何冬黎 吳璟莉 鄧劍鋒

摘 要：“數(shù)據(jù)庫原理”課程是廣西師范大學(xué) 計算機科學(xué)與信息工程學(xué)院計算機專業(yè)及信息管理專業(yè)本科生的必修課，關(guān)系代數(shù)中的“除”運算是該課程的一個重難點。文章結(jié)合筆者多年的教學(xué)研究和實踐，對關(guān)系代數(shù)“除”運算的教學(xué)進行了探討，希望能夠有益于該課程教學(xué)的研究。

關(guān)鍵詞：“數(shù)據(jù)庫原理”課程教學(xué)；關(guān)系代數(shù)；“除”運算；包含

廣西師范大學(xué)計算機科學(xué)與信息工程學(xué)院在學(xué)生大二時會開設(shè)必修課程—“數(shù)據(jù)庫原理”。課程目標(biāo)是使學(xué)生掌握數(shù)據(jù)庫技術(shù)相關(guān)概念、理論和方法，并具有一定的數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)設(shè)計能力，為下面開發(fā)數(shù)據(jù)庫應(yīng)用系統(tǒng)打下良好的基礎(chǔ)[1]。課程的用書是中國人民大學(xué)王珊[2]老師的國家精品課程團隊編寫的教材—《數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)概論》，高等教育出版社出版，已經(jīng)到了第5版。教材比較簡潔，比如在講解“除”運算時，首先講了“除”運算的定義，然后給了3個“除”運算的例題就結(jié)束了。這個臺階跨度太大，很多學(xué)生不好理解，表現(xiàn)為“除”運算的題目做不出。為了讓學(xué)生上得去，好理解，老師的作用就是在中間多加幾級臺階。筆者加的第1級臺階是：講解“除”運算的由來及用處，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；第2級臺階：將“除”運算題目分成兩類，分別講解解決方法，對癥下藥；第3級臺階：及時總結(jié)，并對學(xué)生的易錯點進行錯誤原因講解，鼓勵學(xué)生學(xué)好這個重難點。以下為具體的授課過程。

1 關(guān)系代數(shù)中“除”運算的由來及用處探討，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

由一道除法題引出思考：9÷2=4…1是什么意思？商等于4，表示被除數(shù)9里面包含有4個除數(shù)2。還剩下1沒有完全包含一個2，只包含了部分，所以1是余數(shù)。即“除”有包含（覆蓋）的意思。總結(jié)推廣到二維表（關(guān)系）做“除”運算，是在二維上實現(xiàn)包含（覆蓋）的含義。即在一個大表中找包含（覆蓋）了一個小表的運算。為了好讓學(xué)生理解，補充以下例子。

補充例子（“除”運算的實際應(yīng)用）如下：我們有選修情況表SCG表（見表1），包括姓名、性別、課程名稱、院系、成績屬性，若想查詢有哪些同學(xué)的離散數(shù)學(xué)課程得了優(yōu)且數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程也是優(yōu)？即，誰的選修情況包含（覆蓋）了以下的CG表（見表2），這時就需要用到除法：SCG÷CG。

2 將“除”運算題目分成兩類，分別講解解決方法

2.1 “除”運算的定義

下面給出關(guān)系代數(shù)中“除”運算的明確定義，在教材55頁。首先復(fù)習(xí)以前學(xué)過的象集Zx的概念，在教材51頁。

“除”運算定義：給定關(guān)系R （X，Y） 和S（Y，Z），其中X，Y，Z為屬性組。R中的Y與S中的Y可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域集。R與S的除運算得到一個新的關(guān)系P（X），P是R中滿足下列條件的元組在X屬性列上的投影：元組在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，記作：R÷S={tr[X]|tr∈R∧πY（S）?Yx}。Yx：x在R中的象集，x= tr[X]。

講解該概念要注意的地方：關(guān)系R的所有屬性被分成了X和Y兩個屬性組（或叫屬性集），S的所有屬性被分成了Y和Z兩個屬性組。關(guān)系R和S有公共屬性組Y，也就是要求要覆蓋的部分，Y結(jié)構(gòu)要相同，體現(xiàn)在其屬性個數(shù)、屬性的類型長度等相同。該定義即為求解第一類題目—求“除”運算結(jié)果的解題步驟。

2.2 第一類題目—求“除”運算結(jié)果

總結(jié)第一類題目解題步驟，從二維表的行、列兩個方向來控制“除”運算的結(jié)果。

（1）首先求屬性列：先找出公共屬性Y，則R÷S的屬性列是大表（被除數(shù)）R的屬性差掉公共屬性后剩余的屬性X。

（2）再求元組記錄行：分成3步。

①求元組在X上分量值x的象集Yx。

②S在Y上投影的集合。

③誰的象集Yx包含投影，則為結(jié)果元組行。

以下為補充例子解題步驟，SCG÷CG=？

（1）首先求屬性列：首先找公共屬性組Y={CNAME，GRADE}，則X={SNAME，SEX，DEPT}，Z為空。所以SCG÷CG的屬性列是大表SCG（被除數(shù)）的屬性差掉公共屬性，即結(jié)果為屬性組 {SNAME，SEX，DEPT}。

