魏冠軍，黨亞民，章傳銀，楊維芳

1. 蘭州交通大學測繪與地理信息學院，甘肅 蘭州 730070； 2. 中國測繪科學研究院，北京 100830

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顧及不確定性影響的變形概率預報法

魏冠軍1，黨亞民2，章傳銀2，楊維芳1

1. 蘭州交通大學測繪與地理信息學院，甘肅 蘭州 730070； 2. 中國測繪科學研究院，北京 100830

針對變形預報的不確定性，以MCMC算法和貝葉斯預測理論為基礎，提出了變形概率預報方法，該方法以概率分布的形式描述變形預報的不確定性, 通過概率規(guī)則實現(xiàn)預報的遞推過程。利用寧杭高速路基沉降數(shù)據(jù)進行數(shù)值計算，定量分析了預報值及其可靠性區(qū)間等信息，并與最小二乘估計、免疫算法的預報結(jié)果進行比較，結(jié)果表明了該方法的有效性和可行性。

預報不確定性；測量誤差；參數(shù)不確定性；Gibbs抽樣；概率預報

建立有效的變形預報模型是分析變形監(jiān)測資料、理解變形機理和檢驗工程設計理論的重要手段[1]，同時，變形預報成果為災害預警和工程安全性評估提供了重要的決策依據(jù)。20世紀70年代初，國內(nèi)外學者相繼提出了變形預報的統(tǒng)計模型、確定性模型和混合模型[2]。為考慮變形體在不同觀測時刻的空間狀態(tài)，并建立各個狀態(tài)之間的聯(lián)系，一些學者提出了變形的時間序列分析模型[3]、卡爾曼濾波模型[4]、貝葉斯動態(tài)模型[5]等預報理論與方法。將變形體作為一個整體，綜合考慮變形體多個監(jiān)測點的空間相關(guān)性，提出了多點變形預測模型[6-7]。此外，由于變形過程受一些非線性、不確定性因素的影響，變形預報的灰色系統(tǒng)理論、突變理論、神經(jīng)網(wǎng)絡、小波分析等方法[8]也得到廣泛的應用。

變形預報結(jié)果存在一定程度的不確定性。這種不確定性的產(chǎn)生，一方面是由于自然環(huán)境因素、地質(zhì)條件及各種荷載(力)等綜合影響并且在動態(tài)變化之中，從而導致變形過程的不確定性；另一方面，由于監(jiān)測數(shù)據(jù)存在誤差，巖土體本構(gòu)關(guān)系復雜，難以建立精確的數(shù)學模型。用不精確的模型來描述、模擬復雜的動態(tài)變形過程，這種不確定性也是顯而易見的[9-11]。然而，已有的變形預報方法只給出一個確定的預報值，并不能較完整地定量化表征變形預報的不確定性；同時，單值的變形預報結(jié)果在一定程度上制約著災害預警和工程安全性評估的可靠性。因此，變形預報的不確定性研究是一個亟待解決的問題。

目前，變形預報的不確定性研究相當有限[12-15]。概率作為表征水文預報、氣象預報不確定性的一種方式已得到廣泛的應用[16-18]。因此，本文針對變形預報的不確定性，擬采用MCMC(Markov Chain Monte Carlo，MCMC)算法[19]和貝葉斯預測理論[20]，綜合考慮監(jiān)測數(shù)據(jù)誤差和反演模型參數(shù)不確定性的影響，提出了變形概率預報方法。該方法以概率分布的形式描述變形預報的不確定性，通過概率規(guī)則來實現(xiàn)預報的學習和推理過程，最大限度地利用了預報當前時刻的所有信息。對概率預測分布的Gibbs抽樣計算，可求得預報量的均值、方差及置信區(qū)間等信息，定量地分析了變形預報的不確定性，同時，該方法提供了預報值的可靠性區(qū)間，對災害預警和工程安全性評估具有重要的參考價值。

1 變形概率預報方法

1.1 不確定性反演分析

不確定性反演分析是指運用隨機過程、模糊數(shù)學、分形幾何等不確定性數(shù)學工具來分析量測信息的不確定性及反演模型的非確定性。在工程領域，不確定性反演分析主要有極大似然估計、貝葉斯方法、卡爾曼濾波法等[21],貝葉斯反演分析是在貝葉斯理論的基礎上，將參數(shù)的先驗信息、量測信息的不確定性，按貝葉斯法則考慮在目標函數(shù)中，由似然函數(shù)遞推待求參數(shù)的后驗概率密度函數(shù)[22]。

