林 壽

(1. 閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 福建 漳州 363000; 2. 四川大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610065)

《映射與空間》50年

林 壽1,2

(1. 閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 福建 漳州 363000; 2. 四川大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610065)

1966年,著名的綜述論文(A. V. Arhangel’skiǐ. Uspechi Mat Nauk,1966,21(4):133-184.)對(duì)一般拓?fù)鋵W(xué),尤其是廣義度量空間理論,產(chǎn)生了強(qiáng)大的推動(dòng)力.概述這50年間該文對(duì)一般拓?fù)鋵W(xué)的歷史意義與現(xiàn)實(shí)作用,列舉了文中一些尚未解決的問(wèn)題,同時(shí)介紹近年來(lái)Arhangel’skiǐ的工作對(duì)中國(guó)一般拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展的一些影響.

空間與映射的相互分類(lèi); 映射; 廣義度量空間; 弱基;p空間; 拓?fù)浯鷶?shù)

謹(jǐn)以本文紀(jì)念我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、中國(guó)科學(xué)院院士、四川大學(xué)教授劉應(yīng)明(1940—2016),深切緬懷劉應(yīng)明老師為我國(guó)一般拓?fù)鋵W(xué)及相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展與壯大所做出的卓越貢獻(xiàn).

廣義度量空間理論是一般拓?fù)鋵W(xué)的重要研究課題.關(guān)于廣義度量空間理論的第一次系統(tǒng)和全面的綜述報(bào)告當(dāng)屬D. K. Burke等[1]的文章.該文開(kāi)篇就提到了廣義度量空間理論的3個(gè)主要來(lái)源:度量化問(wèn)題、積空間的仿緊性問(wèn)題與Alexandroff設(shè)想.這一觀點(diǎn)至今依然正確.

捷克斯洛伐克科學(xué)院與國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟于1961年在布拉格召開(kāi)了第1屆“一般拓?fù)鋵W(xué)以及它與現(xiàn)代分析和代數(shù)的關(guān)系”的學(xué)術(shù)會(huì)議,簡(jiǎn)稱(chēng)布拉格拓?fù)鋵W(xué)會(huì)議[2].在這次會(huì)議上,蘇聯(lián)科學(xué)院院士P. S. Alexandroff[3]做了關(guān)于拓?fù)淇臻g及其連續(xù)映射的著名演講,提出了用映射研究空間的設(shè)想,其核心內(nèi)容是如下2類(lèi)問(wèn)題:

問(wèn)題 1 什么空間類(lèi)可以表為“好的”空間類(lèi)(如度量空間類(lèi)、零維空間類(lèi)等)在“好的”連續(xù)映射下的像?

問(wèn)題 2 什么空間類(lèi)可以由“好的”映射類(lèi)映入“好的”空間類(lèi)?

Alexandroff問(wèn)題是關(guān)于映射對(duì)空間進(jìn)行分類(lèi)的思想,導(dǎo)致了空間與映射相互分類(lèi)的方法,其意義在于用映射作為工具提示各種拓?fù)淇臻g類(lèi)的內(nèi)在規(guī)律,將映射作為紐帶把五花八門(mén)的拓?fù)淇臻g聯(lián)結(jié)于一體.1966年A. V. Arhangel’skiǐ[4]發(fā)表了著名綜述論文《映射與空間》,他認(rèn)為:“空間與映射相互分類(lèi)”的實(shí)質(zhì)是下述3個(gè)密切聯(lián)系的基本問(wèn)題(這些問(wèn)題在1978年P(guān). S. Alexandroff等[5]論述點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展的幾個(gè)奠基性時(shí)刻的綜述報(bào)告中再次加以強(qiáng)調(diào)):

問(wèn)題 3 在什么情況下,某個(gè)特定類(lèi)A中的每個(gè)空間,在屬于類(lèi)F的映射作用下,能夠被映成類(lèi)B中的某個(gè)空間?

問(wèn)題 4 如果F(A)是類(lèi)A中的空間在屬于類(lèi)F的映射作用下的像空間全體,那么類(lèi)F(A)中的空間具有怎樣的內(nèi)部特征?

問(wèn)題 5 用F(A,B)表示一類(lèi)映射,其定義域與值域分別是類(lèi)A、類(lèi)B中的空間,設(shè)H是另一映射類(lèi),則類(lèi)F(A,B)∩H中的映射有哪些性質(zhì)?

特別地,上述的一般提法包含了下述問(wèn)題:

問(wèn)題 6 在各類(lèi)映射作用下,哪些拓?fù)湫再|(zhì)保持不變?

《映射與空間》[4]開(kāi)創(chuàng)了用映射研究空間的新紀(jì)元.它較系統(tǒng)地總結(jié)了一般拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展半個(gè)世紀(jì)來(lái)人們?cè)谟成淅碚摲矫嫠〉玫闹匾晒?更重要的是對(duì)如何借助映射來(lái)研究各式各樣的空間給出了一些具體的設(shè)想.50年的研究實(shí)踐已表明[5-9]:這些設(shè)想不僅給一般拓?fù)鋵W(xué)中許多經(jīng)典的課題灌輸了新鮮血液,而且產(chǎn)生了眾多新的研究方向,帶來(lái)了20世紀(jì)60年代末期至整個(gè)20世紀(jì)80年代一般拓?fù)鋵W(xué)的繁榮景象,其中一些課題的持續(xù)探討已發(fā)展成為21世紀(jì)初一般拓?fù)鋵W(xué)中活躍的研究方向.

