徐龍玉, 胡 葵, 萬吉湘, 王芳貴

( 1. 西南科技大學(xué) 理學(xué)院, 四川 綿陽 621010; 2. 綿陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 四川 綿陽 621000;

關(guān)于ZP-凝聚環(huán)

徐龍玉1, 胡 葵1, 萬吉湘2, 王芳貴3

( 1. 西南科技大學(xué) 理學(xué)院, 四川 綿陽 621010; 2. 綿陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 四川 綿陽 621000;

3. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

給出ZP-凝聚環(huán)的概念,舉例說明左ZP-凝聚環(huán)不一定是右ZP-凝聚環(huán),并利用ZP-內(nèi)射蓋及ZP-平坦預(yù)包對(duì)ZP-凝聚環(huán)進(jìn)行一系列的等價(jià)刻畫,如R是左ZP-凝聚環(huán),當(dāng)且僅當(dāng) ZP-平坦右R-模的直積是ZP-平坦右R-模,當(dāng)且僅當(dāng)任意右R-模有一個(gè)ZP-平坦預(yù)包.證明左 ZP-凝聚環(huán)上的任意左R-模存在 ZP-內(nèi)射蓋,并揭示若R是左ZP-凝聚環(huán),則RR是ZP-內(nèi)射模,當(dāng)且僅當(dāng)任意左R-模有一個(gè)滿的ZP-內(nèi)射蓋,當(dāng)且僅當(dāng)任意右R-模有一個(gè)單的ZP-平坦預(yù)包.

ZP-凝聚環(huán); ZP-內(nèi)射模; ZP-平坦模; ZP-內(nèi)射蓋; ZP-平坦預(yù)包

1 預(yù)備知識(shí)

本文所有的環(huán)都是帶有單位元1的結(jié)合環(huán),所有的模都是酉模.令M為左R-模以及X為M的一個(gè)子集.對(duì)任意x∈X,記lR(X)={r∈R:rx=0}為X在R中的左零化子.若Y是R的一個(gè)子集,Y在M中的右零化子用rM(Y)表示.特別地,對(duì)于a∈R,r(a)與l(a)分別表示a的右零化子和左零化子.對(duì)于任意m∈M,若l(m)是RR的本質(zhì)理想,則稱m是奇異元.M中所有奇異元的集合用Z(RM)表示[1].特別地,R的左(右)奇異理想用Z(RR)(Z(RR))表示,為R的雙邊理想.稱環(huán)R為右非奇異環(huán),若Z(RR)=0.反之,稱環(huán)R為右奇異環(huán),若Z(RR)=R[2].R-模M的特征模M+定義為M+=HomZ(M,Q/Z).左R-模M的對(duì)偶模M*=HomR(M,R)是右R-模.

左R-模M是有限表現(xiàn)的,若存在一個(gè)正合列0→K→F→M→0,其中F是有限生成自由模且K是有限生成模.左R-模M是凝聚模[2],若M的每個(gè)有限生成子模是有限表現(xiàn)的.R是左凝聚環(huán)，若RR是一個(gè)凝聚模.凝聚環(huán)的性質(zhì)以及推廣得到了廣泛的關(guān)注[3-13].本文將凝聚環(huán)中的有限生成理想限定到環(huán)的奇異理想中的主理想,提出了ZP-凝聚環(huán)的概念,并利用包和蓋對(duì)該環(huán)進(jìn)行系列的等價(jià)刻畫.

首先介紹包與蓋的定義.

定義 1[14]令C為R-模類.對(duì)于R-模M,C∈C,模同態(tài)f:C→M稱為M的C-蓋[14],若以下條件成立:

1) 對(duì)任意同態(tài)h:C′→M,其中C′∈C,存在一個(gè)同態(tài)g:C′→C,使得h=fg;

2) 若g是C的自同態(tài),其中f=fg,則g一定是自同構(gòu).

若1)成立,但2)不一定成立,f:C→M稱為C-預(yù)蓋.對(duì)偶地,有C-(預(yù))包的定義.一般情況下,C-蓋和C-包不一定成立,但若成立,在同構(gòu)的意義下是惟一的.

