羅文清

模型思想是數(shù)學(xué)研究與學(xué)習(xí)中基本的數(shù)學(xué)思想之一。廣義而論，數(shù)學(xué)的法則、定律、公式、規(guī)律均可視作數(shù)學(xué)模型。狹義來(lái)看，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，雞兔同籠、植樹(shù)問(wèn)題、找次品、鴿巢問(wèn)題作為數(shù)學(xué)模型教學(xué)的四個(gè)專題被編入數(shù)學(xué)廣角（共計(jì)10個(gè)專題），占比近半，足見(jiàn)模型思想的重要性。

模型教學(xué)涉及兩個(gè)核心要素，“建”與“用”，建模是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)；用模是重點(diǎn)，是歸宿。建模的質(zhì)量直接影響用模的水平，建得自主，建得積極，則用得自如，用得靈活。如果把“模型”當(dāng)作“模具”交給學(xué)生，那么學(xué)生只會(huì)是照葫蘆畫(huà)瓢，生搬硬套，不可能實(shí)現(xiàn)真正意義上的用模。如何實(shí)現(xiàn)模型的有效建構(gòu)，讓模型來(lái)時(shí)有門(mén)，去時(shí)有路呢？下面筆者結(jié)合“雞兔同籠問(wèn)題”的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勛约旱囊恍w會(huì)。

一、找準(zhǔn)起點(diǎn)，積累經(jīng)驗(yàn)

建立數(shù)學(xué)模型和解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題一樣，需要經(jīng)過(guò)一系列具體或抽象的操作與思維活動(dòng)，這些活動(dòng)的展開(kāi)同樣需要以學(xué)生已有的生活和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，層層深入，不斷積累建立模型所需要的完整活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

以“雞兔同籠問(wèn)題”為例：雞兔共有8只，腳共有26只，問(wèn)雞兔各幾只？

列表與假設(shè)是解決這類問(wèn)題常用的兩種方法，教學(xué)中往往呈現(xiàn)這樣的景象：依序列表時(shí)，學(xué)生得心應(yīng)手，輕松自如，但到了研究假設(shè)法時(shí)，多數(shù)學(xué)生理解困難，有的更是一臉茫然。

究其原因，是因?yàn)榻虒W(xué)中我們往往將列表與假設(shè)割裂，沒(méi)有認(rèn)識(shí)到列表過(guò)程中同樣蘊(yùn)含著假設(shè)。

如何破局？細(xì)作分析，無(wú)論是列表法，還是假設(shè)法，都遵循“假設(shè)——計(jì)算——推理——調(diào)整”的解決策略與程序，如果在列表過(guò)程中讓學(xué)生直覺(jué)感悟到這樣的思維過(guò)程，就會(huì)為后面抽象的說(shuō)理做好準(zhǔn)備，降低學(xué)生理解的難度。

當(dāng)學(xué)生利用上表找到答案后，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)表中的數(shù)據(jù)加以分析：第一組數(shù)據(jù)是先假設(shè)8只全部是雞，然后計(jì)算出只有16只腳，與實(shí)際26只不符，需要對(duì)假設(shè)做出調(diào)整；接著重新假設(shè)有7只雞，1只兔，計(jì)算出共有18只腳，仍然與實(shí)際26只不符；依次下去，直至雞3只，兔5只時(shí)，腳正好26只。最后非常關(guān)鍵且重要的一點(diǎn)，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生反思這一過(guò)程中的基本程序與思路，即“假設(shè)——計(jì)算——推理——調(diào)整”，當(dāng)學(xué)生有了充分的感知之后，就為后面理解假設(shè)法積累了相關(guān)經(jīng)驗(yàn)。

二、抓住重點(diǎn)，主動(dòng)建模

有了上面的基本策略與路徑之后，如何讓學(xué)生深層理解作出假設(shè)之后題中存在的數(shù)量關(guān)系，如何用算式表示出它們之間的關(guān)系，就成了接下來(lái)的教學(xué)重點(diǎn)，因?yàn)檫@是學(xué)生實(shí)現(xiàn)主動(dòng)構(gòu)建模型的關(guān)鍵所在。

