鄧長喜

[摘要]介紹了Abaqus中隨機響應分析的特點，簡要論述了虛擬激勵法的理論基礎，介紹了利用Abaqus諧響應分析結果得到隨機響應結果的步驟。并以懸臂梁為例，將本文方法和Abaqus中自帶隨機振動求解器計算結果進行對比。結果表明，兩者誤差很小，本文方法計算結果可信。

[關鍵詞]隨機響應；振動；虛擬激勵法；大阻尼

0引言

在工程上，隨機響應分析常用來預先分析設備抵抗隨機載荷的能力。隨機振動將概率論與統(tǒng)計學中的方法應用到評估設備結構的穩(wěn)定性、識別、響應以及可靠性上，形成了一個相關學科相結合的新產(chǎn)物。

Abaqus作為一個通用有限元求解器，在各個行業(yè)得到了廣泛的應用。隨機分析的激勵作為時間的函數(shù)。具體載荷（力、速度等）都是未知的，載荷的本質(zhì)是通過統(tǒng)計學的方法描述。在Abaqus中進行隨機響應分析時，直接輸入激勵的功率譜密度（PSD）曲線，然后有求解器直接計算出結構響應的功率譜密度曲線和對應的均方根（RMS）值。隨機響應分析是一個頻域的線性攝動分析過程，通過結構的特征模態(tài)來計算得到。阻尼可以通過模態(tài)阻尼、結構阻尼、瑞利阻尼或者復合阻尼等方式施加到結構模型中。直接隨機響應分析具有方便操作，計算速度快等特點。但是，直接隨機響應基于模態(tài)疊加法，使用的是全局的模態(tài)阻尼，只適用于小阻尼的情況，不能形成阻尼矩陣參與動力學分析，無法為材料添加阻尼，在含有大阻尼的橡膠材料構成的減震器模型中無法應用該分析。

本文簡要介紹了虛擬激勵法，并通過該方法處理Abaqus穩(wěn)態(tài)動力學分析結果得到對應PSD激勵下的隨機響應結果，并且和常規(guī)隨機響應分析結果做出對比。

1基本原理

穩(wěn)態(tài)動力學和隨機振動分析在Abaqus中都是基于掃頻分析，本質(zhì)上是一樣的。

但是，穩(wěn)態(tài)動力學（正弦振動）分析的輸入（激勵）是各個頻率點的加速度或位移峰值，響應為各個頻率點的加速度或位移峰值。得到的傳遞函數(shù)為單位激勵下每個頻率點的響應。它是按照用戶設定的掃頻點一個一個地進行分析。如果輸入的激勵為單位值，則各個頻率上的單位激勵。引起各個頻率上的響應。也就是傳遞函數(shù)。

隨機振動分析的輸入（激勵）是每個頻率成分的加速度密度值。加速度PSD曲線在整個頻率段上的積分為加速度均方值，開根號后為均方根加速度。響應也是每個頻率成分的加速度密度值，積分再開根號得到響應的均方根加速度，雖然它也是按照用戶設定的掃頻點一個一個地進行分析，但是它是一個PSD曲線對應一個響應，各個頻率上的激勵，引起各個頻率上的響應。

所以，穩(wěn)態(tài)動力分析是各個掃頻點的激勵對應各個掃頻點的響應，隨機響應分析是所有頻率成分的密度組成的一個激勵對應所有頻率成分密度組成的一個響應。它們之間的橋梁就是傳遞函數(shù)。

對于一個平穩(wěn)隨機激勵的線性系統(tǒng)，頻率響應表征了系統(tǒng)在頻域的動態(tài)特性，決定了系統(tǒng)輸入與輸出的關系。在零初始條件下，頻響函數(shù)是輸出與輸入的復數(shù)之比，即

（1）

式中，H（f）為頻響函數(shù)，f為頻率，Y_f（t）為響應y（t）的傅立葉變換，X_t（t）為激勵x（t）的傅立葉變換。

對于收到平穩(wěn)隨機激勵的系統(tǒng)，激勵的功率譜密度S_x（f）已知，構造如下的虛擬激勵：

（2）

由式子（1），可以得到在虛擬激勵下的虛擬響應為：

（3）

由虛擬激勵得到虛擬響應之后，可以由下列公式計算真實響應的自功率譜密度、真實激勵與真實響應的互功率譜密度：

（4）

（5）

（6）

2Abaqus算例

2.1基本思路

此方法將常規(guī)的隨機響應分析轉化為了諧響應分析，間接由SSD響應結果轉化而來。求解的基本思路如下：

1）求取系統(tǒng)的頻響函數(shù)。采取Steady_State dynamics求解器，選用Dieret方法，該方法可以設置各材料的阻尼值。

2）通過頻響函數(shù)求取關心參數(shù)（如Mises應力）的PSD響應，參考公式如下！

（7）

其中，S_xx（ω）是輸入（激勵）的PSD函數(shù)，S_yy（ω）是輸出（響應點）的PSD函數(shù)，H（ω）是結構的傳遞函數(shù)。

3）通過PSD響應求關系參數(shù)在掃頻范圍內(nèi)的RMS值，對PSD響應曲線進行積分（即求曲線下的面積）即可以得到RMS曲線。關心頻率上限對應的值就是關心頻率內(nèi)的RMS值。

2.2算例

算例模型是尺寸為914.4mm*76.2mm*12.7mm的懸臂梁，密度為2.7793E-9T/mm³，彈性模量為68965MPa，柏松比為0.3，模型在毫米制單位下建立。為了計算的快速，網(wǎng)格數(shù)量為30*1*1，類型為C3D8I。一端完全約束，另一端自由。

諧響應分析中材料阻尼定義為0.06，給模型添加X方向的單位加速度正弦激勵；隨機響應分析中阻尼為整體的模態(tài)阻尼，大小為0.03，同樣將激勵添加到x方向，添加的加速度功率譜密度曲線定義如下：

*Psd-definition，name=Amp-1，g=9800.，type=BASE

0.0001，0.，1.

0.01，0.，4.

0.01，0.，100.

0.001，0v，200v

經(jīng)過分析，模型在1-200Hz內(nèi)的模態(tài)如表1所示。

讀取模型中編號為125、141的節(jié)點進行對比，圖2為常規(guī)隨機響應分析結果，圖3為由SSD分析結果轉換而來的真實隨機響應結果。在圖4中，將兩中方法得到的結果進行對比，在峰值附近兩種結果的誤差很小。圖5、圖6分別為兩點在X方向上的位移PSD響應的對比，圖7～圖8為兩點的X方向位移分量RMS對比和Mises應力的RMS對比。

3結論

經(jīng)過對比分析Abaqus自帶隨機響應求解器計算結果和本文方法的結果，得出以下結論：

1）工程上常用各分量的RMS值進行評價。經(jīng)過對比兩個節(jié)點的Mises應力的RMS值，以及X方向位移分量的RMS值，可以發(fā)現(xiàn)誤差很小，本文方法可信。

2）從圖2～圖10的對比圖可以看出，在響應的各峰值附近，兩種方法結果的差異非常的小，但是峰值外的地方差別相對較大。一個原因是因為本文對比圖中采用了對數(shù)坐標，從圖中可以看出差異大的地方數(shù)量級非常小?；究梢院雎?；另一個原因是，本文方法在處理數(shù)據(jù)時采用的線性插值，而Abaqus自帶求解器則采用的對數(shù)插值。

3）在Abaqus中的隨機響應分析步無法設置材料阻尼，只能使用模態(tài)阻尼，而本文方法使用的是直接法進行諧響應分析，因此可以直接設置材料的阻尼。

[責任編輯：楊玉潔]