郭文杰， 李天勻,3， 朱 翔， 繆宇躍， 楊國(guó)棟

(1. 華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074；2. 船舶與海洋水動(dòng)力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074；3. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

計(jì)及自由液面影響的水下有限深度圓柱殼自由振動(dòng)分析

郭文杰1,2， 李天勻1,2,3， 朱 翔1,2， 繆宇躍1,2， 楊國(guó)棟1,2

(1. 華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074；2. 船舶與海洋水動(dòng)力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074；3. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

提出了一種求解有限浸沒深度下圓柱殼振動(dòng)特性的解析方法。采用鏡像原理和Graf加法定理得到流體速度勢(shì)的解析表達(dá)式，然后再結(jié)合能量泛函變分方法推導(dǎo)出計(jì)及自由液面影響的殼-液耦合振動(dòng)方程，通過求解該方程，得到結(jié)構(gòu)各階固有頻率。研究表明，相比于無限域，自由液面的存在會(huì)增大同階次模態(tài)固有頻率，而且離自由液面越近，固有頻率越大，但是隨著浸沒深度逐漸增加，自由振動(dòng)特性很快趨近于無限域。與有限元軟件Nastran計(jì)算結(jié)果對(duì)比表明該方法準(zhǔn)確、可靠、簡(jiǎn)便，且具有計(jì)算量小、易于參數(shù)優(yōu)化的優(yōu)點(diǎn)，也為近水面結(jié)構(gòu)流固耦合振動(dòng)特性分析提供了新的思路。

自由液面；能量泛函變分；鏡像原理；Graf加法定理

圓柱殼-流場(chǎng)耦合振動(dòng)的研究工作很多， 徐慕冰[1]基于波傳播法研究了流場(chǎng)中圓柱殼頻散特性及振動(dòng)能量流機(jī)理， Zhang等[2-3]采用同樣的方法分析了圓柱殼-流場(chǎng)耦合自由振動(dòng)特性。曹雷等[4]運(yùn)用Riccati傳遞矩陣法和齊次擴(kuò)容精細(xì)積分法求解了水下環(huán)肋圓柱殼聲振問題，李學(xué)斌[5]采用能量法分析了流場(chǎng)中計(jì)及靜壓影響環(huán)肋圓柱殼的自由振動(dòng)問題。但是上述工作中并未考慮自由液面的影響。

自由液面對(duì)殼-液耦合振動(dòng)影響的研究工作較少，Ergin等[6]基于實(shí)驗(yàn)和三維水彈性軟件對(duì)有限浸沒深度下圓柱殼振動(dòng)特性進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)離自由液面越近，同階次固有頻率越大。Amabili[7]對(duì)部分充液圓柱殼進(jìn)行研究，提出了用扇形邊界替代自由液面的近似方法。之后， Amabili[8]將該方法拓展到處理部分浸沒問題。隨后 Ergin等[9]利用邊界積分法和鏡像原理對(duì)部分充液(浸沒)圓柱殼振動(dòng)特性進(jìn)行研究，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合良好。王斌等[10]從圓柱殼表面的均方振速和輻射聲功率的角度，對(duì)半浸狀態(tài)和全浸狀態(tài)下圓柱殼在無限長(zhǎng)線激勵(lì)作用下的聲振特性進(jìn)行了比較分析，指出了二者之間的差別與聯(lián)系。白振國(guó)等[11]采用鏡像法建立了有限水深環(huán)境中二維圓柱殼的振動(dòng)聲輻射數(shù)學(xué)物理模型，初步計(jì)算了淺水對(duì)圓柱殼振動(dòng)聲輻射的影響規(guī)律及水深、潛深對(duì)聲場(chǎng)分布和衰減特性的影響規(guī)律。Li等[12]基于鏡像原理進(jìn)行了自由液面下有限潛深無限長(zhǎng)圓柱殼結(jié)構(gòu)的聲輻射性能研究，基于穩(wěn)相法，最終得到了有限浸沒深度下圓柱殼結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓的計(jì)算表達(dá)式。劉佩等[13]采用有限元軟件ANSYS對(duì)有限深度浸沒圓柱殼進(jìn)行仿真，得到了和文獻(xiàn)[6]類似的結(jié)論，并指出自由液面對(duì)圓柱殼自由振動(dòng)的影響在浸沒深度大于四倍半徑時(shí)可以忽略不計(jì)。