文獻(xiàn)[4]提出了一些發(fā)展映射與空間理論的新概念,如弱基、弱第一可數(shù)性(文獻(xiàn)[4]中定義2.3)、嚴(yán)格p空間(文獻(xiàn)[4]中定義5.1)、σ仿緊空間(文獻(xiàn)[4]中定義5.2)、偽乘積空間(文獻(xiàn)[4]中定義5.3)、MOBI類(lèi)(文獻(xiàn)[4]中定義5.4)、MOBOS類(lèi)(文獻(xiàn)[4]中定義5.5)、FABOS類(lèi)(文獻(xiàn)[4]中定義5.6).本文試圖以“核心問(wèn)題”、“弱基”和“p空間”為切入點(diǎn),從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明關(guān)于空間與映射相互分類(lèi)思想的來(lái)龍去脈以及它對(duì)激發(fā)新的研究工作的歷史意義及現(xiàn)實(shí)作用.

本文依照文獻(xiàn)[4]的約定,所有映射都是連續(xù)的滿(mǎn)射,若未特別說(shuō)明,所論的空間都是完全正則的空間.本文中τ表示實(shí)直線(xiàn)R的基數(shù).

1 核心問(wèn)題

《映射與空間》[4]分成6節(jié),證明或引用定理43個(gè),最重要的部分是所提出的問(wèn)題,文中共引用、提出問(wèn)題或猜想71個(gè),其中33個(gè)給予標(biāo)號(hào)的問(wèn)題或猜想被作者認(rèn)為是最困難的.首先從Arhangel’skiǐ問(wèn)題[4]中選取6個(gè)已解決的問(wèn)題給予論述.

問(wèn)題 1.1(Alexandroff-Urysohn的問(wèn)題[10]) 是否存在第一可數(shù)的Hausdorff的緊空間X使得|X|>τ?

問(wèn)題 1.2(Ponomarev的問(wèn)題) 完正規(guī)的Lindel?f空間是否是可分空間?

問(wèn)題 1.3 閉映射把度量空間映成什么空間?

問(wèn)題 1.4 如何刻畫(huà)度量空間的商s映像?

問(wèn)題 1.5 完備映射是否保持點(diǎn)可數(shù)基?

問(wèn)題 1.6 具有點(diǎn)可數(shù)基的仿緊p空間是否是可度量化空間?

關(guān)于問(wèn)題1.1[11]:“The work on the Problem gave a good push to developing and refining set-theoretic methods in General Topology.”文獻(xiàn)[4]提出了下述相關(guān)問(wèn)題:若第一可數(shù)的緊Hausdorff空間X是τ個(gè)度量子空間之并,則是否有|X|≤τ?1969年,A. V. Arhangel’skiǐ[12]證明了每一個(gè)Hausdorff的第一可數(shù)Lindel?f空間的基數(shù)都不超過(guò)τ,從而解決了問(wèn)題1.1.而且與R. Hodel[13]開(kāi)創(chuàng)了一般拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)新的研究領(lǐng)域:拓?fù)淇臻g上的基數(shù)函數(shù).若用基數(shù)函數(shù)的語(yǔ)言,則Arhangel’skiǐ的定理可表述為:|X|≤2L(X)·χ(X),其中L(X)和χ(X)分別是拓?fù)淇臻gX的Lindel?f數(shù)和特征.這一結(jié)果也成為A. V. Arhangel’skiǐ對(duì)于一般拓?fù)鋵W(xué)的代表性貢獻(xiàn).

非可分的正則遺傳Lindel?f空間稱(chēng)為L(zhǎng)空間.問(wèn)題1.2等價(jià)于著名的L空間問(wèn)題:是否不存在L空間?關(guān)于問(wèn)題1.2,A. V. Arhangel’skiǐ[4]提出了下述相關(guān)問(wèn)題:具有點(diǎn)可數(shù)基的完正規(guī)的Lindel?f空間是否是可度量化空間?即是否不存在具有點(diǎn)可數(shù)基的L空間?現(xiàn)在基本上認(rèn)為現(xiàn)代研究L空間與S空間(即非Lindel?f的正則遺傳可分空間)的開(kāi)篇之作是A. Jajnal等[14]于1968年發(fā)表的論文.L空間與S空間的探討是集論拓?fù)涞闹匾獌?nèi)容[6].如果不存在L空間,即問(wèn)題1.2的回答是肯定的,則上述Arhangel’skiǐ的問(wèn)題的回答也是肯定的.2006年,J. T. Moore[15]在ZFC中構(gòu)造了第一個(gè)L空間,這也是對(duì)問(wèn)題1.2的第一個(gè)完整的否定回答.2015年,Peng Y. H.[16]證明了J. T. Moore構(gòu)造的L空間其平方不是一個(gè)Lindel?f空間.Peng Y. H.關(guān)于L空間的工作于2015年11月在閩南師范大學(xué)召開(kāi)的“首屆泛太平洋拓?fù)鋵W(xué)及其應(yīng)用國(guó)際會(huì)議”上獲得了2015年度的Mary Ellen Rudin Young Researcher Award.至于是否存在具有點(diǎn)可數(shù)基的L空間,這是一個(gè)獨(dú)立性問(wèn)題.Z. Szentmikolóssy[17]證明了在假設(shè)MA+CH下不存在第一可數(shù)的L空間,F. D. Tall[18]在假設(shè)CH下構(gòu)造了一個(gè)具有點(diǎn)可數(shù)基的L空間.