（2）再求元組記錄行。

①在關(guān)系SCG中，{SNAME，SEX，DEPT}可以取4個值{（李明，男，通信），（劉月瑩，女，計算機），（吳康，男，通信），（王文晴，女，計算機）}，分別設(shè)為a1，a2，a3，a4，則

a1的象集為{（離散數(shù)學(xué)，優(yōu)），（數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，優(yōu)），（高等數(shù)學(xué)，良）}

a2的象集為{（離散數(shù)學(xué)，良），（數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，優(yōu)）}

a3的象集為{（離散數(shù)學(xué)，優(yōu)），（高等數(shù)學(xué)，良）}

a4的象集為 {（數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，優(yōu)），（離散數(shù)學(xué)，優(yōu)）}

②CG在公共屬性（CNAME，GRADE）上的投影為：{（離散數(shù)學(xué)，優(yōu)），（數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，優(yōu)）}

③（李明，男，通信），（王文晴，女，計算機）的象集包含了CG在公共屬性（CNAME，GRADE）上的投影，所以，SCG÷CG結(jié)果：

總結(jié)：劉月瑩和吳康都是余數(shù)，沒有除盡，因為他們的象集只包含了一部分 {（離散數(shù)學(xué)，優(yōu)），（數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，優(yōu)）}，沒有完全包含。

同樣可以求解教材例題，[例2.9]設(shè)關(guān)系R和S，求R÷S的結(jié)果。

2.3 第二類題目—構(gòu)造“除”運算

有教材51頁的學(xué)生—課程數(shù)據(jù)庫：包括學(xué)生關(guān)系Student（Sno，Sname，Ssex， Sage， Sdept）， 課程關(guān)系Course（Cno，Cname，Cpno，Ccredit）和選修關(guān)系SC（Sno，Cno，Grade）。[例2.13]對學(xué)生—課程數(shù)據(jù)庫，用關(guān)系代數(shù)表達式表達查詢：選修了全部課程的學(xué)生號碼和姓名。總結(jié)第二類題目解題步驟：

（1）判斷是否用 “除”運算。題目中有“全部”“所有”的字眼時，要求在一個大表中要包含（覆蓋）一個小表時用“除”運算。

（2）構(gòu)造“除”運算的大表（即被除數(shù)）和要包含（覆蓋）的小表（除數(shù)）的元組行。

（3）構(gòu)造兩個表包括的屬性，使大表屬性差掉公共屬性即為所求屬性列。

用以上步驟做[例2.13]：

（1）判斷是否用“除”運算。題目要求查詢：誰的選修情況包含（覆蓋）了所有課程，所以要用“除”運算。

（2）構(gòu)造大表（被除數(shù)）和小表（除數(shù)）元組行：大表是所有同學(xué)的選修情況SC表，小表是所有的課程情況Course表，求學(xué)生號碼和姓名。先求學(xué)生號碼。寫出SC÷Course。

（3）構(gòu)造兩個表包括的屬性，使大表屬性差掉公共屬性即為所求屬性列：

πSno，Cno（SC）÷πCno（Course）

（4）學(xué)號是學(xué)生的主鍵，當(dāng)學(xué)生的學(xué)號確定了，與學(xué)生基本情況表Student表自然連接，就能獲得該學(xué)生的姓名等信息了。

πSno，Cno（SC）÷πCno（Course） πSno，Sname（Student）

3 易錯點：“除”運算與“選擇” 運算的區(qū)別

在補充例子SCG表，若要覆蓋、包含以下的L表，應(yīng)該用“除”運算SCG÷L。若要覆蓋、包含以下的K表，應(yīng)該用“選擇”運算σCNAME= ‘離散數(shù)學(xué) ^ GRADE= ‘優(yōu) （SCG）。

總結(jié)：因為一個表的當(dāng)前記錄指針只有一個，所以只要包含（覆蓋）的信息只涉及一條元組時，用“選擇”運算；要包含（覆蓋）兩條及以上元組時，則用“除”運算。

4 結(jié)語

關(guān)系“除”運算是關(guān)系代數(shù)中最難的一種運算。在教學(xué)中，筆者總結(jié)了一種求“除”運算結(jié)果的步驟和一種構(gòu)造“除”運算表達式來實現(xiàn)查詢的方法及技巧，并對學(xué)生易錯點：“除”運算與“選擇”運算的區(qū)別進行了探討。經(jīng)過課堂教學(xué)證明，這些方法和技巧教學(xué)效果良好，希望能夠?qū)υ擃悊栴}教學(xué)研究的發(fā)展有所幫助。

[參考文獻]

[1]何冬黎.數(shù)據(jù)庫原理教學(xué)中數(shù)據(jù)庫優(yōu)化設(shè)計方法的探討[J].科技信息（學(xué)術(shù)研究），2007（24）：329-330.

[2]王珊，薩師煊.數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)概論[M].5版.北京：高等教育出版社，2014.