2 主要定理及證明

定義 2.1 稱環(huán)R為左ZP-凝聚環(huán),若對(duì)于任意a∈Z(RR),Ra是有限表現(xiàn)左R-模.相應(yīng)地,可定義右ZP-凝聚環(huán),稱環(huán)R是ZP-凝聚環(huán),若R既是左ZP-凝聚環(huán)也是右ZP-凝聚環(huán).

命題 2.2 對(duì)于環(huán)R,以下條件等價(jià):

1) R是左ZP-凝聚環(huán);

2) 對(duì)任意a∈Z(RR),l(a)是有限生成左R-模;

3) 對(duì)任意a∈Z(RR),(R/aR)*是有限生成左R-模.

證明 1)?2) 對(duì)任意a∈Z(RR),存在一個(gè)正合列0→l(a)→R→Ra→0;因此Ra有限表現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)l(a)是有限生成左R-模.

2)?3) 由文獻(xiàn)[15]知(R/aR)*?l(a).

凝聚環(huán)顯然是ZP-凝聚環(huán),然而ZP-凝聚環(huán)不一定是凝聚環(huán).

例 2.3 1) 右非奇異環(huán)是右ZP-凝聚環(huán);

2) 顯然,整環(huán)是ZP-凝聚環(huán),但整環(huán)不一定是凝聚環(huán);

3) 令R為非凝聚交換整環(huán)且G是一個(gè)自由交換群,其中rankG=∞.群環(huán)RG不是凝聚環(huán),但是RG是一個(gè)半本原整環(huán),因此是ZP-凝聚環(huán).

例2.4說明了左ZP-凝聚環(huán)不一定是右ZP-凝聚環(huán).

例 2.4 令域K的子域L使得dimLK=∞,且存在一個(gè)域同構(gòu)f:K→L(例如,L=Q(x2,x3,…,xn),K=Q(x1,x2,x3,…,xn)).令R=K×K且乘法為

由以上法則知R有3個(gè)右理想,(0),R,及(0,K)=(0,1)R,易驗(yàn)證(0,K)也是一個(gè)左理想.Z(RR)以及Z(RR)是環(huán)R的雙邊理想,由其性質(zhì)知Z(RR)=Z(RR)=(0,K).現(xiàn)令a=(0,1),則r(a)=(0,K),故(0,K)是一個(gè)有限表現(xiàn)右R-模;因此R是一個(gè)右ZP-凝聚環(huán).另一方面,a∈Z(RR)且l(a)=(0,K),而(0,K)不是有限生成左R-模[3];因此由命題2.2知R不是左ZP-凝聚環(huán).

為了在刻畫ZP-凝聚環(huán)時(shí)便于描述,此處介紹ZP-平坦模與ZP-內(nèi)射模的定義.

注 2.6 顯然,P-內(nèi)射左R-模是ZP-內(nèi)射的;P-平坦右R-模是ZP-平坦的,但反之不一定成立.如令R是整環(huán)但不是域,則Z(RR)=Z(RR)=0且RR不是可除的.由文獻(xiàn)[2]知,RM是P-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)RM是可除模;因此RR是ZP-內(nèi)射模但不是P-內(nèi)射模.現(xiàn)取非零非單位元a∈R,則R/aR是ZP-平坦模但不是P-平坦模.

命題 2.7ZP-平坦右R-模的純子模是ZP-平坦右R-模.

故(N1)+是ZP-內(nèi)射左R-模.同理可知N1是ZP-平坦右R-模.

定理 2.8 對(duì)于環(huán)R,以下條件等價(jià):

1) R是左ZP-凝聚環(huán);

2)ZP-平坦右R-模的直積是ZP-平坦模;

3) RR的任意直積是ZP-平坦模;

4) (ZP-)內(nèi)射左R-模的正向極限是ZP-內(nèi)射模;

5) 左R-模M是ZP-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)M+是ZP-平坦模;

6) 左R-模M是ZP-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)M++是ZP-內(nèi)射模;

7) 右R-模N是ZP-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)N++是ZP-平坦模;

8) 任意右R-模有一個(gè)ZP-平坦預(yù)包;

9) 對(duì)任意a∈Z(RR),l(a)是有限生成左理想;

證明 1)?2) 令(Ni)i∈I是ZP-平坦右R-模集.由R是左ZP-凝聚環(huán)知,對(duì)任意a∈Z(RR),Ra是有限表現(xiàn)左R-模,故存在如圖1的行為正合列的交換.