問(wèn)題1.3和1.4是問(wèn)題1和4的具體形式,其中問(wèn)題1.3討論的是“度量空間類(lèi)”和“連續(xù)的閉映射類(lèi)”,A. V. Arhangel’skiǐ[4]曾提到度量空間的閉映像是一個(gè)層空間;問(wèn)題1.4討論的是“度量空間類(lèi)”和“商s映射類(lèi)”.1966年,N. La?nev[19]獲得了度量空間的閉映像的第一個(gè)內(nèi)在的刻畫(huà).現(xiàn)在把度量空間的閉映像稱(chēng)為L(zhǎng)a?nev空間.1985年,L. Foged[20]利用k網(wǎng)給出了問(wèn)題1.3一個(gè)較好的回答:拓?fù)淇臻gX是一個(gè)度量空間的閉映像,當(dāng)且僅當(dāng)X是一個(gè)具有σ遺傳閉包保持k網(wǎng)的正則的Fréchet-Urysohn空間,其中“遺傳閉包保持集族”就是N. La?nev[19]提出的概念.1987年,Y. Tanaka[21]利用cs*網(wǎng)也給出了問(wèn)題1.4一個(gè)較好的回答:拓?fù)淇臻gX是一個(gè)度量空間的商s映像當(dāng)且僅當(dāng)X是一個(gè)具有點(diǎn)可數(shù)cs*網(wǎng)的序列空間,這既表明了點(diǎn)可數(shù)集族的重要性,同時(shí)也顯示了由Gao Z.[22]引入的cs*網(wǎng)的作用.

問(wèn)題1.5相關(guān)于問(wèn)題6討論的是“完備映射類(lèi)”和“點(diǎn)可數(shù)基性質(zhì)”.1968年,V. V. Filippov[23]證明了完備映射保持具有點(diǎn)可數(shù)基的空間,肯定地回答了問(wèn)題1.5.問(wèn)題1.6既相關(guān)于問(wèn)題2也聯(lián)系于拓?fù)淇臻g的度量化問(wèn)題.1962年,A. S. Mi?cenko[24]證明了具有點(diǎn)可數(shù)基的可數(shù)緊空間是可度量化空間;1963年,A. V. Arhangel’skiǐ[25]證明了仿緊p空間可刻畫(huà)為度量空間的完備原像(更詳細(xì)的敘述見(jiàn)本文第3節(jié)).1968年,V. V. Filippov[26]肯定地回答了問(wèn)題1.6.問(wèn)題1.4～1.6更引起了人們關(guān)注具有點(diǎn)可數(shù)覆蓋空間的映射性質(zhì)與度量化問(wèn)題[27].

綜上所述,上述所列的6個(gè)問(wèn)題對(duì)于點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)未來(lái)發(fā)展的重要性至少體現(xiàn)在3個(gè)方面:一是開(kāi)辟一般拓?fù)渲行碌难芯款I(lǐng)域;二是關(guān)注拓?fù)淇臻g理論中的映射性質(zhì)及度量化問(wèn)題;三是探索及引導(dǎo)點(diǎn)可數(shù)覆蓋的研究方向.

2 弱基

可對(duì)稱(chēng)空間產(chǎn)生于度量空間的商緊映像的研究[11].度量空間的商緊映像是可對(duì)稱(chēng)空間,但是未必是第一可數(shù)空間.A. V. Arhangel’skiǐ[4]引入了弱基及弱第一可數(shù)空間.

設(shè)集合X的每一點(diǎn)x對(duì)應(yīng)X的含有點(diǎn)x的子集之族Tx,并且Tx關(guān)于有限交封閉.集族TC={Tx:x∈X}可按下述方式定義集合X上的拓?fù)銽:子集P?X是閉的,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一點(diǎn)x∈XP存在Q(x)∈Tx,使得Q(x)∩P=?.族TC稱(chēng)為拓?fù)銽的弱基,Tx的元稱(chēng)為x的弱鄰域.拓?fù)淇臻gX稱(chēng)為滿(mǎn)足弱第一可數(shù)性公理,簡(jiǎn)記gf可數(shù)性公理,如果X的拓?fù)淇梢杂扇趸鵗C={Tx:x∈X}給出,其中每一Tx是可數(shù)的.

上述集族Tx的來(lái)源就是對(duì)稱(chēng)空間(X,ρ)中的球形鄰域族{Bρ(x,ε):ε>0},也可以看成是拓?fù)淇臻gX中點(diǎn)x∈X的一種弱鄰域基.弱基的引入開(kāi)啟了可對(duì)稱(chēng)空間的系統(tǒng)研究,并且指出了構(gòu)建廣義度量空間理論的新框架.R.E.Hodel[28]評(píng)論道:IwouldliketoemphasizethatArhangel’skiǐ’s1966paper“MappingsandSpaces”playedaveryimportantroleinthetheoryofsymmetrizablespaces.

第一可數(shù)空間等價(jià)于弱第一可數(shù)的Fréchet-Urysohn空間[4].每一對(duì)稱(chēng)空間是弱第一可數(shù)空間.每一弱第一可數(shù)空間是序列空間[29].A.V.Arhangel’skiǐ[4]給予弱基及對(duì)稱(chēng)空間極大的關(guān)注,提出的一些相關(guān)問(wèn)題列舉如下:

問(wèn)題 2.1 滿(mǎn)足gf可數(shù)公理的拓?fù)淙菏欠袷强啥攘炕臻g?

問(wèn)題 2.2 具有點(diǎn)可數(shù)弱基的緊空間是否是可度量化空間?

問(wèn)題 2.3 對(duì)稱(chēng)空間是否具有σ離散網(wǎng)?

問(wèn)題 2.4 對(duì)稱(chēng)的仿緊空間是否是層空間?

問(wèn)題 2.5MOBI類(lèi)中的每個(gè)空間是否是對(duì)稱(chēng)空間?

問(wèn)題 2.6 刻畫(huà)度量空間的商緊映像?

問(wèn)題 2.7 尋求可分度量空間的商緊映像的內(nèi)在刻畫(huà).