對變形監(jiān)測分析而言，若Y=(y1,y2,…,yn)為n期變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，φ(θ)是以θ=(θ1,θ2,…,θk)為參數(shù)的變形分析模型，則變形監(jiān)測數(shù)據(jù)Y與變形分析模型φ(θ)之間的關(guān)系為[23-24]

Y=φ(θ)+ε

(1)

式中，ε為隨機變量，且ε～N(0,τ-1)；τ為未知的待定參數(shù)，表示監(jiān)測數(shù)據(jù)誤差和模型結(jié)構(gòu)的不確定性。

若監(jiān)測數(shù)據(jù)Y=(y1,y2,…,yn)服從正態(tài)分布

p(yi|θ)～N(φ(θ),τ-1)i=1,2,…,n

(2)

則變形觀測值的似然函數(shù)為

(3)

根據(jù)貝葉斯理論，并顧及參數(shù)的先驗分布π(θ)，變形模型參數(shù)的后驗概率分布為

π(θ|y1,y2,…,yn)∝π(θ)p(y1,y2,…,yn|θ)

(4)

從式(4)可以看出，監(jiān)測數(shù)據(jù)誤差和模型結(jié)構(gòu)的不確定性通過貝葉斯反演分析傳遞到參數(shù)的后驗概率分布中來, 參數(shù)的后驗概率分布π(θ|y1,y2,…,yn)描述了參數(shù)的不確定性。

1.2 概率預報遞推算法

根據(jù)文獻[25]的研究，利用貝葉斯預測理論來推斷未來時刻的觀測值必須依靠預測分布。若將預測值(ypre)作為一個附加的未知參數(shù)，并與模型參數(shù)(θ)一起進行估計，利用聯(lián)合后驗概率分布p(ypre,θ|yobs)來推斷未來觀測值的邊緣后驗分布p(ypre|yobs)

p(ypre|yobs)=∫p(ypre,θ|yobs)dθ= ∫p(ypre|θ,yobs)·π(θ|yobs)dθ= ∫p(ypre|θ)·π(θ|yobs)dθ

(5)式(5)的概率預測分布p(ypre|yobs)涵蓋了參數(shù)后驗分布π(θ|yobs)和預測值的函數(shù)分布p(ypre|θ)，以概率分布的形式描述了變形預報的不確定性。

在完全沒有獲得變形觀測數(shù)據(jù)的情況下，利用參數(shù)的先驗分布π(θ)可求得未知且可觀測的數(shù)據(jù)分布為

p(y)=∫Θp(y|θ)·π(θ)dθ

(6)

在實際變形分析中，預測通常是在獲得一定的觀測數(shù)據(jù)之后進行。在不同的時間間隔獲取的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，利用貝葉斯遞推算法推斷出某一時刻變形的一步概率預測分布(圖1)，過程如下：

(1) 當t1時刻變形監(jiān)測數(shù)據(jù)y1獲取以后，根據(jù)式(4)可推斷出t1時刻參數(shù)的后驗分布為

π(θ1|y1)∝p(y1|θ)π(θ)

(7)

根據(jù)式(5)，t1時刻的一步預測分布為

p(y2|y1)=∫p(y2|θ1)π(θ1|y1)dθ

(8)

(2) 隨著t2時刻監(jiān)測數(shù)據(jù)y2獲取，將t1時刻參數(shù)的后驗分布(π(θ1|y1)作為t2時刻參數(shù)的先驗分布，結(jié)合新的監(jiān)測數(shù)據(jù)y2來推斷t2時刻參數(shù)的后驗分布

π(θ2|y(1,2))∝p(y2|θ1)π(θ1|y1)

(9)

同理，t2時刻的一步預測分布為

p(y3|y(1,2))=∫p(y3|θ2)π(θ2|y(1,2))dθ

(10)

(3) 依次遞推，當tn時刻監(jiān)測數(shù)據(jù)y1、y2、…、yn獲取后，逐次遞推的模型參數(shù)后驗分布為

(11)

同理，tn時刻的一步預測分布為

p(yn+1|y(1:n))=∫p(yn+1,θn|y(1:n))dθ=

∫p(yn+1|θn,y1:n)π(θn|y(1:n))dθ=

∫p(yn+1|θn)π(θn|y(1:n))dθ

(12)

隨著觀測數(shù)據(jù)的不斷更新，并不斷地對參數(shù)的先驗信息進行更新與修正，使得參數(shù)的估計越來越準確，相應的預測分布也隨之更新與修正, 實現(xiàn)了利用概率規(guī)則的學習和推理過程。

