倪衛(wèi)新, 孫 凱

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

關(guān)于磁單極子問題研究的一種新的嘗試

倪衛(wèi)新, 孫 凱

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

磁場(chǎng)的高斯定律從形式上指出了宏觀磁場(chǎng)的無源性質(zhì),因此可以利用高斯積分是否為零作為判斷磁單極子是否存在的形式判據(jù).根據(jù)高等量子力學(xué)的理論,借助貝瑞相的存在,從形式上找到微觀系統(tǒng)磁單極子存在的依據(jù).并且由于貝瑞相和光霍爾效應(yīng)存在相關(guān)性,通過求解光霍爾效應(yīng)的久期方程,從形式上探討了在微觀條件下磁單極子存在的可能性和條件.

磁單極子; 高斯定理; 貝瑞相; 光霍爾效應(yīng)

磁單極子即磁單極,是指單獨(dú)具有一個(gè)N極或S極的磁性物質(zhì)[1].磁單極子是一種到目前為止還基本上只存在于理論之中的物質(zhì),磁單極子作為物質(zhì)的基本組成,它的單獨(dú)存在可能非常困難,或者可能極其微弱以致無法測(cè)量.1931 年,英國物理學(xué)家狄拉克在提出“反電子”理論之后,首先提出了磁單極子的存在[1].自20世紀(jì)30年代以來,探究磁單極子的存在一直是困擾物理學(xué)家和天文學(xué)家的熱門話題.盡管對(duì)于磁單極子問題的探究仍沒有獲得突破性的進(jìn)展,但物理大統(tǒng)一理論以及對(duì)早期宇宙的研究,都認(rèn)為磁單極子是存在的.通過實(shí)驗(yàn)來探測(cè)磁單極子,已經(jīng)成為檢驗(yàn)粒子物理大統(tǒng)一理論和天體物理宇宙演化理論的重要依據(jù).長期以來,物理學(xué)家一直試圖通過實(shí)驗(yàn)來證實(shí)自然界中磁單極子的存在[1-2].本文試圖通過“電”和“磁”的高斯理論的比較,從形式上給出磁單極子是否存在的判據(jù),并且通過貝瑞相與光霍爾效應(yīng)之間的關(guān)聯(lián),給出對(duì)微觀場(chǎng)合磁單極子存在的可能性的判斷和猜想.

1 狄拉克假定

1931年,為解釋電荷的量子化現(xiàn)象,狄拉克首次從理論上預(yù)言磁單極子的存在,他認(rèn)為這些帶有磁場(chǎng)的粒子能夠存在于一些狄拉克弦(Dirac string)的末端.電荷e和磁核g滿足關(guān)系式

當(dāng)N=1時(shí),得到的基本磁核的量值g0遠(yuǎn)大于e,這是磁單極子的一個(gè)重要特性,這表明異性磁荷之間具有遠(yuǎn)大于異性電荷之間的吸引力,因此要獲得游離的單個(gè)磁單極子就需要用很大的外力才能將成對(duì)的磁偶極子分開.狄拉克認(rèn)為這樣就可以解釋為什么電子容易發(fā)現(xiàn)而磁單極子卻難以找到.此外,根據(jù)式中N為整數(shù),還可以推測(cè)出磁荷和電荷的不連續(xù)性,進(jìn)而解釋物理學(xué)中電荷量子化的難題.

從上面的公式可以看出,假如磁單極子存在,電子和磁單極子的關(guān)系是顯著存在的,磁單極子之間具有很強(qiáng)的吸引力,很難以游離的形式存在,且質(zhì)量很小,很難被發(fā)現(xiàn).在現(xiàn)有的物理學(xué)體系中,點(diǎn)電荷是明確知道其存在的,現(xiàn)今研究的磁單極子與點(diǎn)電荷具有很多相同的性能,可以將磁單極子具象成一個(gè)點(diǎn)磁荷來進(jìn)行探究.如果類比的這個(gè)磁荷在現(xiàn)有可探究的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象中能夠找到和點(diǎn)電荷相同的性質(zhì),那么就可以大膽地推測(cè)磁單極子的存在.電荷和磁荷周圍都存在著某種看不見、摸不著而且穩(wěn)定存在的物質(zhì),即電場(chǎng)和磁場(chǎng),通過類比點(diǎn)電荷與點(diǎn)磁荷之間電場(chǎng)和磁場(chǎng)的差異,可以對(duì)磁單極子的存在進(jìn)行探究.