N.V.Velicko[30]由弱鄰域基出發(fā)引入弱展開(kāi)的概念,給出對(duì)稱(chēng)空間以?xún)?nèi)在的刻畫(huà).F.Siwice[29]由弱基定義了幾類(lèi)重要的廣義度量空間,如具有σ局部有限弱基的正則空間,發(fā)現(xiàn)了弱鄰域具有“序列鄰域”的性質(zhì),并證明了弱基可導(dǎo)出J.A.Guthrie[31]引入的cs網(wǎng).在此基礎(chǔ)上,林壽[32]和LiuC.等[33]分別引入了sn網(wǎng)和0弱基的概念.弱基是sn網(wǎng)和0弱基,sn網(wǎng)是cs網(wǎng),0弱基和cs網(wǎng)都是cs*網(wǎng).這些相關(guān)概念,形成了豐富的廣義度量空間類(lèi)[27],如g可度量空間、g可展空間、o可度量空間、sn可度量空間、cs-σ空間、sn對(duì)稱(chēng)空間、snf可數(shù)空間、0弱第一可數(shù)空間和csf可數(shù)空間等,對(duì)他們的研究已構(gòu)成了廣義度量空間理論的重要部分.

顯然,問(wèn)題2.1和2.2都涉及拓?fù)淇臻g的度量化問(wèn)題.

“Atypicalobjectoftopologicalalgebracanbedescribedasaresultofahappymarriageofanalgebraicstructurewithatopology.Thetiesarisingfromthismarriagestronglyinfluencethepropertiesofbothstructures.AclassicalexampleofthissituationisBirkhoff-KakutaniTheorem:atopologicalgroupGismetrizableifandonlyifitisfirst-countable”[11].

問(wèn)題2.1來(lái)源于Birkhoff-Kakutani定理,這是A.V.Arhangel’skiǐ關(guān)于拓?fù)淙旱牡谝粋€(gè)問(wèn)題,成為他后來(lái)系統(tǒng)研究拓?fù)浯鷶?shù)的一個(gè)最早的標(biāo)志.S.J.Nedev等[34]和P.J.Nyikos[35]都給出了問(wèn)題2.1的肯定回答,由此導(dǎo)出拓?fù)浯鷶?shù)中具有廣義序列性質(zhì)的研究[36-37].問(wèn)題2.2是A.S.Mi?cenko[24]關(guān)于點(diǎn)可數(shù)基的度量化定理情形的深化,T.Hoshina[38]肯定地回答了這個(gè)問(wèn)題,由此激發(fā)由點(diǎn)可數(shù)覆蓋所確定的緊空間,或可數(shù)緊空間,甚至偽緊空間的度量化問(wèn)題的研究[27],如具有點(diǎn)可數(shù)k網(wǎng)的序列緊空間是可度量化空間[39];具有σ點(diǎn)有限基的偽緊空間是可度量化空間[40].

問(wèn)題2.3和2.4及其解答中所涉及的概念“網(wǎng)”是拓?fù)淇臻g中“基”概念的最重要、最成功的推廣.A.V.Arhangel’skiǐ[41]為證明任意基數(shù)的Alexandroff-Urysohn加法定理時(shí)引進(jìn)了“網(wǎng)”的概念.“網(wǎng)”既是A.V.Arhangel’skiǐ的處女之作,也是成名之作.J.Kofner[42]構(gòu)造了不具有σ離散網(wǎng)的半度量空間,否定回答了問(wèn)題2.3.這個(gè)問(wèn)題的重要之處是表現(xiàn)了A.V.Arhangel’skiǐ[4]在研究了具有可數(shù)網(wǎng)空間性質(zhì)的基礎(chǔ)上[41],引入并關(guān)注具有σ離散網(wǎng)的空間,提出了一批涉及具有σ離散網(wǎng)空間的問(wèn)題.除了問(wèn)題2.3之外,還有如半度量的仿緊空間是否具有σ離散網(wǎng)?層空間是否具有σ離散網(wǎng)?1967年,A.Okuyama[43]把具有σ局部有限網(wǎng)的正則空間命名為σ空間.隨后,F.Siwice等[44]證明了正則空間中具有σ離散網(wǎng)的空間等價(jià)于σ空間,也等價(jià)于具有σ閉包保持網(wǎng)的空間,從而使σ空間成為最具有代表性的廣義度量空間[45].R.W.Heath[46]構(gòu)造了一個(gè)具有可數(shù)網(wǎng)的正則的半度量空間,使它不是一個(gè)層空間,否定了問(wèn)題2.4,并問(wèn)保持仿緊的半度量空間是層空間的充要條件是什么?D.J.Lutzer[47]定義了k半層空間給上述Heath的問(wèn)題予以肯定的回答.

問(wèn)題2.5～2.7涉及度量空間的映像的研究.A.V.Arhangel’skiǐ[4]為研究問(wèn)題1、3和4的一個(gè)富有特色的步驟是引入MOBI類(lèi).MOBI類(lèi)是包含度量空間類(lèi)且關(guān)于開(kāi)緊映射封閉的最小的空間類(lèi).H.R.Bennett等[48]和M.M.Choban等[49]關(guān)于MOBI類(lèi)的研究取得了重大進(jìn)展.J.Chaber[50]構(gòu)造了一個(gè)完全正則的弱仿緊的可展空間Z和一個(gè)開(kāi)緊映射f:Z→X,使得X是完全正則空間,但X不是p空間(這概念在第3節(jié)中將重點(diǎn)論述),這時(shí)空間Z屬于MOBI類(lèi),但是空間X不是對(duì)稱(chēng)空間,從而否定了問(wèn)題2.5.問(wèn)題2.6和2.7既與弱基相關(guān)又與問(wèn)題1和4相關(guān),同時(shí)也與MOBI類(lèi)相關(guān).N.N.Jakovlev[51]最早用點(diǎn)有限的弱展開(kāi)序列刻畫(huà)度量空間的商緊映像,回答了問(wèn)題2.6.在正則空間類(lèi)中,具有可數(shù)弱基的空間恰好刻畫(huà)了可分度量空間的商緊映像[45],這給出問(wèn)題2.7一個(gè)肯定的回答.2011年,T.V.An等[52]證明了一個(gè)Hausdorff空間X是一個(gè)度量空間的偽序列覆蓋的緊映像當(dāng)且僅當(dāng)X具有點(diǎn)正則的cs*網(wǎng).2012年,T.V.An等[53]又證明了一個(gè)Hausdorff空間X是一個(gè)可分度量空間的偽序列覆蓋的緊映像,當(dāng)且僅當(dāng)X是具有可數(shù)cs*網(wǎng)的sn對(duì)稱(chēng)空間.如上所述,問(wèn)題1.4及問(wèn)題2.5～2.7等誘發(fā)了度量空間上關(guān)于緊覆蓋映射及序列覆蓋映射方面豐富多彩的工作,使其成為20世紀(jì)末以來(lái)空間與映射相互分類(lèi)方法中最具活力的部分[27,54].

