng)仿真軟件的運用使系統(tǒng)響應(yīng)曲線的繪制變得更為方便、真實。盡管以上方法及思路是通過典型一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）的階躍響應(yīng)分析總結(jié)出來的，但對其他二階以上系統(tǒng)的響應(yīng)分析同樣具有普遍的借鑒意義。

［1］孔凡才.自動控制原理與系統(tǒng)（第3版）［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2016：18－57.

［2］馮士偉，李 勇，武志忠，張沛勇.一種一階延遲慣性環(huán)節(jié)溫控系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計方法［J］.空間控制技術(shù)與應(yīng)用，2015（02）：41－45.

［3］駱 建，謝 榕.時域分析法的教學(xué)難點及應(yīng)對方法［J］.電氣電子教學(xué)學(xué)報，2015（2）：54－57.

［4］李華川，張群生.空氣軸承式板形儀對單位階躍信號的動態(tài)響應(yīng)分析［J］.機械工程與自動化，2010（04）：16－18.

［5］王荔芳，周曉華，陶燕林.基于Simulink的自動控制系統(tǒng)性能的分析與仿真［J］.現(xiàn)代電子技術(shù)，2010（22）：126－127.

［6］劉海波，楊海柱.MATLAB仿真在自動控制系統(tǒng)實驗教學(xué)中的應(yīng)用［J］.中國電力教育，2012（13）：99－101.

［7］潘湘高，楊民生，敖章洪.MATLAB在控制系統(tǒng)時域分析中的應(yīng)用［J］.湖南文理學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2016（03）：83－87＋91.

［8］汪 建.用時域分析法求解沖激響應(yīng)的方法［J］.電氣電子教學(xué)學(xué)報，2011（06）：103－105.

Application of time domain analysis method in system response analysis

WU Wan－qiu
（Yangjiang Vocational and Technical College，Yangjiang 529500，China）

The time response analysis of the system is an effective way to reveal the dynamic characteristics of the system itself.The time domain analysis method，which is based on the Laplace transform rule and takes advantage of the mathematical model，has a unique and important application in the system response analysis.The basic ideas in the analysis process are the following：to established the differential equation by the physical laws to reflect the essence of the system；to calculate the Laplace transform of the response output signal after the input signal by the Laplace transform method and the undetermined coefficient method；to calculate the system response functional analysis of the real－time variable－type output signal by using the inverse Laplace transform；to draw the system response curve by the software application；to do some mathematical calculations and some necessary reasoning by curves；to complete the analysis and summary for the performance of the system.

time domain analysis method；Laplace transform；system response；ideas and solutions

TM131

：A

1005—7277（2017）01—0058—03

伍玩秋（1967－），男，碩士，高級工程師，主要從事電氣自動化相關(guān)課程教學(xué)及技術(shù)研究工作。

2016－10－09