目前有限元-邊界元耦合計(jì)算方法是結(jié)構(gòu)-流場(chǎng)耦合分析中比較常用的數(shù)值方法，該方法也隨之應(yīng)用到處理自由液面問題[14-16]，通過和鏡像原理的結(jié)合，即對(duì)三維聲學(xué)Helmholtz方程基本解的修正，實(shí)現(xiàn)計(jì)及自由液面影響的流固耦合振動(dòng)性能計(jì)算。

針對(duì)有限元-邊界元耦合計(jì)算方法建模工作量大、計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)的不足，本文提出了一種解析求解近自由液面圓柱殼振動(dòng)特性的方法。基于勢(shì)流理論，通過引入鏡像原理來處理自由液面處的聲學(xué)邊界條件，利用Graf加法定理[17]對(duì)實(shí)源和虛源兩種坐標(biāo)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到速度勢(shì)在流場(chǎng)的分布，然后再結(jié)合能量泛函變分方法得到殼-液耦合振動(dòng)方程，進(jìn)而可以求解其自由振動(dòng)特性。

1 理論分析

圓柱殼長(zhǎng)度為L(zhǎng)，厚度為h，中面半徑為R，浸沒深度為H，u,v,w分別表示軸向、周向和徑向的中面位移，殼體材料的密度為ρ,彈性模量為E，泊松比為μ。流體密度為ρf。取圓柱殼左端面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)(x,y,z)。實(shí)際分析中選擇柱坐標(biāo)系(x,r,φ)，其中，x表示軸向，r表示徑向，φ為周向角(與y軸夾角)，如圖1所示。

為了研究方便，本文取兩端簡(jiǎn)支邊界條件，因此位移場(chǎng)如下所示

(1)

(a)

(b)圖1 模型及坐標(biāo)系Fig.1 Model and coordinate system

式中：m為軸向半波數(shù)；n為周向波數(shù)；Umn,Vmn,Wmm為三向位移幅值；km=mπ/L。

本文采用能量泛函變分的方法研究有限浸沒深度圓柱殼振動(dòng)特性，故首先應(yīng)得到各部分能量的表達(dá)式。

殼體應(yīng)變能(基于Love殼體理論)可以表示為

(2)

式中：ε為應(yīng)變向量；σ為應(yīng)力向量；V表示圓柱殼體積分域。

根據(jù)位移函數(shù)正交性，積分后式(2)可以寫成

(3)

式中：{ξmn}={Umn,Vmn,Wmn}; 剛度矩陣[Kmn]為三階Hermite矩陣。

殼體動(dòng)能如下所示：

(4)

同理根據(jù)位移函數(shù)正交性，積分后可以表示為

(5)

式中，質(zhì)量矩陣[Mmn]為三階對(duì)角矩陣。

為求解流體做功，首先需要得到速度勢(shì)函數(shù)的解析表達(dá)式。

本文基于勢(shì)流理論，流體視為不可壓縮、無旋、無粘性的理想流體，因此速度勢(shì)函數(shù)φ(r,x,φ,t)滿足柱坐標(biāo)系下Laplace方程

(6)

對(duì)于水下圓柱殼，滿足無窮遠(yuǎn)處速度勢(shì)為零的條件

(7)

由于自由液面的存在，可以借鑒鏡像原理進(jìn)行分析，認(rèn)為速度勢(shì)可由結(jié)構(gòu)振動(dòng)直接引起的實(shí)源速度勢(shì)和自由液面反射的虛源速度勢(shì)疊加組成。虛源坐標(biāo)系(x′,r′,φ′)與實(shí)源坐標(biāo)系關(guān)于自由液面對(duì)稱，如圖2所示。

