王桂華

人教版教材每冊都設(shè)置了“數(shù)學(xué)廣角”內(nèi)容，試圖系統(tǒng)而有步驟地把重要的數(shù)學(xué)思想方法通過生動(dòng)有趣的事例呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生體驗(yàn)知識的形成過程，感悟數(shù)學(xué)思想方法。

五年級上冊教材中的“數(shù)學(xué)廣角”，就是把解決植樹問題作為一個(gè)學(xué)習(xí)支點(diǎn)，滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽象出數(shù)學(xué)模型（點(diǎn)段關(guān)系），培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中探索解決問題有效方法的能力。在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該在充分理解教材意圖的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確定位教學(xué)目標(biāo)，精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，充分挖掘其思想方法。

一、經(jīng)歷問題解決，感悟化歸思想

化歸是攻克各種復(fù)雜問題的法寶之一。解決問題的過程，從某種意義上來說就是不斷地轉(zhuǎn)化求解的過程。

在解決兩端都栽的植樹問題時(shí)，教材通過圖文結(jié)合的形式，呈現(xiàn)了“同學(xué)們在全長100m的小路一邊植樹，每隔5m栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？”讓小精靈和小學(xué)生分別提示“100m太長了，可以先用簡單的數(shù)試試?！薄拔蚁瓤纯?0m可以栽幾棵?！币鼋鉀Q問題常用的方法——從簡單的情境入手解決復(fù)雜的問題，滲透化歸思想——化繁為簡。

在教學(xué)時(shí)，很多教師出示例題，讓學(xué)生猜測后，就直接告訴學(xué)生“我們先看看20m可以栽幾棵?！边@樣的教學(xué)活動(dòng)表面看起來也讓學(xué)生經(jīng)歷了“猜測——探索”，也滲透了化繁為簡的思想方法。但是這種思路是教師給出的，學(xué)生并沒有經(jīng)歷“想辦法”解決問題的過程，體會不到將大數(shù)轉(zhuǎn)換成小數(shù)探索規(guī)律的作用和必要性。

教師應(yīng)該盡量把問題拋給學(xué)生，讓學(xué)生在探索的過程中自主尋求合適的方法。筆者曾經(jīng)聽過朱德江老師教學(xué)的植樹問題，頗有啟發(fā)。他將原例題中的100m改成了500m，直接把問題拋給學(xué)生，讓學(xué)生自主解決“一共要栽多少棵樹”。針對學(xué)生不同的解答方法和結(jié)果，組織學(xué)生討論“你比較認(rèn)同哪種方法”，當(dāng)學(xué)生一致認(rèn)為“500÷5+1=101（棵）”后，朱老師提問：“為什么要加1，你能說說理由嗎？”一石激起千層浪，學(xué)生們想出了很多辦法：有的邊說邊畫，先畫出了3棵樹，發(fā)現(xiàn)兩棵樹中間有一個(gè)間隔，栽3棵樹，有2個(gè)間隔，如果更多，原理也是一樣的；有的說，第一次形成一個(gè)間隔需要2棵樹，第二次再加1棵樹就又形成一個(gè)間隔，這樣棵數(shù)就比間隔數(shù)始終要多1；有的說，植樹就像切木頭，切一刀就是兩段，切兩刀就是三段，段數(shù)總是比刀數(shù)要多1……

在解釋的過程中，學(xué)生不由自主的將“500m”轉(zhuǎn)換成了較小數(shù)，感悟到用較小數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再運(yùn)用規(guī)律解決問題的方法。由此給大家一個(gè)啟示：教材提供的將100m轉(zhuǎn)換成20m、25m……只是為學(xué)生解決此類問題提供一種思路——可以用化繁為簡的方法來解決，具體轉(zhuǎn)換成多少并不重要，重要的是要讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，自主地選用合適的方法來解決問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

二、規(guī)范探究行為，體驗(yàn)歸納思想

在歸納植樹問題（兩端都要栽）的規(guī)律時(shí)，教材先通過20m和25m兩個(gè)數(shù)據(jù)，借助畫線段圖，讓學(xué)生直觀感受棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。然后，由直觀到抽象，讓學(xué)生應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想30m和35m的植樹棵數(shù)。在此基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生概括出一般規(guī)律。這樣的設(shè)計(jì)，完整呈現(xiàn)了歸納的一般方法，即經(jīng)歷由特殊到一般的歸納過程。