下面列舉幾個(gè)具有代表性的結(jié)果以說(shuō)明對(duì)稱(chēng)空間及弱基的進(jìn)一步作用.2013年,A.V.Arhangel’skiǐ[11]又重提了一些gf可數(shù)空間和對(duì)稱(chēng)空間的老問(wèn)題,表明了他對(duì)這些內(nèi)容的持續(xù)關(guān)注.

定理 2.8[55]對(duì)稱(chēng)空間是遺傳的D空間.

定理 2.9[56]對(duì)稱(chēng)的1緊空間是遺傳的Lindel?f空間.

定理 2.10[32]拓?fù)淇臻gX具有點(diǎn)可數(shù)弱基當(dāng)且僅當(dāng)X是某一度量空間的1序列覆蓋的商s映像.

定理 2.11 正則空間X具有σ離散弱基當(dāng)且僅當(dāng)X具有σ局部有限弱基[57],當(dāng)且僅當(dāng)X具有σ遺傳閉包保持弱基[58].

定理 2.12[59-60]具有σ局部有限弱基的正則空間的正則的閉映像具有σ局部有限弱基當(dāng)且僅當(dāng)它是gf可數(shù)空間.

定理 2.13 拓?fù)淇臻gX是可度量化空間,當(dāng)且僅當(dāng)存在空間X的覆蓋列{Un},使得對(duì)于每一x∈X,{st2(x,Un):n∈N}是x在X中的弱鄰域基[61],當(dāng)且僅當(dāng)X具有cs*正則弱基[27].

3 p空間

在問(wèn)題1.6及問(wèn)題2.5的解答中已提到了p空間.1963年,A. V. Arhangel’skiǐ[25]引進(jìn)了p空間,并證明了拓?fù)淇臻gX是一個(gè)度量空間的完備原像當(dāng)且僅當(dāng)X是一個(gè)仿緊的p空間,回答了P. S. Alexandroff提出的一個(gè)問(wèn)題.是否每一p空間是可展空間的完備原像?為回答這一問(wèn)題, A. V. Arhangel’skiǐ[4]引進(jìn)了嚴(yán)格p空間.

完全正則空間X稱(chēng)為p空間[25],若存在X的極大緊化βX中開(kāi)集族的序列{Un},滿(mǎn)足:

1) Un覆蓋X;

如果更設(shè)

則X稱(chēng)為嚴(yán)格p空間[4].

可展空間的完備原像是嚴(yán)格p空間,但是p空間未必是嚴(yán)格p空間,如序空間ω1,所以p空間未必是可展空間的完備原像.嚴(yán)格p空間是否是可展空間的完備原像?為此,A. V. Arhangel’skiǐ[4]又引進(jìn)了σ仿緊空間:拓?fù)淇臻gX稱(chēng)為σ仿緊空間,若對(duì)于X的每一開(kāi)覆蓋U存在X的開(kāi)覆蓋列{Un}滿(mǎn)足:對(duì)于每一x∈X存在m∈N和U∈U使得st(x,Um)?U.A.V.Arhangel’skiǐ[4]提出的一些與p空間及σ仿緊空間相關(guān)的問(wèn)題,列舉如下(它們主要涉及p空間,嚴(yán)格p空間及σ仿緊空間的內(nèi)在刻畫(huà)及映射定理):

問(wèn)題 3.1 完備映射是否保持仿緊p空間性質(zhì)?

問(wèn)題 3.2 完備映射是否保持p空間性質(zhì)?

問(wèn)題 3.3 對(duì)稱(chēng)的或具有σ離散網(wǎng)的嚴(yán)格p空間是否是可展空間?

問(wèn)題 3.4 σ仿緊空間的完備原像是σ仿緊空間?

問(wèn)題 3.5 完備映射是否保持σ仿緊空間?

問(wèn)題 3.6 具有σ離散網(wǎng)的空間是否是σ仿緊空間?

問(wèn)題 3.7 弱仿緊,σ仿緊的p空間是仿緊空間?

問(wèn)題 3.8 σ仿緊的p空間刻畫(huà)了可展空間的完備原像?

問(wèn)題 3.9MOBI類(lèi)中的每個(gè)空間是否是p空間?p空間的開(kāi)緊映像是否是p空間?

問(wèn)題 3.10 度量空間的偽開(kāi)緊映像是否是p空間?