圖2 鏡像原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of image method

設(shè)流域中任意一點(diǎn)為點(diǎn)P，其速度勢(shì)函數(shù)可以表示為

φ(r,x,φ,t)=φr(r,x,φ,t)+φi(r′,x′,φ′,t)

(8)

式中：φr(x,r,θ,t)表示實(shí)源流體速度勢(shì)；φi(x′,r′,φ′,t)表示虛源流體速度勢(shì)。

滿足式(6)和(7)的速度勢(shì)函數(shù)有以下形式

(9)

式中，Kn()為第二類修正貝賽爾函數(shù)。

自由液面處速度勢(shì)為零

φr(r,x,φ,t)+φi(r′,x′,φ′,t)=0

(10)

當(dāng)P點(diǎn)位于自由液面上時(shí)滿足如下位置關(guān)系

r=r′,x=x′,φ+φ′=π

(11)

將式(9)、(11)代入式(10)，正交化處理后得到

(12)

即可以得到速度勢(shì)函數(shù)的解析表達(dá)式：

(13)

根據(jù)Graf加法定理

K-n(kmr′)exp(-inφ′)=

(14)

對(duì)于有限深度浸沒，結(jié)構(gòu)表面處半徑r≈R< 2H，因此速度勢(shì)解析表達(dá)式

(15)

因?yàn)橄禂?shù)a和n地位等價(jià)，交換順序級(jí)數(shù)求和后上式改寫為

(16)

根據(jù)圓柱殼外壁面處速度連續(xù)條件，有：

(17)

將式(16)代入式(17)中，正交化處理后可以得到速度勢(shì)幅值向量{φn}和位移幅值向量{ζn}的關(guān)系

{φn}=[Q]{ζn}

(18)

式中，[Q]為遷移矩陣， {φn}={φm,-N,φm,-N+1,…,φm,N}T，{ζn}={Wm,-N,Wm,-N+1,…,Wm,N}T，即可將速度勢(shì)幅值向量用位移幅值向量表示。

由伯努利方程可以得到壁面處流體動(dòng)壓力

(19)

流體做功為

(20)

由上述各能量分量可得到能量泛函表達(dá)式

Π=U-Wf-T

(21)

根據(jù)變分原理，滿足：

(22)

由對(duì)幅值Umn，Vmn的偏導(dǎo)為0，可以得到其與幅值Wmn的線性關(guān)系，簡(jiǎn)寫為如下所示的形式

(23)

式中，a1，b1，c1和a2，b2，c2都是關(guān)于角頻率ω，剛度矩陣[Kmn]和質(zhì)量矩陣[Mmn]的系數(shù)，即Umn，Vmn可由Wmn進(jìn)行代換。

[Tm]{ζn}=0

(24)

式中，[Tm]為2N+1階矩陣，元素中含角頻率ω。

因?yàn)閧ζn}中元素不全為0，所以[Tm]必然不是滿秩矩陣，即：

det([Tm])=0

(25)

根據(jù)上式可以求解出軸向波數(shù)m取任意值時(shí)各階角頻率ω，從而可以得到固有頻率值。

2 數(shù)值計(jì)算

模型參數(shù)：殼長(zhǎng)L=1.284 m，半徑R=0.18 m，厚度h=0.003 m，殼體密度ρ=7 850 kg/m3，楊氏模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3，流體密度ρf=1 025 kg/m3。為了說明方法收斂性，本文取H=0.2 m，計(jì)算前十階頻率隨截?cái)鄶?shù)N的變化規(guī)律，如表1所示。

表1H=0.2 m前十階頻率收斂性分析

Tab.1 Convergence analysis for the first ten natural frequencies whenH=0.2 m Hz

從表1可以看出，截?cái)鄶?shù)N大于等于10以后，各階固有頻率值已經(jīng)收斂，故后續(xù)算例截?cái)鄶?shù)N都取10。本文對(duì)于不同浸沒深度下前十階固有頻率做過收斂性分析，結(jié)果均表明截?cái)鄶?shù)N取10時(shí)頻率已收斂，限于篇幅，并不贅述。