圖1 變形概率預報的貝葉斯遞推算法Fig.1 Deformation probability forecasting of Bayesian recursive algorithm

1.3 概率預測分布的數(shù)值計算

Gibbs抽樣算法是應用最為廣泛的MCMC算法之一[26]。文獻[27]將Gibbs抽樣應用到復雜、高維的后驗概率分布計算，不僅求得未知參數(shù)的估計值，還獲得參數(shù)的方差、置信區(qū)間及MC誤差等信息。由于變形模型的參數(shù)后驗概率分布(式(4))和變形的概率預測分布(式(5))的計算都涉及高維、非標準的分布，很難用傳統(tǒng)的數(shù)值方法來計算。因此，本文采用Gibbs抽樣算法進行概率分布的數(shù)值計算，具體的過程如下：

2 工程實例分析

為了驗證本文提出的變形概率預報方法的可行性及其精度，利用寧杭高速公路k95+520段地基沉降觀測數(shù)據(jù)[28]進行地基沉降泊松曲線模型擬合與預測，利用WinBUGS軟件編程來實現(xiàn)本文的方法。

2.1MCMC計算收斂性判斷

采用MCMC方法構(gòu)造的Markov鏈，再經(jīng)過足夠長的預熱過程后達到穩(wěn)定，即滿足遍歷性、歸一性和平穩(wěn)性條件的Markov過程，之后的各個狀態(tài)采樣值可視為來自目標分布。利用Gelman收斂準則可直觀、準確地判斷Markov鏈的收斂性，即后驗分布的Gibbs采樣軌跡圖趨于一條直線，說明迭代采樣過程是收斂的[29]。通過對20期的一步預測分布的Gibbs采樣軌跡圖判斷(圖1)，Markov鏈在大約經(jīng)過500次采樣預熱之后，采樣軌跡圖趨于一條直線，說明沉降變形預測分布的采樣值收斂較快，且本次Gibbs抽樣迭代計算是收斂的。

注：橫坐標表示采樣迭代次數(shù)；縱坐標表示預測分布的采樣值，單位為cm。圖2 變形預測分布的采樣軌跡Fig. 2 The sampling trajectory of deformation prediction distribution

2.2 概率分布曲線及不確定性分析

考慮到監(jiān)測數(shù)據(jù)誤差及模型參數(shù)反演等不確定性因素影響，以變形概率預測分布來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的變形預報值(一個常數(shù))。Markov鏈收斂以后的采樣值可視為來自變形概率預測分布的獨立樣本，利用采樣值繪制變形的概率預報分布曲線(圖3)。當預測量概率分布曲線比較陡且拖尾較小時，相應的置信區(qū)間寬度變小，即預報的不確性小；當預測的概率分布曲線比較緩且拖尾較大時，相應的置信區(qū)間寬度變大，即預報的不確定性較大。

2.3 預報值及可靠性區(qū)間計算

Markov鏈收斂以后的采樣值可視為來自變形概率預測分布的獨立樣本，用于預測量的統(tǒng)計計算及可靠性分析。表1列出了20期地基沉降一步概率預測分布采樣值的統(tǒng)計結(jié)果，預報量的均值、標準差、95%置信區(qū)間及MC誤差等信息，較好地表征了變形預報的不確定性。

注：橫坐標表示變形預測采樣值，單位為cm；縱坐標表示概率密度。圖3 沉降量的概率預測分布曲線Fig.3 The probability prediction distribution curve of settlement

時間/d沉降觀測值/cmBayes概率方法均值/cm標準差/cm95%置信區(qū)間/cmMC誤差免疫算法/cm最小二乘擬合方法/cm50.510.9610.3648[0.248,1.665]0.01131.060.94101.441.4450.3848[0.673,2.206]0.01351.541.41202.712.9310.3743[2.210,3.690]0.01093.012.90213.213.1040.3847[2.318,3.846]0.01163.203.09253.573.9240.3836[3.159,4.690]0.00753.993.91305.355.0270.3609[4.302,5.722]0.00545.065.01345.885.9090.3672[5.171,6.658]0.00895.925.90356.566.1100.3743[5.391,6.869]0.00796.136.12407.487.0990.3742[6.355,7.844]0.01027.107.10457.827.8970.3642[7.135,8.632]0.00997.927.91488.058.2840.3649[7.565,9.002]0.00948.328.30508.388.5010.3691[7.755,9.226]0.00848.568.52558.598.9610.3681[8.224,9.708]0.00719.038.96608.849.2520.3638[8.514,9.965]0.00609.379.27629.019.3390.3611[8.617,10.07]0.00689.489.36659.189.4640.3613[8.744,10.17]0.00719.619.47709.819.5900.3670[8.888,10.33]0.00769.769.607510.049.6830.3705[8.927,10.40]0.00969.879.697610.069.7020.3793[8.953,10.44]0.00899.899.718010.119.7600.3781[9.016,10.52]0.00869.949.74RMS擬合殘差 1.8398 2.0788 1.8505

