沙曉慶 張海迪 侯洪飛

(河北建筑工程學(xué)院，河北 張家口 075000)

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基于節(jié)點(diǎn)應(yīng)變能靈敏度的拱軸線形狀優(yōu)化

沙曉慶 張海迪 侯洪飛

(河北建筑工程學(xué)院，河北 張家口 075000)

結(jié)合兩個(gè)算例，研究了基于節(jié)點(diǎn)應(yīng)變能靈敏度拱軸線選擇的方法，指出根據(jù)節(jié)點(diǎn)應(yīng)變能靈敏度進(jìn)行結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化，降低了結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，改善了結(jié)構(gòu)的綜合性能，達(dá)到了更加合理的結(jié)構(gòu)形態(tài)。

拱軸線，應(yīng)變能靈敏度，優(yōu)化方法，數(shù)學(xué)模型

0 引言

拱式結(jié)構(gòu)主要承受軸向作用，軸向作用為最佳的傳力方式，應(yīng)用拱式結(jié)構(gòu)可提高材料的利用率。拱圈的形狀影響結(jié)構(gòu)的內(nèi)力組合狀態(tài)和變形，若拱軸線與外荷載作用下壓力線重合，為合理拱軸線，即拱截面只有軸向作用而沒有彎曲作用。在合理拱軸線的狀態(tài)下材料利用率最高，因此對(duì)拱軸線的研究具有一定的意義[1]。

本文基于節(jié)點(diǎn)應(yīng)變能靈敏度調(diào)整節(jié)點(diǎn)位置對(duì)拱圈進(jìn)行形狀優(yōu)化，將數(shù)學(xué)和力學(xué)的基本理論結(jié)合尋求結(jié)構(gòu)的合理狀態(tài)[2]。這種方法最顯著的特點(diǎn)之一就是以結(jié)構(gòu)應(yīng)變能作為目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)變能作為目標(biāo)函數(shù)可綜合涉及到應(yīng)力、應(yīng)變、位移等方面的問題，充分反映結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)，優(yōu)化過程中也是全面的考慮到結(jié)構(gòu)受力性能，是一種單目標(biāo)多性能的體現(xiàn)。

1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

將節(jié)點(diǎn)高度作為設(shè)計(jì)變量，結(jié)構(gòu)儲(chǔ)存應(yīng)變能最小作為目標(biāo)函數(shù)，以結(jié)構(gòu)允許變化空間作為約束條件的數(shù)學(xué)模型為：

求：y={y1,y2,y3,…，yn}。

式中：y——節(jié)點(diǎn)豎向坐標(biāo)； n——結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)數(shù)目； C——結(jié)構(gòu)整體應(yīng)變能； UP——在外荷載作用下結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移列向量； [K]——結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣； P——結(jié)構(gòu)施加的外荷載； S——拱軸線形狀； Ω——允許變化空間。

2 優(yōu)化方法

拱式結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)應(yīng)變能靈敏度反映在高度方向上節(jié)點(diǎn)移動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的影響程度，據(jù)此調(diào)整節(jié)點(diǎn)位置以降低結(jié)構(gòu)總體應(yīng)變能，提高整體剛度。本文介紹方法主要針對(duì)于平面梁?jiǎn)卧M成的拱式結(jié)構(gòu)。

2.1 節(jié)點(diǎn)應(yīng)變能靈敏度[3]

荷載作用下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形，結(jié)構(gòu)內(nèi)部?jī)?chǔ)存應(yīng)變能，利用荷載和位移列向量求結(jié)構(gòu)應(yīng)變能公式為：

上式兩邊關(guān)于節(jié)點(diǎn)高度yi的微分形式為：

由上式可知應(yīng)變能關(guān)于節(jié)點(diǎn)高度的微分中只有單元?jiǎng)偠染仃嚺c節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)存在微分關(guān)系，某一節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)只與其相鄰幾個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚧嬖诤瘮?shù)關(guān)系，因此節(jié)點(diǎn)應(yīng)變能靈敏度為相鄰單元應(yīng)變能關(guān)于節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)微分的代數(shù)和，即：