為驗(yàn)證解析方法的準(zhǔn)確性，本文對(duì)比了不同浸沒深度下解析方法和有限元軟件Nastran仿真計(jì)算的前十階固有頻率值，如表2所示。

表2 不同深度下解析方法與仿真方法固有頻率對(duì)比

Tab.2 Comparison of frequencies between analytical method and simulation method in different submerged depth Hz

從表2可以看出，不同浸沒深度下解析方法和有限元仿真計(jì)算的前十階固有頻率符合的很好，最大誤差不超過2%，說明本文方法是準(zhǔn)確可靠的。而且隨著浸沒深度的增加，同階次固有頻率逐漸降低，并且很快趨于無限域的固有頻率解析計(jì)算值。

為了更直觀的了解自由液面對(duì)自由振動(dòng)的影響，本文提取了H=0.2 m以及無限域時(shí)解析方法和仿真計(jì)算得到的前四階模態(tài)的周向振型及固有頻率，如圖3所示。

圖3 前四階模態(tài)周向振型及固有頻率Fig.3 Circumferential vibration types and natural frequencies of the first four order modes

從圖3可以看出，受自由液面影響，當(dāng)浸沒深度較小時(shí)，模態(tài)振型與無限域情況有明顯區(qū)別，一方面不再是規(guī)則的周向波型，令一方面，正反模態(tài)頻率出現(xiàn)差異。這是由于自由液面的存在使原本正交的周向波出現(xiàn)相互耦合，形成更為復(fù)雜的振型。本文方法計(jì)算的振型和有限元軟件Nastran計(jì)算的振型吻合良好，進(jìn)一步驗(yàn)證了方法準(zhǔn)確性。

上述工作研究了自由液面對(duì)振動(dòng)性能的影響，為進(jìn)一步得到固有頻率隨浸沒深度的具體變化規(guī)律，本文繪制了前四階固有頻率隨無量綱浸沒深度(浸沒深度與結(jié)構(gòu)半徑比值H/R)的變化曲線，如圖4所示。

(a) 第一階固有頻率

(b) 第二階固有頻率

(c) 第三階固有頻率

(d) 第四階固有頻率圖4 前四階固有頻率隨浸沒深度變化曲線Fig.4 Curves of the first four natural frequencies in different depth

從圖4可以看出，前四階固有頻率值在無量綱浸沒深度H/R小于2時(shí)變化比較明顯，此后隨著H/R增大很快趨于平緩，說明自由液面和結(jié)構(gòu)距離在二倍半徑以內(nèi)時(shí)才會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)有較為明顯的影響。

為確定圓柱殼振動(dòng)性能趨于無限域時(shí)無量綱浸沒深度H/R具體取值，定義參數(shù)κ=(f-f無限域)/f無限域，其中f為任意浸沒深度固有頻率，f無限域?yàn)闊o限域同階次固有頻率，κ表征任意浸沒深度下固有頻率相對(duì)于無限域同階次固有頻率的相對(duì)偏差。本文取前十階固有頻率，分析無量綱浸沒深度H/R分別取1.05, 2, 3, 4, 5時(shí)各階固有頻率對(duì)應(yīng)的相對(duì)偏差κ的大小(固有頻率均是解析方法計(jì)算得到且保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)，如表3所示。

表3 不同浸沒深度下各階固有頻率對(duì)應(yīng)的相對(duì)偏差κ

從表3可以看出，當(dāng)無量綱浸沒深度H/R大于等于2時(shí)，相對(duì)偏差κ均在1%以內(nèi)；當(dāng)H/R大于等于4時(shí)，相對(duì)偏差κ均在0.1%以內(nèi)。這也說明當(dāng)浸沒深度大于圓柱殼結(jié)構(gòu)半徑4倍及以上時(shí)，自由液面對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響可以忽略不計(jì)，或者說此時(shí)自由振動(dòng)特性趨于無限域。實(shí)際上隨著浸沒深度的增加，虛源距離實(shí)際結(jié)構(gòu)越來越遠(yuǎn)，因此作用在結(jié)構(gòu)外表面的虛源流體載荷也越來越小，其對(duì)水下結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響越來越弱，最后振動(dòng)特性趨于無限域。

