杏建軍，陳子昂，石凱宇，廖俊

(1. 中南大學(xué) 航空航天學(xué)院， 湖南 長沙 410083; 2. 北京電子工程總體研究所， 北京 100854)

小推質(zhì)比條件下Lambert制導(dǎo)方法的快速修正*

杏建軍1，陳子昂1，石凱宇2，廖俊1

(1. 中南大學(xué) 航空航天學(xué)院， 湖南 長沙 410083; 2. 北京電子工程總體研究所， 北京 100854)

針對(duì)Lambert速度沖量制導(dǎo)方法小推質(zhì)比實(shí)施誤差較大的問題，提出了一種解析的快速修正方法。該方法以Lambert速度沖量制導(dǎo)終端狀態(tài)為約束條件，采用修正初始制動(dòng)點(diǎn)的方式修正小推質(zhì)比實(shí)施速度沖量帶來的誤差。仿真結(jié)果表明：該方法可有效修正速度沖量假設(shè)小推質(zhì)比實(shí)施的誤差，并且具有計(jì)算量小、速度快的優(yōu)點(diǎn)。

Lambert制導(dǎo)；速度沖量；有限推力；小推質(zhì)比；線性化方法；解析修正

0 引言

在已知飛行器初始和終端位置矢量的條件下，Lambert速度沖量制導(dǎo)方法可以快速設(shè)計(jì)出連接這2個(gè)點(diǎn)的最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道和速度沖量施加方式[1-2]，并具有固定飛行時(shí)間、固定飛行再入角和最小轉(zhuǎn)移能量等多種變化形式，因此被廣泛地應(yīng)用于大氣層外的飛行器軌道機(jī)動(dòng)中，如空間交會(huì)對(duì)接[3-4]、行星探測(cè)軌道轉(zhuǎn)移[5-6]、空間衛(wèi)星攔截[7]、飛行器再入[8]等。

Lambert方法是一種基于二體動(dòng)力學(xué)假設(shè)的速度沖量制導(dǎo)方法，在實(shí)際實(shí)施中具有較大的誤差，特別是速度沖量假設(shè)。在大氣層外，速度沖量制導(dǎo)方法有限推力實(shí)施時(shí)，會(huì)帶來重力損失[9]：當(dāng)飛行器推力較大，推質(zhì)比達(dá)到5～10時(shí)，速度沖量假設(shè)帶來的誤差可以忽略；當(dāng)飛行器推力較小，推質(zhì)比為0.5～1時(shí)，速度沖量假設(shè)帶來的誤差不可忽略。由于重力損失與飛行路徑角有關(guān)，一般通過數(shù)值積分或數(shù)值優(yōu)化的方法修正[10-12]，數(shù)值計(jì)算的方法具有精度高，適應(yīng)面廣的優(yōu)點(diǎn)，但也有計(jì)算量大的缺點(diǎn)，不適合在星上計(jì)算資源比較緊張的任務(wù)中使用。

針對(duì)Lambert速度沖量制導(dǎo)方法有限小推質(zhì)比實(shí)施誤差大，數(shù)值修正計(jì)算量大的問題，提出了一種解析的修正方法。該方法首先分別將速度沖量與有限推力作用下飛行器飛行軌跡沿一個(gè)虛擬的圓軌道進(jìn)行線性化；其次根據(jù)線性化的方程求解2種方式飛行軌跡的解析解；最后通過調(diào)整有限推力作用初始點(diǎn)的位置和速度，使得2種方式預(yù)測(cè)的飛行軌跡在有限推力結(jié)束后交會(huì)(即以相同飛行時(shí)間和速度到達(dá)空間同一點(diǎn))，修正速度沖量有限推力實(shí)施的誤差。