問(wèn)題3.1～3.3涉及p空間自身的性質(zhì).問(wèn)題3.1最先由V.V.Filippov[62]給予肯定回答,即完備映射保持仿緊p空間性質(zhì).在第1節(jié)中的問(wèn)題1.5和1.6的解答中已介紹過(guò)V.V.Filippov的貢獻(xiàn).1982年,J.Chaber[63]構(gòu)造了一個(gè)σ仿Lindel?f的p空間使其任一完備映像不是一個(gè)p空間,從而否定地回答了問(wèn)題3.2.J.Worrell[63-64]更早構(gòu)造出完備映射不保持p空間的例子,但這例子一直沒(méi)有發(fā)表.1969—1970年,D.K.Burke等[65-66]獲得了后來(lái)廣泛使用的嚴(yán)格p空間,p空間的內(nèi)在刻畫(huà),并由此證明了可展空間類(lèi)具有σ離散網(wǎng)的p空間類(lèi)以及對(duì)稱(chēng)的p空間類(lèi)是一致的[65],從而問(wèn)題3.3的回答也是肯定的.

問(wèn)題3.4～3.7涉及σ仿緊空間的等價(jià)刻畫(huà).D.K.Burke[67]引入了次仿緊空間:拓?fù)淇臻gX稱(chēng)為次仿緊空間,若X的每一開(kāi)覆蓋具有σ離散的閉加細(xì);并證明了σ仿緊性等價(jià)于次仿緊性,由此給出了問(wèn)題3.4～3.6的肯定回答,甚至證明了閉映射保持σ仿緊空間.由于存在非仿緊的局部緊的弱仿緊、次仿緊空間[68],所以問(wèn)題3.7的回答是否定的.在弱仿緊和次仿緊空間的基礎(chǔ)上,劉應(yīng)明[69]引入了擬仿緊空間和狹義擬仿緊空間,推廣了Burke等的一些結(jié)果;并證明了在假設(shè)2>2下每一個(gè)可分正規(guī)的擬仿緊空間是仿緊的.這是我國(guó)學(xué)者關(guān)于集論拓?fù)鋵W(xué)的第一個(gè)結(jié)果,所以劉應(yīng)明是我國(guó)最先從事集論拓?fù)鋵W(xué)研究的學(xué)者.

問(wèn)題3.8～3.10涉及可展空間及p空間的映射性質(zhì).1971年,T.Isiwata[70]給出了可展空間的完備原像的一個(gè)內(nèi)在刻畫(huà).J.Chaber[71]構(gòu)造了一個(gè)局部緊的次仿緊空間,但它不可表為任一可展空間的完備原像,否定了問(wèn)題3.8.J.Chaber[50]在否定上節(jié)問(wèn)題2.5中所構(gòu)造的例子也是對(duì)問(wèn)題3.9的否定回答.V.J.Mancuso[72]證明了每一度量空間的偽開(kāi)緊映像是一個(gè)可展空間,肯定回答了問(wèn)題3.10.1976年,A.V.Arhangel’skiǐ[73]證明了每一度量空間的偽開(kāi)緊映像刻畫(huà)為弱仿緊的可展空間.

下面列舉幾個(gè)具有代表性的結(jié)果以說(shuō)明p空間及σ仿緊空間的進(jìn)一步作用.2011年,A.V.Arhangel’skiǐ等[74]又發(fā)表了關(guān)于p空間的論文,既表明了p空間強(qiáng)大的生命力,又展示了他們對(duì)于p空間的持續(xù)關(guān)注.

定理 3.11[67,75-76]對(duì)于拓?fù)淇臻gX,下述條件相互等價(jià):

1) X是σ仿緊空間;

2) X是次仿緊空間;

3) X的任一開(kāi)覆蓋具有σ局部有限的閉加細(xì);

4) X的任一開(kāi)覆蓋具有σ閉包保持的閉加細(xì);

5) X的任一開(kāi)覆蓋具有σ墊狀加細(xì).

定理 3.12 若X是一個(gè)p空間,則w(X)=nw(X)[77]且X具有可數(shù)型[78].

定理 3.13[79]設(shè)X是一個(gè)半拓?fù)淙?若X是一個(gè)Baire,p空間,則X是一個(gè)仿拓?fù)淙?

定理 3.14 拓?fù)淇臻gX是嚴(yán)格p空間,當(dāng)且僅當(dāng)X是次亞緊的p空間[80],從而完備映射保持嚴(yán)格p空間性質(zhì).

定理 3.15[81]拓?fù)淇臻gX是具有Gδ角線(xiàn)的p空間當(dāng)且僅當(dāng)X具有弱展開(kāi).

定理 3.16[82]拓?fù)淇臻gX是可度量化空間,當(dāng)且僅當(dāng)X是具有Gδ對(duì)角線(xiàn)的單調(diào)正規(guī)的p空間.

4 尚未解決的問(wèn)題

Arhangel’skiǐ[4]的論文共引用、提出問(wèn)題或猜想71個(gè),其中在ZFC中已解決的問(wèn)題54個(gè),已證明與ZFC相互獨(dú)立的問(wèn)題3個(gè),尚未解決的問(wèn)題還有14個(gè).在尚未解決的14個(gè)問(wèn)題中,在集論假設(shè)下相對(duì)解決的問(wèn)題7個(gè),尚無(wú)答案的問(wèn)題7個(gè).在前3節(jié)介紹了在ZFC中已解決的問(wèn)題26個(gè),與ZFC相互獨(dú)立的問(wèn)題1個(gè).本節(jié)列出A.V.Arhangel’skiǐ[4]論文中尚未解決的14個(gè)問(wèn)題,供讀者進(jìn)一步研究.

首先,列出在集論假設(shè)下相對(duì)解決的7個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題 4.1 在緊空間類(lèi)中g(shù)f可數(shù)公理與第一可數(shù)公理是否等價(jià)?

N.N.Jakovlev[83]在假設(shè)CH下構(gòu)造了一個(gè)緊Hausdorff的gf可數(shù)空間不具有點(diǎn)Gδ性質(zhì),否定了這問(wèn)題.