(∏Ni)Raf→(∏Ni)Rα↓β↓0→∏[NiRa]g→∏[NiR]

圖 1

故由文獻(xiàn)[2]及圖1知α及β同構(gòu),則f是單同態(tài).

2)?3) 顯然.

0→(∏R)Ra→(∏R)R→(∏R)R/Ra→0f↓g↓h↓0→∏Ra→∏R→∏(R/Ra)→0

圖 2

既然R/Ra是有限表現(xiàn)左R-模,由文獻(xiàn)[2]及圖2知g和h同構(gòu),故由五引理知f同構(gòu),且由文獻(xiàn)[2]知Ra是有限表現(xiàn)左R-模,故R是左ZP-凝聚環(huán).

HomR(R/Ra,lim→Mi)→HomR(R,lim→Mi)→HomR(Ra,lim→Mi)→0f↓g↓h↓lim→HomR(R/Ra,Mi)→lim→HomR(R,Mi)→lim→HomR(Ra,Mi)→0

圖 3

由文獻(xiàn)[7]及圖3知f和g同構(gòu),故由五引理知h同構(gòu).由文獻(xiàn)[7]知Ra是有限表現(xiàn)左R-模,故R是左ZP-凝聚環(huán).

8)?2) 可直接由文獻(xiàn)[18]得.

1)?9) 由命題2.2可得.

1)?10) 由文獻(xiàn)[5]可知.

10)?3) 顯然.

推論 2.9 若R為左ZP-凝聚環(huán),則任意左R-模存在ZP-內(nèi)射蓋.

證明 令0→A→B→C→0左R-模的純正合列,其中B是ZP-內(nèi)射模,則0→C+→B+→A+→0分裂.由定理2.8知,B+是ZP-平坦模,則C+是ZP-平坦模,C是ZP-內(nèi)射模;因此ZP-內(nèi)射左R-模類在純商模下是封閉的,故由文獻(xiàn)[19]知任意左R-模有ZP-內(nèi)射蓋.

推論 2.10 令R為左ZP-凝聚環(huán).以下條件等價(jià):

1) 任意ZP-平坦右R-模是平坦模;

2) 任意ZP-內(nèi)射左R-模是FP-內(nèi)射模;

3) 任意ZP-內(nèi)射且為純內(nèi)射左R-模是內(nèi)射模.

此種情況下,R是左凝聚環(huán).

證明 1)?2) 令M為任意ZP-內(nèi)射左R-模.由定理2.8知,M+是ZP-平坦模,故由1)知M+是平坦模;因此M++是FP-內(nèi)射模.既然M是M++的純子模,則M是FP-內(nèi)射模.

2)?3) 顯然.

此種情況下,由定理2.8知,FP-內(nèi)射左R-模的任意正向極限是FP-內(nèi)射模,故由文獻(xiàn)[6]知R是左凝聚環(huán).

現(xiàn)在考慮什么條件下任意左R-模有一個(gè)滿ZP-內(nèi)射蓋以及任意右R-模有一個(gè)ZP-平坦預(yù)包.

命題 2.11 令R為左ZP-凝聚環(huán),以下條件等價(jià):

1)RR是ZP-內(nèi)射模;

2) 任意左R-模有一個(gè)滿的ZP-內(nèi)射蓋;

3) 任意右R-模有一個(gè)單的ZP-平坦預(yù)包;

4) 任意內(nèi)射右R-模是ZP-平坦模;

5) 任意平坦左R-模是ZP-內(nèi)射模.

證明 1)?2) 令M為任意左R-模.由推論2.9知,M有一個(gè)ZP-內(nèi)射蓋f:C→M.另一方面,存在一個(gè)滿同態(tài)g:R(I)→M.由于RR是左ZP-內(nèi)射模,故由命題2.7的證明過程知,R(I)是左ZP-內(nèi)射左R-模;因此存在同態(tài)h:R(I)→C使得g=fh.既然g是滿同態(tài),故f滿同態(tài).

