李彤彤

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

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一類(lèi)位置不變重尾指數(shù)估計(jì)

李彤彤

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

重尾分布； 極值指數(shù)； 位置不變； 正規(guī)變化； 均方誤差； 漸近性質(zhì)； Hill估計(jì)

0 引言

重尾分布普遍存在于社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域中，例如：生物統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融學(xué)、保險(xiǎn)和風(fēng)險(xiǎn)理論等.為了了解尾部的相關(guān)信息和規(guī)律性，對(duì)重尾指數(shù) 的估計(jì)變得尤為重要，并且重尾極值指數(shù)估計(jì)的有效性、穩(wěn)健性已經(jīng)備受人們的關(guān)注.Pickands估計(jì)、Hill估計(jì)、矩估計(jì)和核估計(jì)是最經(jīng)典的、最基礎(chǔ)的極值指數(shù)估計(jì)，當(dāng)γ>0時(shí)，最為著名的是Hill估計(jì)量[1]:

對(duì)于更為廣泛的情況γ∈R，Dekkers，Einmahl和de Haan[7](1989)提出了矩估計(jì)：

Ling等[8,9]在2007年在矩估計(jì)的基礎(chǔ)上，提出了一類(lèi)位置不變的矩估計(jì)量.鄒佶叡等[10]在2006年提出了漸近無(wú)偏矩估計(jì)量.

然而，Hill估計(jì)和矩估計(jì)雖然有許多優(yōu)點(diǎn)，但它們對(duì)門(mén)限k0的值較為敏感，換句話說(shuō)，上述的這些估計(jì)都不滿(mǎn)足位置不變性，Pickands(1975)[11]在假定尾部分布函數(shù)的前提下，通過(guò)求分位數(shù)給出了一類(lèi)位置不變估計(jì)：

其中：k=k(n)=o(n),k0=o(k(n)),k(n)→∞,k0→∞(n→∞).Li等[13,14]也提出了一類(lèi)位置不變的Hill估計(jì)，隨后劉維奇等[15]進(jìn)一步闡明了重尾指數(shù)估計(jì)的研究進(jìn)展，陶寶[16]討論了另一類(lèi)Hill型位置不變的估計(jì)量的強(qiáng)相合性，而Ling[17]還提出了Weiss類(lèi)Hill估計(jì).

在許多學(xué)者研究位置不變性的同時(shí)，降偏差的研究也越來(lái)越受到人們的重視，deHaanL等[5]，Beirlant等[18]、Feuerverger等[19]，Caeiro等[20]，Gomes等[21]對(duì)Hill估計(jì)進(jìn)行了改進(jìn)，降低了漸近偏差，BrahimB等[22]的降偏差估計(jì)，以此作為基礎(chǔ)，劉維奇等[23]利用降偏差的方法對(duì)Caeiro等人提出的改進(jìn)Hill估計(jì)及Gomes等人的估計(jì)進(jìn)行了重新修正.

1.1 正則變化條件

為了研究重尾極值指數(shù)相關(guān)的漸近性質(zhì)，下面給出二階正則變化條件：

(1)

且有|A(t)|∈RVρ(ρ≤0)[deHaanL,Ferreira[24]中推論2.3.5]

(2)存在可測(cè)函數(shù)A(t)>0且A(t)→0(t→∞)，使得

(2)

對(duì)一切x>1,y>1局部一致成立，其中：

(3)

且對(duì)上述條件有二階參數(shù)ρ<0及|A(t)|∈RVρ.

FrageAlves[12]提出位置不變的Hill估計(jì)：

Ling等[8,9]提出的位置不變矩估計(jì)：

鑒于此，本文提出一類(lèi)新的位置不變的重尾極值指數(shù)估計(jì)量：

(α∈R+)

為方便計(jì)算，本文需要規(guī)定以下記號(hào)以及變量：

引理1 當(dāng)γ>0,ρ<0時(shí)，若1.1中公式(1)成立，則對(duì)任意的ε,δ>0存在t0=t0(ε,δ)，使得對(duì)一切t>t0及x>1時(shí)

(4)

引理2 在引理1的條件下，對(duì)一切x>1,y>1有

(5)

此外，對(duì)任意的ε,δ>0,存在t0=t0(ε,δ)使得t>t0時(shí)

Tγ,ρ(x,y)

對(duì)于x>y>1局部一致成立，其中

Fγ,ρ(x,y)=

(6)

(7)

(8)

成立.

若γ+ρ≠0,由引理3可得：

令

它的特征函數(shù)為：

fk0(t)=

從而

同理可證γ+ρ=0的情形.

1.3k0的最優(yōu)選擇

定理2 設(shè)A(t)～ctρ，其中ρ<0,c≠0,若1.1節(jié)中二階正規(guī)條件公式(1)成立.記

則有如下結(jié)論：

2.當(dāng)γ>-ρ時(shí),

(2)若k?n,則

(3)若k～Dn,D≠0,則有

證明:設(shè)A(t)～ctρ,c≠0分以下情況討論：

(1)若γ<-ρ時(shí)，其漸近展開(kāi)式為

(9)

且

要使MSE最小，對(duì)k0求偏導(dǎo),可得:

(10)

(2)若γ>-ρ時(shí)

從而可得

(11)

則n≤k0≤k·n

上述幾種情況，與(10)證明類(lèi)似，可求出k0的最優(yōu)解.

推論3 在推論2的基礎(chǔ)上

令

則

2 模擬與比較

對(duì)于同一個(gè)極值指數(shù),通常采用經(jīng)驗(yàn)似然,極大似然等模擬方法,通過(guò)討論估計(jì)量的相對(duì)漸近效、均值和均方誤差等實(shí)現(xiàn)對(duì)其的評(píng)價(jià).