問(wèn)題 4.2 是否存在滿(mǎn)足gf可數(shù)公理的緊空間X使得|X|>τ?

U.Abraham等[84]在假設(shè)κ=τ下肯定了這問(wèn)題,并且在假設(shè)V[G]下構(gòu)造了具有任意大基數(shù)的gf可數(shù)的緊空間.

問(wèn)題 4.3 完正規(guī)緊空間的對(duì)稱(chēng)子空間是否是可度量化空間?

D.K.Burke等[85]在假設(shè)CH下構(gòu)造了一個(gè)不可度量化的對(duì)稱(chēng)空間,使它有一個(gè)完正規(guī)的緊化,因而這問(wèn)題在CH下是否定的.

問(wèn)題 4.4 半度量的仿緊空間是否具有σ離散網(wǎng)?

E.S.Berney[86]在假設(shè)CH下構(gòu)造了不具有σ離散網(wǎng)的正則遺傳Lindel?f的半度量空間.

問(wèn)題 4.5 正規(guī)的對(duì)稱(chēng)空間是否是仿緊空間?

W.G.Fleissner[87]在假設(shè)MA+CH下證明了Aronszajn樹(shù)是一個(gè)不可度量化的正規(guī)Moore空間,于是這空間是非仿緊的正規(guī)的對(duì)稱(chēng)空間.

問(wèn)題 4.6 在仿緊空間的每個(gè)閉映射下,原像不是緊集的點(diǎn)的全體的勢(shì)是否不超過(guò)被映空間的權(quán)?

V.V.Filippov[88]在假設(shè)2>2下構(gòu)造一個(gè)例子否定了這問(wèn)題.

問(wèn)題 4.7 具有可數(shù)基空間的商緊映像是否是層空間?

L.Foged[89]在假設(shè)MA下構(gòu)造了一個(gè)非單調(diào)正規(guī)空間,使它是一個(gè)可分度量空間在有限到一商映射下的像,這例子表明這問(wèn)題的回答是否定的.

其次,列出尚無(wú)答案的問(wèn)題7個(gè).

問(wèn)題 4.8 集態(tài)正規(guī)的對(duì)稱(chēng)空間是否是仿緊空間?

問(wèn)題 4.9 集態(tài)正規(guī)的對(duì)稱(chēng)空間是否可用連續(xù)一對(duì)一映射映成某一度量空間?

問(wèn)題 4.10 完備映射是否保持MOBI類(lèi)?

J.Chaber[90]證明了MOBI1類(lèi)等價(jià)于具有點(diǎn)可數(shù)基的T1空間類(lèi),而完備映射保持具有點(diǎn)可數(shù)基的T1空間類(lèi)[23],所以完備映射保持MOBI1類(lèi).

問(wèn)題 4.11 正規(guī)空間是否是零維正規(guī)空間的不可約的完備映像?

問(wèn)題 4.12 線(xiàn)段與線(xiàn)段的偽乘積是否具有可數(shù)基?

問(wèn)題 4.13FABOC類(lèi)中的空間具有怎樣的內(nèi)部特征?對(duì)于FABOC類(lèi)中的空間,3種維數(shù)dim、ind和Ind是否相價(jià)?

FABOC類(lèi)是包含可分度量空間類(lèi)且關(guān)于商緊映射封閉的最小的空間類(lèi)[4].顯然,FABOC類(lèi)中的空間都具有可數(shù)網(wǎng).M.G.Charalambous[91]構(gòu)造了一具有可數(shù)網(wǎng)的正則空間X使得dim(X)=1,ind(X)=2.

問(wèn)題 4.14 完正規(guī)的Lindel?f空間是完正規(guī)k空間的連續(xù)映像?

5 A. V. Arhangel’skiǐ在中國(guó)

Alexandroff設(shè)想是廣義度量空間理論的3個(gè)重要來(lái)源之一.《映射與空間》[4]系統(tǒng)地發(fā)展了P.S.Alexandroff的思想.前3節(jié)所介紹的A.V.Arhangel’skiǐ的問(wèn)題對(duì)于數(shù)理邏輯和集論拓?fù)洹⒂成淅碚?、廣義度量空間理論和覆蓋性質(zhì)等一般拓?fù)鋵W(xué)及相關(guān)的重要課題的研究產(chǎn)生了強(qiáng)有力的推動(dòng)作用[92-93].

《映射與空間》[4]由蘇州大學(xué)吳利生、陳必勝翻譯成中文,于1981—1982年在《數(shù)學(xué)譯林》分3期刊出.1983年上海光華出版社出版由劉應(yīng)明、高國(guó)士等編輯的論文集《SelectedPapersonTopologyI,II,III》,選取從1937—1979年國(guó)際上較有影響的一般拓?fù)鋵W(xué)論文115篇[94],其中收入了《映射與空間》[4](俄文).A.V.Arhangel’skiǐ的著作《FundamentalsofGeneralTopology:ProblemsandExercises》[95]和《GeneralTopologyI》[96]曾在中國(guó)印刷發(fā)行.在20世紀(jì)70年代末到80年代這個(gè)中國(guó)歷史上獨(dú)特的時(shí)期中,這些珍貴的資料對(duì)于推動(dòng)我國(guó)一般拓?fù)鋵W(xué)的復(fù)蘇及其后續(xù)的發(fā)展起到了較大的作用[97-98],如高國(guó)士[99]在《拓?fù)淇臻g論》的序言中就很自豪地寫(xiě)道:本書(shū)是《映射與空間》理論的發(fā)展與應(yīng)用.

