文/吳衛(wèi)通

數(shù)學中的習題變式教學
——從一道關(guān)于三角形內(nèi)接正方形習題談起

文/吳衛(wèi)通

數(shù)學教材中例題、習題是數(shù)學問題的精華，挖掘其內(nèi)在的學習線索,對這些題目進行推廣與變式教學,能積極培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維,達成多維目標的過程?，F(xiàn)舉數(shù)學課本中一道習題為例來談談變式教學。

如下圖，△ABC是一塊銳角三角形余料,邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB、AC上,這個正方形零件的邊長是多少?

在教學中，筆者將此題做如下變式教學：

圖一

圖二

變式1 如圖一，如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由三個并排放置的正方形組成，此時這個零件的兩條邊長分別是多是mm?

變式2 如圖一，如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由n個(并排放置的正方形組成，此時這個零件的兩條邊長分別是多是mm?(直接用含n的代數(shù)式表示)

生1：上述變式1、2兩題根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可完成。

變式3 如圖二，如果原題中要加工的零件是只一個矩形，求此時這個矩形零件面積的最大值是多少mm？

生2：設矩形寬PQ=xmm,面積為ymm2,由相似性質(zhì)求得PN= ，得y= ，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求得最大值。

圖三

圖四

變式4 如圖三，有一塊三角形余料，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm。要在這塊余料中剪出一個盡可能大的正方形，有甲乙兩種剪法，比較兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積大，請說明理由。

生3：甲乙兩種剪法都可根據(jù)相似三角形性質(zhì)求得。

變式5 如圖四，圖三中甲種剪法稱為第一次剪取，記所得的正方形面積為s1；按照甲種剪法，在余下的△ADF與△BED中，再剪出兩個正方形，稱為第二次剪取，并記這兩個正方形面積和為s2,則s2=。

生4：根據(jù)相似三角形性質(zhì)求得。

變式6 師：對任意一個三角形，其內(nèi)接正方形共有幾個呢？

生5：要根據(jù)三角形形狀分類討論。

生6：當三角形為銳角三角形時，有3個內(nèi)接正方形；當三角形為直角角三角形時，有2個內(nèi)接正方形；當三角形為鈍角三角形時，有1個內(nèi)接正方形。

師：再把有關(guān)”內(nèi)接正方形問題“與函數(shù)等知識相結(jié)合，達到延伸拓展目的。

變式7 在平面直角坐標系中，將n個邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA、OC分別在x軸和y軸正半軸上，設拋物線y=ax2+bx+c(a<0)過矩形頂點B、C。

（1）當n=1,如果a=-1,求b的值；

（2）當n=2,在矩形OABC上方作一個邊長為1的正方形EFMN，使EF在線段BC上，如果M、N兩點也在拋物線上，求出此時拋物線的解析式；

（3）將矩形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使點B落到x軸正半軸上，如果該拋物線同時經(jīng)過原點O。

當n=3時a的值；

②直接寫出a關(guān)于n的關(guān)系式。

生7：當n=1時，可知拋物線對稱軸為直線x=，求得b=1;

生8：當n=2時，把B(2,1),M(C(0,1)帶入函數(shù)解析式即可求得；

生9：當n=3時，結(jié)合相似三角形來解決第（3）題。

總之，教師在教學中要善于“借題發(fā)揮”，進行一題多變，引導學生去探索數(shù)學問題的規(guī)律性和方法，達到“做一題，通一類，會一片”的教學效果，讓學生走出題海戰(zhàn)術(shù)，真正做到輕負高質(zhì)。

（作者單位：浙江省金華市第十四中學）