2.1 參數(shù)α的選取

(12)

2.2 兩類(lèi)位置不變估計(jì)的模擬比較

(1)Pareto(γ)分布

F(x)=1-x,(x>0,γ>0)

(2)Frechet(γ)分布

(3)Burr(α，β)分布

F(x)=1-(1+xα)-β,(x≥0,α,β>0)

(a)均值 (b)均方誤差圖1 極值指數(shù)γ=0.5的Pareto分布，估計(jì)量與的模擬均值(a)和均方誤差(b)

(a)均值 (b)均方誤差圖2 極值指數(shù)γ=1的Frechet分布，估計(jì)量與的模擬均值(a)和均方誤差(b)

(a)均值 (b)均方誤差圖3 極值指數(shù)γ=2的Burr分布，估計(jì)量與的模擬均值(a)和均方誤差(b)

圖4 極值指數(shù)γ=2的Burr分布，估計(jì)量與模擬均值的部分放大截圖

3 結(jié)論

[1]HillBM.Asimplegeneralapproachtoinferenceaboutthetailofadistribution[J].AnnStatist,1975,3(5):1 163-1 174.

[2] 彭 亮,祁永成.二階正規(guī)變化子模型下Hill型估計(jì)量漸進(jìn)正態(tài)性[J].數(shù)學(xué)年刊,1997,18(5):539-544.

[3]GomesMI,MartinsMJ.GeneralizationsoftheHillestimator-asymptoticversusfinitesamplebehaviour[J].StatPlanInference, 2001,93(1-2):161-180.

[4] 彭作祥.一類(lèi)Hill型估計(jì)量的收斂性[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào),1998,23(2):133-137.

[5]deHaanL,PengL.Comparisonoftailindexestimators[J].StatisticsNeerlandica,1998,52(1):60-70.

[6]CaeiroF,GomesMI.Aclassofasymptoticallyunbiasedsemi-parametricestimatorofthetailindex[J].SociedaddeEstadisticaeInvestigationOperativeTest,2002,11(2):345-364.

[7]DekkersA,EinmahlJ,deHaanL.Amomentestimatorfortheindexofanextremevaluedistribution[J].AnnalsofStatistics,1989,17(4):1 833-1 855.

[8]LingC,PengZ,NadarajahS.Alocationinvariantmoment-typeestimatorI[J].TheoryofProbabilityandMathematicalStatisics, 2008,76:23-31.

[9]LingC,PengZ,NadarajahS.Alocationinvariantmoment-typeestimatorII[J].TheoryofProbabilityandMathematicalStatisics,2008,77:177-189.

[10] 鄒佶叡,凌成秀.漸進(jìn)無(wú)偏矩估計(jì)量[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,31(3):19-23.

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[12]FragaAlvesMI.AlocationinvariantHill-typeestimator[J].AnnalofStatistics,2001,4(3):199-217.

[13]LiJ,PengZ,NadarajahS.AclassofunbiasedlocationinvariantHill-typeestimatorsforheavytaileddistributions[J].ElectronicJournalofStatistics,2008,2(3):829-847.

[14]LiJ,PengZ,NadarajahS.Asymptoticnormalityoflocationinvariantheavytailindexestimators[J].Extremes,2010,13(3):269-290.

[15] 劉維奇,邢紅衛(wèi).重尾分布尾指數(shù)估計(jì)研究進(jìn)展[J].山西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,35(2):163-173.

[16] 陶 寶.位置不變的Hill型估計(jì)量的強(qiáng)相合性[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,23(4):331-333.

[17]LingC,PengZ,NadarajahS.Locationinvariantweiss-Hillestimator[J].Extremes,2012,15(2):197-230.

[18]BeirlantJ,DierckxG,GoegebeurY,etal.Tailindexestimationandanexponentialregressionmodel[J].Extremes,1999,2(2):177-200.

[19]FeuervergerA,HallP.Estimatingatailexponentbymodelingdeparturefromaparetodistribution[J].AnnalsofStatistics,1999,27(2):760-781.

[20]GaeiroF,GomesMI,PestanaD.DirectreductionofbiasoftheclassicalHillestimator[J].Revstat,2005, 3(2):113-136.

[21]GomesMI,MartinsMJ,NevesMM.Improvingsecondorderreduced-biastailindexestimation[J].Revstat, 2007,5(2):177-207.

[22]BrahimB,DjamelM,AbdelhakimN,etal.Abias-reducedestimatorforthemeanofaheavy-taileddistributionwithaninfinitesecondmoment[J].JournalofStatisticalPlanningandInference,2013,143(6):1 064-1 081.

[23] 劉維奇,邢紅衛(wèi).重尾指數(shù)估計(jì)中閾值k的簡(jiǎn)單優(yōu)化估計(jì)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2010,30(8):1 465-1 470.

[24]deHaanL,FerreiraA.Extremevaluetheoryanintroduction[M].NewYork:SpringerScienceUsinessMedia,2006.

【責(zé)任編輯：蔣亞儒】

A class of heavy tailed index estimator of location invariant

LI Tong-tong

(School of Mathematical Sciences, Shanxi University, Taiyuan 030006, China)

heavy tailed distribution； extreme value index； location invariant; regular variation； mean square error； asymptotic properties； Hill estimate

2017-02-13

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目(14YJA790034)

李彤彤(1989-)，男，山西太原人，在讀碩士研究生，研究方向：時(shí)間序列分析

2096-398X(2017)03-0180-06

O212.4

A