2.4 不同方法預報結(jié)果比較

為了驗證本文的變形概率預測分布方法的有效性，與相同數(shù)據(jù)、同一模型的免疫算法、最小二乘算法的擬合預測結(jié)果進行比較(表1)，通過擬合殘差對比，變形的概率預報方法不僅預測精度優(yōu)于免疫算法和最小二乘方法，而且給了預測值的可靠性區(qū)間，從而突出了該方法的有效性及優(yōu)勢。

此外，從3種方法的預測誤差序列圖來看，預測誤差的正負性均呈現(xiàn)出明顯的一致，但概率預報方法的預測誤差略小于其他兩種方法(圖4)。在20期預測中，有12期免疫算法預測的預測誤差大于其他兩種方法，而最小二乘的預測誤差雖與概率預報方法相當，但殘差略大(表1)。

圖4 3種方法的預測誤差序列圖Fig.4 Three methods of prediction error sequence diagram

3 結(jié) 論

針對變形過程的不確定性，本文提出了變形概率預報方法，通過概率規(guī)則實現(xiàn)預報的遞推過程。主要結(jié)論如下：① 將參數(shù)的先驗信息、監(jiān)測信息的不確定性，按貝葉斯法則考慮在目標函數(shù)中，并利用其預測理論推斷出下一時刻變形的一步概率預測分布；②通過對一步概率預測分布的抽樣計算，得出了預報量的均值、標準差、95%置信區(qū)間等信息，較好地表征了變形預報的不確定性；③結(jié)合工程實例，通過對比不同預測方法的結(jié)果表明，變形概率預報方法預測精度較高，表明了該方法的有效性，同時，本文方法給出了預測值的可靠性區(qū)間，對于工程災害預警及安全性評估具有一定的實用性。

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(責任編輯：宋啟凡)

Method of Deformation Probability Prediction Considering the Influence of Uncertainty Factors

WEI Guanjun1，DANG Yamin2，ZHANG Chuanyin2，YANG Weifang1

1. Faculty of Geomatics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China; 2. Chinese Academy of Surveying and Mapping, Beijing 100830, China

A probabilistic prediction method of deformation is proposed based on the MCMC algorithm and the Bayesian Prediction Theory.This method describes the uncertainty of deformation prediction using probability distributions and implement the recursive process of prediction by probability rules. The settlement data from the Nanjing-Hangzhou high-speed roadbed is used to quantitatively analyze the forecast values, reliability intervals and so on, and then the results are compared with those obtained by the least squares estimation and the immune algorithm, and it has shown that the proposed method is effective and feasible.

prediction uncertainty; measurement error; parameter uncertainty;Gibbs sampling; probability predication

The National Natural Science Foundation of China (No. 41364001); The Natural Science Foundation of Gansu Province (No.1508RJEA065); Science and Technology Support Program of Lanzhou Jiaotong University(No.ZC2014002)

WEI Guanjun(1976—)，male,PhD, associate professor, majors in the theory and algorithm of survey data processing.

DANG Yamin

魏冠軍，黨亞民，章傳銀，等.顧及不確定性影響的變形概率預報法[J].測繪學報，2017,46(4)：526-532.

10.11947/j.AGCS.2017.20160531. WEI Guanjun，DANG Yamin，ZHANG Chuanyin，et al.Method of Deformation Probability Prediction Considering the Influence of Uncertainty Factors[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(4):526-532. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160531.

P258

A

1001-1595(2017)04-0526-07

國家自然科學基金(41364001)；甘肅省自然科學基金(1508RJEA065)；蘭州交通大學科技支撐計劃(ZC2014002)

2016-10-24

魏冠軍(1976—)，男，博士，副教授,主要從事測量數(shù)據(jù)處理的理論與算法研究。

E-mail： wchampion@sina.com

黨亞民

E-mail： dangym@casm.ac.cn

修回日期： 2017-03-16