2)?1) 令f:RM→RR是滿的ZP-內(nèi)射蓋,則RR同構(gòu)于M的一個(gè)直和加項(xiàng),故由命題2.7的證明過程知,RR是ZP-內(nèi)射左R-模.

3)?4) 令E是內(nèi)射右R-模,則由3)知E能嵌入ZP-平坦右R-模.由定理2.8中7)?2)的證明可知,ZP-平坦右R-模的直和加項(xiàng)也是ZP-平坦右R-模,故E是ZP-平坦右R-模.

4)?5) 令M為任意平坦左R-模,則M+是內(nèi)射模,由4)知M+是ZP-平坦R-模,因此由定理2.8知M是ZP-內(nèi)射左R-模.

5)?1) 顯然.

以下定理給出了交換ZP-凝聚環(huán)的等價(jià)刻畫.

定理 2.12 對(duì)于交換環(huán)R,以下條件等價(jià):

1)R是ZP-凝聚環(huán);

2) 對(duì)任意ZP-內(nèi)射R-模M及內(nèi)射R-模N,同態(tài)模HomR(M,N)是ZP-平坦模;

3) 對(duì)任意內(nèi)射R-模N,同態(tài)模HomR(R+,N)是ZP-平坦模.

證明 1)?2) 對(duì)任意ZP-內(nèi)射R-模M及內(nèi)射R-模N,既然Q/Z是內(nèi)射余生成子,則存在正合列0→N→∏(Q/Z).因?yàn)镹是內(nèi)射模,則存在某一R-模C,使得∏(Q/Z)?N⊕C,HomR(M,∏(Q/Z))?HomR(M,N⊕C)?HomR(M,N)⊕HomR(M,C).另一方面,HomR(M,∏(Q/Z))?∏HomR(M,Q/Z)=∏M+,則HomR(M,N)是∏M+的直和加項(xiàng).既然M是ZP-內(nèi)射R-模,由定理2.8知∏M+是ZP-平坦模.由定理2.8中7)?2)的證明中可知ZP-平坦模的直和加項(xiàng)也是ZP-平坦模,HomR(M,N)是ZP-平坦模.

2)?3) 由R+是(ZP)-內(nèi)射模.

3)?1) 注意到∏R++?∏HomR(R+?R,Q/Z)?∏HomR(R+,R+)?HomR(R+,∏R+).既然R是R++的純子模,則由文獻(xiàn)[17]知∏R是∏R++純子模.由3)知∏R++是ZP-平坦模.由命題2.7知∏R是ZP-平坦模,因此由定理2.8 知R是ZP-凝聚環(huán).

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2010 MSC：13C10; 13D99; 16D40

(編輯 鄭月蓉)

On ZP-coherent Rings

XU Longyu1, HU Kui1, WAN Jixiang2, WANG Fanggui3

( 1.CollegeofScience,SouthwestUniversityofScienceandTechnology,Mianyang621010,Sichuan;2.CollegeofMathematicsandComputerScience,MianyangNormalUniversity,Mianyang621010,Sichuan;3.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

In this paper, the notion of the ZP-coherent ring is defined. An example is given to reveal that left ZP-coherent rings are not necessarily right ZP-coherent rings. The cover of ZP-injective modules and the envelope of ZP-flat modules are used to characterize ZP-coherent rings. It is proved that the ringRis left ZP-coherent if and only if any direct product of ZP-flat rightR-modules is ZP-flat if and only if any rightR-module has a ZP-flat preenvelope. In light of these facts, it is shown that every leftR-module over a left ZP-coherent ring has a ZP-injective cover. IfRis a left ZP-coherent ring, thenRRis ZP-injective if and only if every leftR-module has an epimorphic ZP-injective cover if and only if every rightR-module has a monomorphic ZP-flat preenvelope.

ZP-coherent rings; ZP-injective modules; ZP-flat modules; ZP-injective cover; ZP-flat prenvelope

2015-08-03

國(guó)家自然科學(xué)基金(11171240)

徐龍玉(1979—),女,講師,主要從事環(huán)與模范疇理論的研究,E-mail:xulongyu3@163.com

O153.3; O154

A

1001-8395(2017)01-0068-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.01.011