A.V.Arhangel’skiǐ曾3次到中國(guó)訪(fǎng)問(wèn),其中2006年11月27日—12月7日到首都師范大學(xué)和漳州師范學(xué)院訪(fǎng)問(wèn);2012年9月22日—10月1日到南京參加“拓?fù)鋵W(xué)及其相關(guān)領(lǐng)域國(guó)際會(huì)議”,做了題為“Somepropertiesofremaindersofmetrizableandclosetothemspaces”的40min大會(huì)邀請(qǐng)報(bào)告,并到南京大學(xué)、南京師范大學(xué)和蘇州大學(xué)訪(fǎng)問(wèn);2015年11月25日—12月8日到漳州參加“首屆泛太平洋拓?fù)鋵W(xué)及其應(yīng)用國(guó)際會(huì)議”,并到閩南師范大學(xué)訪(fǎng)問(wèn).

A.V.Arhangel’skiǐ的研究工作涉及與一般拓?fù)鋵W(xué)及其應(yīng)用相關(guān)的廣泛領(lǐng)域,如空間與映射的相互分類(lèi)、度量空間及其推廣、緊性及其推廣、拓?fù)淇臻g的基數(shù)函數(shù)、連續(xù)函數(shù)空間理論、拓?fù)淙?、拓?fù)浯鷶?shù)和拓?fù)淇臻g的齊性等.在過(guò)去的近60年間,A.V.Arhangel’skiǐ所引進(jìn)的新概念、獲得的新結(jié)果和提出的大量問(wèn)題成為一般拓?fù)鋵W(xué)向前推進(jìn)的巨大動(dòng)力,深深地影響著當(dāng)代一般拓?fù)鋵W(xué)的前進(jìn)方向.近年來(lái),A.V.Arhangel’skiǐ及其部分學(xué)生(如M.M.Choban、M.G.Tkachenko、V.G.Pestov、I.I.Guran、V.V.Uspenskij、D.B.Shakhmatov、O.G.Okunev、O.V.Sipacheva、E.A.Reznichenko、A.S.Gul’ko、C.Liu)的研究興趣主要在拓?fù)浯鷶?shù)方面[36].從空間與映射的相互分類(lèi),到連續(xù)函數(shù)空間,到拓?fù)淙?到拓?fù)浯鷶?shù)及拓?fù)淇臻g的齊性等,其研究方向的變化軌跡本身就是一道優(yōu)美的弧線(xiàn).

1925年O.Schreier[100]和1927年F.Leja[101]分別獨(dú)立地給出了第一個(gè)Hausdorff拓?fù)淙旱默F(xiàn)代定義.我國(guó)老一輩拓?fù)鋵W(xué)家胡世楨[102]在20世紀(jì)40年代曾在一致空間及齊性空間方面做過(guò)工作.20世紀(jì)50年代,蘇聯(lián)科學(xué)院院士龐特里亞金[103-104]的著作《連續(xù)群》被譯成中文.中國(guó)科學(xué)院院士關(guān)肇直[105]早年的著作《拓?fù)淇臻g概論》中也有關(guān)于拓?fù)淙旱慕榻B.黎景輝等[106]的《拓?fù)淙阂摗纷鳛椤冬F(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書(shū)》之38輯在科學(xué)出版社出版.這些均未對(duì)國(guó)內(nèi)關(guān)于拓?fù)淙旱难芯抗ぷ鳟a(chǎn)生重要的影響.作為一個(gè)較成熟的研究課題,在國(guó)內(nèi)拓?fù)淙豪碚撍坪踔蛔鳛榇鷶?shù)、分析等學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)而存在.自從A.V.Arhangel’skiǐ等到中國(guó)不遺余力地弘揚(yáng)拓?fù)浯鷶?shù)之后,情況發(fā)生了顯著的變化.從2009年起,國(guó)內(nèi)的青年學(xué)者開(kāi)始發(fā)表拓?fù)浯鷶?shù)的論文[107],而后逐漸在國(guó)際舞臺(tái)上嶄露頭腳,繼而出現(xiàn)了拓?fù)浯鷶?shù)的研究群體,如2014—2015年我國(guó)學(xué)者在《TopologyanditsApplications》上發(fā)表的拓?fù)浯鷶?shù)方面的論文有19篇,解決了若干包括A.V.Arhangel’skiǐ在內(nèi)的拓?fù)浯鷶?shù)名家提出的問(wèn)題,獲得了國(guó)際同行的認(rèn)可與高度評(píng)價(jià).A.V.Arhangel’skiǐ的中國(guó)之旅及其著作對(duì)推動(dòng)我國(guó)拓?fù)浯鷶?shù)水平的迅速提升并進(jìn)入國(guó)際研究前沿發(fā)揮了巨大的作用[37,108-109].

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LIN Shou1,2

( 1.SchoolofMathematicsandStatistics,MinnanNormalUniversity,Zhangzhou363000,Fujian;

2.SchoolofMathematics,SichuanUniversity,Chengdu610065,Sichuan)

2010 MSC：54C10; 54D70; 54E18

(編輯 周 俊)

Fifty Years of Mappings and Spaces

A famous surveyMappingsandSpaceswritten by A. V. Arhangel’skiǐ in 1966 gave a powerful driving force to general topology, especially in the theory of generalized metric spaces. This paper provides an overview on its historical significance and practical function for general topology in fifty years, lists some open problems in the survey, and introduces some influence of recent Arhangel’skiǐ’s work for the development of general topology in China.

mutual classification of spaces and mappings; mapping; generalized metric space; weak base;p-space; topological algebra

2016-10-15

國(guó)家自然科學(xué)基金(11471153)

林 壽(1960—),男,教授,主要從事一般拓?fù)鋵W(xué)的研究,E-mail:shoulin60@163.com

O189.1

A

1001-8395(2017)01-0133-10

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.01.022