2.2 節(jié)點(diǎn)高度調(diào)整[3]

對(duì)于拱式結(jié)構(gòu)這種類似的平面結(jié)構(gòu)，只需對(duì)節(jié)點(diǎn)高度方向位置進(jìn)行調(diào)整，將節(jié)點(diǎn)鉛直坐標(biāo)y作為影響結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的唯一因素，將應(yīng)變能C寫成關(guān)于節(jié)點(diǎn)高度y的函數(shù)C(y)，將C(y)在節(jié)點(diǎn)高度y附近用泰勒公式展開：

假定節(jié)點(diǎn)鉛直坐標(biāo)y每次的該變量足夠小，Δyi的高階項(xiàng)對(duì)應(yīng)變能的值影響非常小，可略去，選取一個(gè)參數(shù)Δ作為優(yōu)化步長(zhǎng)，故各節(jié)點(diǎn)高度在每個(gè)迭代步的調(diào)整值為：

將去掉Δyi高階項(xiàng)的泰勒展開公式寫為：

計(jì)算過程中節(jié)點(diǎn)應(yīng)變能靈敏度可為正值、負(fù)值或者零，當(dāng)值為零時(shí)說明結(jié)構(gòu)應(yīng)變能對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的改變不敏感，當(dāng)為正值時(shí)節(jié)點(diǎn)應(yīng)向下移動(dòng)，為負(fù)值時(shí)節(jié)點(diǎn)向上移動(dòng)，只要選取合適的優(yōu)化步長(zhǎng)Δ，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能會(huì)一直呈下降的趨勢(shì)，優(yōu)化步長(zhǎng)過大會(huì)影響計(jì)算結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確性，過小會(huì)有計(jì)算效率，優(yōu)化步長(zhǎng)Δ選擇需逐步驗(yàn)算得出[4]。

3 優(yōu)化步驟

1)根據(jù)設(shè)定的邊界條件，材料屬性，建立初始模型并加載求解，整個(gè)優(yōu)化過程中假定節(jié)點(diǎn)荷載不隨節(jié)點(diǎn)位置的改變而改變；

2)計(jì)算各個(gè)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)變能靈敏度；

3)根據(jù)應(yīng)變能靈敏度調(diào)整節(jié)點(diǎn)高度；

4)重復(fù)迭代2)，3)，直至達(dá)到指定的收斂準(zhǔn)則。

兩相鄰迭代步結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的差值足夠小時(shí)即停止運(yùn)算。

4 算例分析

4.1 算例1

如圖1所示初始模型平面梁?jiǎn)卧M成的模型跨度為40 m，矢高為10 m，梁材料的彈性模量為30 GPa，桿件截面尺寸0.062 5 m2，慣性矩Iz=3.26×10-4m4，中間節(jié)點(diǎn)的豎向荷載Fy=-10 kN。兩端支座為固定鉸支。

圖1a)為模型初始形狀，圖1b)為優(yōu)化后模型形狀，在節(jié)點(diǎn)豎向荷載作用下，經(jīng)過優(yōu)化迭代得到優(yōu)化后模型的形狀，在優(yōu)化前期模型中間部分的節(jié)點(diǎn)高度略有下降，靠近支座的兩端部分節(jié)點(diǎn)有所上升，在后期除支座外的節(jié)點(diǎn)都會(huì)呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，優(yōu)化前后節(jié)點(diǎn)位置見圖2。