1 基本思路

速度沖量制導(dǎo)有限推力實(shí)施時(shí)的誤差修正如圖1所示：設(shè)O點(diǎn)為制導(dǎo)方法計(jì)算的速度沖量施加點(diǎn)，黑色實(shí)線橢圓為速度沖量作用下飛行器飛行軌跡，黑色點(diǎn)劃線圓為以地心到O點(diǎn)的距離r1為半徑的虛擬圓軌道，其軌道角動(dòng)量方向與速度沖量作用下飛行器飛行軌跡一致；O1點(diǎn)為飛行器在有限推力作用下實(shí)際的制動(dòng)點(diǎn)，黑色虛線為飛行器在有限推力作用下的飛行軌跡。為了消除速度沖量制導(dǎo)與有限推力實(shí)施之間的誤差，要求飛行器在同樣的飛行時(shí)間，速度沖量飛行軌跡與有限推力飛行軌跡在P點(diǎn)交會(huì)，飛行器后續(xù)沿著速度沖量飛行軌跡飛行。這樣，速度沖量制導(dǎo)的有限推力修正就轉(zhuǎn)換成一個(gè)以O(shè)1點(diǎn)的位置和速度為設(shè)計(jì)初值，以P點(diǎn)的位置速度為終端約束的固定時(shí)間邊值問題。

圖1 速度沖量有限推力實(shí)施修正示意圖Fig.1 Method to correct the error between the finite burn and the impulsive (schematic)

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 坐標(biāo)系

引入2個(gè)坐標(biāo)系：

(1) 描述飛行器絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的地心赤道慣性坐標(biāo)系(ECI)：坐標(biāo)原點(diǎn)在地心，x軸指向春分點(diǎn)，z軸指向地球北極，y軸在赤道平面內(nèi)，由右手定則確定。

2.2 速度沖量模型

速度沖量飛行軌跡與虛擬圓軌道運(yùn)動(dòng)的誤差，在虛擬圓軌道RIC坐標(biāo)系中可表示為(c-w方程)[13-14]

ρ0=(x0,y0,z0)T=(0, 0, 0)T，

(1)

式中：

Av0-(0,nr1,0)T+AΔv，

(2)

式(1)是一個(gè)線性常微分方程組，有解析解：

(3)

式中：

2.3 有限推力模型

有限推力作用下，飛行器相對(duì)于虛擬圓軌道RIC坐標(biāo)系中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為[15]

ρ10=(x10,y10,z10)T,

(4)

(5)

式(4)也是一個(gè)線性常微分方程組，其解析解為

(6)

式中：

2.4 有限脈沖修正模型

在P點(diǎn)，速度沖量飛行軌跡與有限推力飛行軌跡交會(huì)，則

(7)

在式(7)左右各左乘Φ(-t)，則

(8)

又因?yàn)長ambert制導(dǎo)方法計(jì)算的速度沖量AΔv與有限推力滿足如下等式關(guān)系

(9)

式中：t為有限推力作用時(shí)間。

則有限推力再入點(diǎn)修正為

(10)

(11)

有限推力制動(dòng)點(diǎn)在地心慣性坐標(biāo)系中的位置矢量和速度矢量為

(12)

(13)

3 仿真驗(yàn)證

仿真初始條件：飛行器從381 km的圓軌道返回，制動(dòng)點(diǎn)在地心慣性坐標(biāo)系中的位置矢量為(-196.9, -6 296.4 ,-2 449.8) km，速度矢量為(5.972 7, -1.911 3, 4.432 5) km/s，再入大氣層的位置矢量為(4 962,-21,4 250) km，再入角為-5°。

3.1 不同推質(zhì)比下Lambert制導(dǎo)的誤差

根據(jù)給定的仿真條件，Lambert制導(dǎo)的結(jié)果為：在制動(dòng)點(diǎn)施加的速度沖量為548.88 m/s，制動(dòng)方向α為120.53°，β為0°,飛行器飛行時(shí)間為1 697.20 s。采用不同推質(zhì)比的發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行有限推力實(shí)施，在發(fā)動(dòng)機(jī)工作期間，制動(dòng)方向不變，表1給出了仿真結(jié)果。

由表1中數(shù)據(jù)可知，速度沖量大小一定的情況下，推質(zhì)比越小，飛行器重力損失越大，飛行器軌道機(jī)動(dòng)誤差越大。在本算例中，飛行器再入點(diǎn)位置與再入角誤差，與飛行器推質(zhì)比的倒數(shù)近似成正比關(guān)系，如推質(zhì)比為20 m/s2時(shí)，再入角誤差為0.03°，推質(zhì)比為10 m/s2時(shí)，再入角為0.06°，近似滿足關(guān)系

(14)