師（出示表1）：剛才同學(xué)們從全是雞，或全是兔開(kāi)始列表嘗試，現(xiàn)在老師又是怎樣想的呢？你能接著想下去嗎？

生1：先假設(shè)雞兔各有4只，可以計(jì)算出這時(shí)腳共有24只，只要增加1只兔，減少1只雞，就可增加2只腳。所以雞有3只，兔有5只。

師：你怎么知道調(diào)整時(shí)要增加1只兔，減少1只雞的？

生1：因?yàn)樗愠龅哪_數(shù)24只比實(shí)際26只少2只，1只兔比一只雞就多出了2只腳。

師（出示表2）：現(xiàn)在你能看懂表中的數(shù)據(jù)和想法嗎？你能接著往下找到答案嗎？

生2：先假設(shè)有6只雞，2只兔，通過(guò)計(jì)算6×2+2×4=20，比題中26只腳少了6只，列式為26-20=6，調(diào)整時(shí)需要增加3只兔，減少3只雞。

師：為什么要增加3只兔，減少3只雞，能說(shuō)得明白點(diǎn)嗎？或者用個(gè)式子表示出來(lái)？

生2：1只雞與1只兔相差2只腳，現(xiàn)在共相差6只腳，就是算6里面有幾個(gè)2，算式是6÷（4-2）=3。

師（出示表3）：現(xiàn)在呢？你能不能像剛才大家分享的一樣，用算式表示出思維過(guò)程呢？

（學(xué)生獨(dú)立思考后展示交流。）

生3：假設(shè)全為雞，共有8×2=16只腳，少了10只腳，調(diào)整時(shí)需要增加5只兔，減少5只雞，就是算10里面有幾個(gè)2，列式為10÷（4-2）=5。

在上面的教學(xué)片斷中，通過(guò)三組數(shù)據(jù)，遵循“假設(shè)——計(jì)算——推理——調(diào)整”這一過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生由近及遠(yuǎn)，由特殊到一般逐步抽象出解決雞兔同籠問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

三、緊盯難點(diǎn)，靈活用模

用模是研模、建模的最終目的，體現(xiàn)了模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用價(jià)值，是模型教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)。用模能力的高低取決于建模的質(zhì)量和學(xué)生的識(shí)模能力，學(xué)生能否將現(xiàn)實(shí)情境中的具體信息逐一與模型中的量聯(lián)系起來(lái)，建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從問(wèn)題到模型的抽象，這是用模階段的一大難點(diǎn)，教學(xué)中應(yīng)設(shè)法突破。

在“雞兔同籠問(wèn)題”模型的應(yīng)用環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計(jì)了以下三個(gè)層次的識(shí)模體驗(yàn)：①基礎(chǔ)性識(shí)模，龜鶴同游，從上數(shù)，共有40個(gè)頭，從下數(shù)，有112條腿。龜、鶴各有幾只？②游戲化識(shí)模：（課件演示）這是一個(gè)信封，里面裝了5元和2元的紙幣，共7張。你能猜猜信封里一共有多少錢嗎？讓學(xué)生在猜的過(guò)程中感悟不少于14元，不多于35元。之后再補(bǔ)充信息“共有29元”，現(xiàn)在你能知道5元、2元紙幣各有多少?gòu)垎?？③生活化識(shí)模：師生共38人去劃船，共租了8條船，恰好坐滿，每條大船坐6人，每條小船坐4人，大船和小船各租了幾條？在每一輪的練習(xí)中，筆者會(huì)讓學(xué)生思考：它們與今天研究的“雞兔同籠問(wèn)題”有聯(lián)系嗎？如果有，是怎樣的聯(lián)系？以此訓(xùn)練學(xué)生的識(shí)模能力，提高應(yīng)用水平。

建模與用模組成了模型教學(xué)的兩條腿，只有建模時(shí)有“門(mén)”，才能做到用模時(shí)有“路”。

（作者單位：松滋市黃杰小學(xué)）