在常規(guī)教學(xué)中，教師們有兩種常見的教學(xué)設(shè)計(jì)：第一種，讓學(xué)生自主選擇不同的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析研究（一般每名學(xué)生選擇一個(gè)數(shù)據(jù)），然后組織學(xué)生匯報(bào)交流，教師將不同學(xué)生的不同數(shù)據(jù)整理成表格（如下），再引導(dǎo)學(xué)生集中觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。第二種，按照教材的設(shè)計(jì)順序，引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖得出20m、25m小路的栽樹棵數(shù)，再計(jì)算出30m、35m小路的栽樹棵數(shù)，最后引導(dǎo)學(xué)生觀察棵數(shù)、間隔數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這兩種教學(xué)都注重收集多種不同的數(shù)據(jù)，進(jìn)行歸納，也體現(xiàn)了推理歸納的一般方法。雖然兩種方法都能得出一條路的兩端都栽時(shí)“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”的規(guī)律，但是對于學(xué)生個(gè)體來說，第一種方法學(xué)生只是通過一個(gè)數(shù)據(jù)就得出了結(jié)論，學(xué)生沒有經(jīng)歷推理歸納的全過程；第二種方法雖然有多個(gè)數(shù)據(jù)支撐，但都是應(yīng)教師的要求，學(xué)生自主體驗(yàn)不夠。

教學(xué)時(shí)，最好讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的歸納過程。當(dāng)學(xué)生研究了一個(gè)或兩個(gè)數(shù)據(jù)后，教師可以提問：“就這么一、兩個(gè)數(shù)據(jù)得出這樣的結(jié)論，你們覺得可靠嗎？有沒有更多的數(shù)據(jù)來說明?！眴l(fā)學(xué)生選擇多個(gè)不同的數(shù)據(jù)進(jìn)行探究，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納的一般過程，明白一個(gè)特例不足以說明問題，多個(gè)不同的例子才能揭示規(guī)律，從而讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的同時(shí)掌握歸納的基本思想方法。

三、關(guān)注思維差異，明晰模型思想

針對植樹問題的三種情況，即“兩端都栽”“只栽一端”與“兩端都不栽”，教材都是通過畫線段圖，讓學(xué)生把“點(diǎn)”（樹）與“線”（間隔）一一對應(yīng)起來，發(fā)現(xiàn)栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，從而經(jīng)歷模型建構(gòu)的過程，建立植樹模型。

在實(shí)際學(xué)習(xí)中，學(xué)生思維的差異性決定了他們解決問題的個(gè)性化，有的學(xué)生在頭腦中已經(jīng)形成植樹表象，直接用數(shù)進(jìn)行推理，如栽2棵樹，形成一個(gè)間隔，栽3棵樹，形成2個(gè)間隔……有的學(xué)生需要借助實(shí)物（小棒、圓片等）模擬植樹；有的學(xué)生通過畫線段圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律……教學(xué)時(shí)，教師要用好教材，但不能要求學(xué)生千篇一律地按教材的方式畫線段圖建模，還應(yīng)充分尊重學(xué)生的思維差異，讓他們自主選擇寫一寫、擺一擺、畫一畫等方式來理解、表達(dá)點(diǎn)段關(guān)系。同時(shí)，教師要給學(xué)生展示交流的機(jī)會，一方面給學(xué)生分享不同方法的機(jī)會，通過觀察比較，感受到無論采用哪種方式，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律都是一樣的；另一方面突出線段圖的優(yōu)勢，讓學(xué)生體會到線段圖能直觀、清晰、簡潔地表現(xiàn)出棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系。這樣，能較好地處理個(gè)性與共性的關(guān)系，學(xué)生通過觀察、分析、概括、選擇、判斷、抽象等數(shù)學(xué)活動(dòng)，選擇簡單有效的方法建立植樹模型。

在現(xiàn)實(shí)生活中類似植樹的問題有很多，比如公路兩旁安裝路燈、花壇擺花、鋸木頭、架設(shè)電線桿、橋墩選址等等，這些問題情境中都隱藏著點(diǎn)數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，都適合“植樹模型”。教學(xué)時(shí)還可以設(shè)計(jì)豐富的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生在實(shí)踐中進(jìn)一步體會模型解決問題的優(yōu)越性，積累用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)。

（作者單位：黃岡市黃州區(qū)教學(xué)研究室）