2 高斯定理

18世紀(jì)中期,麥克斯韋在總結(jié)早期電磁理論的基礎(chǔ)上,提出了關(guān)于電磁理論著名的麥克斯韋方程組,從此人類對(duì)電磁領(lǐng)域的研究達(dá)到了新的高度.麥克斯韋方程組的前兩個(gè)方程正是分別關(guān)于電通量ΦE和磁通量ΦB的高斯定理[3-4].

(1)

方程(1)指出,在靜電場(chǎng)中,通過任意一個(gè)閉合曲面S的電通量ΦE等于該面所包圍的所有電量qi的代數(shù)和除以ε0,與閉合面外的電荷無關(guān).

通過對(duì)點(diǎn)電荷電場(chǎng)中高斯定理的探究,可以得到以下幾個(gè)結(jié)論:

b. 通過不包圍點(diǎn)電荷的任意閉合曲面S的電通量恒為0;

c. 多個(gè)點(diǎn)電荷的電通量等于它們單獨(dú)存在時(shí)的電通量的代數(shù)和.

而這種結(jié)論在磁場(chǎng)中并不成立,方程(2)正是這種結(jié)論的表達(dá).

(2)

式中,B表示磁感應(yīng)強(qiáng)度.

由于載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)線是無始無終的閉合線,可以想象,在磁場(chǎng)中,通過任意閉合曲面S的磁通量都等于0,通過類比點(diǎn)電荷在電場(chǎng)中的表現(xiàn),可以得出以下兩種可能存在的結(jié)果:

a. 假設(shè)的點(diǎn)磁荷理論并不成立,單個(gè)的磁單極子并不存在;

b. 磁單極子存在,但是其體積極小,磁偶極子聯(lián)系緊密,只能在微觀層面觀察,在宏觀世界中無法探究其存在.

在經(jīng)典電磁理論中,磁感應(yīng)強(qiáng)度的高斯定理明確地表明:類似于靜電場(chǎng)源的靜電荷,在磁場(chǎng)中無法找到相對(duì)應(yīng)的磁荷,由此決定了電場(chǎng)和磁場(chǎng)的不同特征.也可以證明,在經(jīng)典電磁學(xué)中,并不能夠證明磁單極子的存在.

3 Berry幾何相與磁單極子問題

根據(jù)文獻(xiàn)[5],倪光炯等編著的高等量子力學(xué)是這樣討論貝瑞相的:考慮一個(gè)量子體系的哈密頓(Hamilton)量,用符號(hào)H來表示,H(R(t))依賴于含時(shí)參量R(t),且周期演化,周期為τ,R(τ)=R(0).

(3)

(4)

設(shè)H(R(t))的瞬時(shí)本征方程為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

利用Stoke’s定理,γm(C)還可以化為參數(shù)空間中的面積分.

即

由式(11)可以推出γm(C)為實(shí),類比式(13)與前文中關(guān)于點(diǎn)磁荷的假設(shè),此時(shí),可以推測(cè)出磁單極子存在的可能性.

利用×(ua)=u×a+u×a化為

再利用

得

(16)

定義厄米算符

(17)

則

式(16)可以表示成為

(19)

所以

利用

在上式中,找到了一個(gè)點(diǎn)可以使得磁通量積分不為0,與前文中提出的“點(diǎn)電荷與點(diǎn)磁荷”理論進(jìn)行對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn),在微觀上找到了磁單極子理論上存在的依據(jù),這種發(fā)現(xiàn)也可以更好地解釋反霍爾效應(yīng)的現(xiàn)象.可以進(jìn)一步大膽推測(cè),這個(gè)使得磁通量積分不為0的點(diǎn)即為磁單極子存在的奇點(diǎn).可證明,磁單極子奇點(diǎn)出現(xiàn)在能級(jí)簡并處.當(dāng)然貝瑞相的研究并不局限于磁單極子問題[6-7].

4 一個(gè)典型案例:光霍爾效應(yīng)中的Berry相

根據(jù)電磁場(chǎng)理論,把電流通過導(dǎo)體所產(chǎn)生的橫向電壓效應(yīng)稱為霍爾效應(yīng).而當(dāng)光線通過晶體時(shí)也會(huì)產(chǎn)生光的振動(dòng)矢量和晶體折射率有關(guān)的橫向偏振,俗稱光霍爾效應(yīng)[8-9].