表1對(duì)模型優(yōu)化前后的應(yīng)變能、最大軸向應(yīng)力、平均軸向應(yīng)力、最大彎曲應(yīng)力、平均彎曲應(yīng)力、最大等效應(yīng)力進(jìn)行對(duì)比。模型應(yīng)變能有著明顯的降低，應(yīng)變能變化過程見圖3，優(yōu)化前期應(yīng)變能下降速度迅速，經(jīng)過20個(gè)迭代步后應(yīng)變能變化曲線趨于平緩；最大軸向應(yīng)力和平均軸向應(yīng)力經(jīng)過優(yōu)化其值會(huì)減小，降低的幅度很??；最大彎曲應(yīng)力和平均彎曲應(yīng)力的降低較為顯著，單元的最大等效應(yīng)力同樣有明顯下降趨勢(shì)。初始形狀模型在荷載作用下以彎曲為主導(dǎo)作用，優(yōu)化后模型主要承受軸向作用，軸向應(yīng)力對(duì)模型應(yīng)變能的影響較小，其值變化范圍也較小，所以軸向作用對(duì)模型應(yīng)變能的降低貢獻(xiàn)率較小。初始形態(tài)軸向作用產(chǎn)生的應(yīng)變能為44.39 J，優(yōu)化后為39.37 J，逼近模型整體應(yīng)變能，因此模型應(yīng)變能的降低幅度就取決于彎曲作用的減小范圍，整個(gè)優(yōu)化過程重點(diǎn)是在降低模型的彎曲作用，一直優(yōu)化下去模型將無限接近于合理拱軸線的形態(tài)。

表1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后靜力性能比較

迭代步應(yīng)變能/J最大軸向應(yīng)力/MPa平均軸向應(yīng)力/MPa最大彎曲應(yīng)力/MPa平均彎曲應(yīng)力/MPa最大等效應(yīng)力/MPa11051.161.110.9611.897.5412.720039.771.050.890.020.011.06

4.2 算例2

如圖4所示平面梁?jiǎn)卧M成的模型跨度為20 m，矢高為4 m，梁材料的彈性模量為30 GPa，桿件截面尺寸為變截面，中間節(jié)點(diǎn)的

豎向荷載Fy=-5 kN。兩端支座為固定鉸支，圖4中編號(hào)為單元號(hào)。

表2 單元截面尺寸

m2

表2為各個(gè)梁?jiǎn)卧慕孛婷娣e。經(jīng)過優(yōu)化拱圈的矢高為5.28 m，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能由345.92 J下降為18.99 J；結(jié)構(gòu)平均軸向應(yīng)力由2.49 MPa下降為1.92 MPa；平均彎曲應(yīng)力由13.32 MPa下降為0.02 MPa。在本算例中下降最為顯著的依然是彎曲作用，圖5為優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)彎矩云圖。

5 結(jié)語

基于節(jié)點(diǎn)應(yīng)變能靈敏度的拱軸線形狀優(yōu)化，拱軸線形狀的改變可使拱結(jié)構(gòu)應(yīng)變能顯著下降，應(yīng)變能是一個(gè)綜合的物理量，它的降低反映結(jié)構(gòu)綜合性能得到改善。拱式結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化旨在極大的降低彎曲作用，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎曲應(yīng)變能最小化，桿件主要承受軸向這種傳力最高效的作用形式。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)允許的空間范圍內(nèi)改變結(jié)構(gòu)形狀抵抗外荷載作用，可提高材料利用率。

[1] 張淑云.基于形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)的拱軸線選擇[J].西安礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),1998(A9):36-40.

[2] 崔昌禹,姜寶石,崔國(guó)勇.結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法的工程應(yīng)用[J].建筑鋼結(jié)構(gòu)進(jìn)展,2011,13(6):9-18.

[3] 崔昌禹,嚴(yán) 慧.自由曲面結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法——高度調(diào)整法的建立與其在工程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].土木工程學(xué)報(bào),2006,39(12):1-6.

[4] 王有寶.自由曲面單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué),2012.

Shape optimization of arch axis based on strain energy sensitivity

Sha Xiaoqing Zhang Haidi Hou Hongfei

(HebeiInstituteofArchitectureandCivilEngineering,Zhangjiakou075000,China)

Through two examples, the method of selecting the arch axis based on the strain energy sensitivity is studied. According to the strain energy sensitivity, the structural shape optimization can reduce the strain energy of the structure, improve the comprehensive performance of the structure, achieve a more reasonable structure.

arch axis, strain energy sensitivity, optimization method, mathematic model

2016-11-28

沙曉慶(1990- )，男，在讀碩士； 張海迪(1991- )，女，在讀碩士； 侯洪飛(1992- )，男，在讀碩士

1009-6825(2017)04-0050-02

TU311

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