水下圓柱殼流固耦合振動(dòng)特性分析中無量綱軸向波數(shù)kmR是較為敏感的物理量，因此本文針對(duì)無量綱浸沒深度H/R為4 時(shí)不同長(zhǎng)徑比L/R下自由液面對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響進(jìn)行分析。半徑不變，H/R=4，取長(zhǎng)徑比L/R分別為5, 10, 15, 20，分析前4階固有頻率對(duì)應(yīng)的相對(duì)偏差κ的大小，如表4所示。

表4 不同長(zhǎng)徑比L/R下各階固有頻率對(duì)應(yīng)的相對(duì)偏差κ

從表4可以看出，對(duì)于不同的長(zhǎng)徑比，前4階固有頻率對(duì)應(yīng)的相對(duì)偏差κ都小于0.1%，因此對(duì)于不同長(zhǎng)徑比，浸沒深度大于圓柱殼結(jié)構(gòu)半徑4倍及以上時(shí)，自由液面對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響可以忽略不計(jì)。

3 結(jié) 論

基于能量泛函變分的方法和鏡像原理，本文提出了一種求解有限浸沒深度下圓柱殼振動(dòng)特性的解析方法，和數(shù)值仿真計(jì)算結(jié)果對(duì)比表明本文方法是準(zhǔn)確可靠的。通過對(duì)該問題的研究，得到以下三條結(jié)論：

(1) 自由液面的存在會(huì)增大同階次模態(tài)固有頻率，而且離自由液面越近，同階次固有頻率越大。

(2) 離自由液面很近時(shí)，模態(tài)振型與無限域情況有明顯區(qū)別，一方面周向波相互耦合，振型不再規(guī)則，另一方面，正反模態(tài)頻率出現(xiàn)差異。

(3) 自由液面離結(jié)構(gòu)很近時(shí)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響才較為明顯，當(dāng)浸沒深度大于結(jié)構(gòu)半徑的四倍，自由振動(dòng)特性趨于無限域。

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Free vibration of a submerged cylindrical shell with a finite submerged depth considering the effect of free surface

GUO Wenjie1,2， LI Tianyun1,2,3， ZHU Xiang1,2， MIAO Yuyue1,2， YANG Guodong1,2

(1. School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China; 2.Hubei Key Laboratory of Naval Architecture and Ocean Engineering Hydrodynamics, Wuhan 430074, China; 3. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai 200240, China)

An analytical method was proposed to solve the vibration characteristics of a submerged finite cylindrical shell with a finite submerged depth from the fluid free surface. Based on the image method and the Graf’s addition theorem, the analytical expression of the velocity potential of fluid was obtained. According to the energy functional variation principle, combined with the velocity potential of fluid, a fluid-structure coupling equation of the submerged finite cylindrical shell was deduced, and the natural frequencies of the shell were calculated. It is found that, with the same modal order, the natural frequency of the submerged finite cylindrical shell with the consideration of the effect of free surface is larger than that in an infinite fluid field. The natural frequency increases as the submerged depth of the finite cylindrical shell decreases. Moreover, the free vibration characteristics of the submerged finite cylindrical shell with considering the free surface tend to be the same as those without considering the free surface as the submerged depth increases. The reliability and efficiency of the present method were validated by comparing with the finite element method. The work provides more understanding on the vibration characteristics of the submerged finite cylindrical shell with finite submerged water depth.

free surface; energy functional variation; image method; Graf’s addition theorem

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51379083；51479079；51579109)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目(20120142110051)

2016-01-18 修改稿收到日期： 2016-03-29

郭文杰 男，博士生，1991年11月生

李天勻 男，博士，教授，1969年2月生

U661.44

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10.13465/j.cnki.jvs.2017.10.001