通過對(duì)光霍爾效應(yīng)的研究,人們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)原本被忽視的現(xiàn)象:Berry相在解釋光霍爾效應(yīng)產(chǎn)生機(jī)制中的作用.

根據(jù)自旋為1/2的粒子在旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)中的Berry相的計(jì)算方式[10-11],嘗試計(jì)算光霍爾效應(yīng)中的Berry相.以自旋為1的光子取代自旋為1/2 的電荷,以折射系數(shù)的變化取代電勢(shì)的變化.此方法最早發(fā)布于文獻(xiàn)[12].

可設(shè)通過晶體的光子的哈密頓量為

則

(20)

式中:Ky為波矢量;δ為光子的微小偏移量.

粒子演化滿足薛定諤方程

(21)

在絕熱近似條件下,設(shè)任意時(shí)刻系統(tǒng)的演化波函數(shù)為

(22)

式中,ω0為初態(tài)角頻率.

把式(20)和式(22)代入粒子的薛定諤方程式(21)中,得

化簡得

其久期方程式的行列式為

通過求解得

式中,Ω=δKy-ω0.

假定當(dāng)偏移量δ=δ0(δ0為偏移量初始值)時(shí),使得介質(zhì)的折射率緩慢變化成為一個(gè)周期T的變化,則系統(tǒng)的總相位應(yīng)為

此處引入-2π是為了使系統(tǒng)在初始位置時(shí),總的相位為零.在絕熱近似,即ω0?ω時(shí),上式可以化為

式中:ω為角頻率,±ωT為動(dòng)力學(xué)相;?Ω(C)為對(duì)應(yīng)不同自旋態(tài)時(shí)的Berry相,Ω(C)=2π(1-cosθ),為系統(tǒng)演化時(shí)所經(jīng)閉合路徑對(duì)原點(diǎn)所張的立體角.這個(gè)簡單計(jì)算的結(jié)論告訴我們:光霍爾效應(yīng)中貝瑞相不但存在,而且可以測(cè)量.

5 結(jié) 論

通過對(duì)磁單極子與Berry幾何相關(guān)系的探究和Berry幾何相與光霍爾效應(yīng)的探究,從中發(fā)現(xiàn)了三者之間的關(guān)系,光霍爾效應(yīng)的探究為Berry幾何相的存在提供了實(shí)驗(yàn)依據(jù).而在進(jìn)一步的Berry幾何相與磁單極子關(guān)系的探究中發(fā)現(xiàn),在微觀條件下,出現(xiàn)了一個(gè)可以使磁通量積分不為0的點(diǎn),類比于前文得出的初步結(jié)論,有理由相信在能級(jí)簡并處存在著磁單極子.但在光霍爾效應(yīng)中如何具體定義出磁單極子還是一個(gè)未能解決的問題,至少形式上找到了磁單極子存在的依據(jù).我們猜測(cè):只要有貝瑞相存在的場(chǎng)合均有可能找到磁單極子.

[1] 李國棟.磁單極子理論和實(shí)驗(yàn)的發(fā)展[J].自然辯證法通訊,1983(2):29-37.

[2] 葉禹卿.磁單極子淺析[J].北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,1(1):15-19.

[3] 郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)[M].第3版.北京:高等教育出版社,2008.

[4] 程守洙,江永之.普通物理學(xué):上冊(cè)[M].6版.北京:高等教育出版社,2006.

[5] 倪光炯,陳蘇卿.高等量子力學(xué)[M].2版.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2004.

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(編輯:丁紅藝)

New Attempt to Study the Problem of Magnetic Monopole

NI Weixin, SUN Kai

(CollegeofSience,UniversityofShanghaiforScienceandTechonlogy,Shanghai200093,China)

The Gauss theorem points that the macro magnetic field is of no source in forms.In other words,it can be used as a criterion for judging the existence of magnetic monopole.But in the micro-world,the magnetic monopole can be found by means of testing the existence of the Berry-phase.A new style method was developed to discuss the possibility of the existence of magnetic monopole in micro area by comparing the Berry-phase and Hall effect of light.Based on the theories in macro and micro areas,a simple theoretical derivation was presented to probe into the possibility of the existence and conditions of “magnetic monopole”.

magneticmonopole;Gausstheorem;Berry-phase;Halleffectoflight

1007-6735(2017)02-0165-05

10.13255/j.cnki.jusst.2017.02.012

2016-07-26

倪衛(wèi)新(1957-),男,講師.研究方向:光學(xué)、理論物理.E-mail:nwxysp@qq.com

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