當(dāng)飛行器推質(zhì)比為1時(shí)，有限推力實(shí)施的位置誤差為百公里量級(jí)，飛行器再入角誤差接近0.9°。

3.2 有限推力修正后Lambert制導(dǎo)的誤差

采用與3.1中同樣的仿真條件和Lambert制導(dǎo)結(jié)果，用推質(zhì)比為1的發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行有限推力實(shí)施，在發(fā)動(dòng)機(jī)工作期間，制動(dòng)方向保持不變。表2給出了不采用有限推力修正和采用本文提出的有限推力修正的仿真結(jié)果。

表1 不同推質(zhì)比下Lambert制導(dǎo)方法有限推力實(shí)施的誤差

表2 推質(zhì)比為1時(shí)無修正與有修正的誤差

由表2中數(shù)據(jù)可知，采用有限推力修正，再入點(diǎn)為位置精度可從百千米量級(jí)提高到20 km量級(jí)，再入角誤差從0.9°提高到0.15°，二者的制動(dòng)脈沖完全一致，不會(huì)多消耗飛行器的推進(jìn)劑。

相對(duì)于標(biāo)稱制動(dòng)點(diǎn)的修正參數(shù)(地心慣性坐標(biāo)系)：dr=(-15.312 8，-142.627 2，-64.805 2)km, dv=(-134.98, 158.49, -58.41)m/s。

4 結(jié)束語

針對(duì)Lambert速度沖量制導(dǎo)小推力實(shí)施時(shí)誤差較大的問題，采用沿虛擬圓軌道線性化的思路，給出了一種解析的修正方法，與數(shù)值方法相比，該方法具備計(jì)算量小，沿用Lambert制導(dǎo)結(jié)果的優(yōu)點(diǎn)。該方法具有一定的普適性，可用于任意速度沖量制導(dǎo)有限推力實(shí)施的誤差修正中，也可以用于其他攝動(dòng)力，包括地球J2項(xiàng)攝動(dòng)等的修正。

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Analytical Method to Correct the Lambert Impulsive Guidance Errors under Small Thrust to Mass Ratio

XING Jian-jun1, CHEN Zi-ang1, SHI Kai-yu2, LIAO Jun1

(1. Central South University, College of Aeronautics and Astronautics, Hunan Changsha 410083, China; 2. Beijing Institute of Electronic System Engineering, Beijing 100854, China)

If the thrust to mass ratio is small, the error between the finite burn transfers and the Lambert impulsive guidance is significant. The general method of solution is to run an integrated trajectory computer program. An analytic method is presented to reduce this error and alleviate on-board computer burden. The terminal state parameters of the Lambert impulsive guidance are used as the terminal constraints of the finite burn transfers. The initial state of the finite burn transfers as the design parameters are selected by the linearized method to meet the terminal constraints and make the same trajectory of the finite burn and impulsive transfers after the finite burn. The numerical simulation illustrates the presented analytical method could effectively correct the error of the velocity impulse assumption, and has the advantages of small computation burden.

Lambert guidance; impulse maneuvers; finite thrust; small thrust to mass ratio; linearized method; analytical correct

2016-09-25；

2016-12-12 基金項(xiàng)目：有 作者簡介：杏建軍(1975-)，男，甘肅蘭州人。副教授，博士，主要研究方向?yàn)轱w行器動(dòng)力學(xué)建模與仿真，飛行器軌跡優(yōu)化，飛行器軌道確定與預(yù)報(bào)；編隊(duì)衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)與控制。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.02.001

TJ765.3

A

1009-086X(2017)-02-0001-05

通信地址：410083 湖南省長沙市岳麓區(qū)中南大學(xué)航空航天學(xué)院 E-mail：xjj@csu.edu.cn

編者按：“2016年先進(jìn)導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制技術(shù)研討會(huì)”成功舉行。會(huì)議得到了國內(nèi)從事空天防御的軍方、軍工單位、科研院所、高校等的積極響應(yīng)和大力支持，共征集到論文40余篇，經(jīng)過專家評(píng)審選出優(yōu)秀論文10余篇進(jìn)行了會(huì)議交流。《現(xiàn)代防御技術(shù)》特開辟專欄陸續(xù)刊登此次會(huì)議的優(yōu)秀論文，供讀者參考。