杜海良

2015年10月26日，全國(guó)第十二屆小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革觀摩交流會(huì)上，浙江省王麗兵老師執(zhí)教的《體積與容積》一課，深受專家和聽課老師的好評(píng)。王老師在講教學(xué)體積與容積的關(guān)系時(shí)，拿出了幾個(gè)紙箱，讓學(xué)生在想象與觀察中，感受在外“套”紙箱時(shí)紙箱的容積不變，但體積變大，在內(nèi)“嵌”紙箱時(shí)，體積不變，容積卻變小。這一活動(dòng)，緊扣體積與容積概念的本質(zhì)，巧妙地幫助學(xué)生辨析了體積與容積的不同：容積是要看里面的，體積是看外面的。

對(duì)于體積包不包括容積的問題，其實(shí)是一個(gè)“舊”問題，曾引起數(shù)學(xué)老師、專家的熱烈討論，觀點(diǎn)可能不盡相同，但大家實(shí)事求是，勇于發(fā)表自己的意見，使討論逐步深入。為方便繼續(xù)討論這一問題，先轉(zhuǎn)述如下。

【觀點(diǎn)一】體積不包括容積

《小學(xué)數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)版）》期刊2008年第7、8合刊上發(fā)表了葉玲、王永老師的《讓自讀成為課堂教學(xué)的基礎(chǔ)——“體積與容積”單元起始課探究》一文，文中提出了“一個(gè)杯子的體積包含它的容積嗎”的問題。

當(dāng)葉老師問“這個(gè)杯子的體積和容積一樣嗎”時(shí)，學(xué)生的答案是“杯子的體積比它的容積大”。因?yàn)樗麄兊慕忉屖恰氨拥捏w積比容積多了一層——杯子的厚度”，“杯子的體積是從外面量的，而它的容積是從里面量”。學(xué)生這樣推理：杯子的體積包含它的容積，所以杯子的體積比它的容積大。這個(gè)錯(cuò)誤是把容器的容積當(dāng)作容器的體積的一部分。

【我們的思考】

文中，對(duì)于學(xué)生的解釋“杯子的體積包含它的容積”，葉老師持否定意見，并指出了怎樣才能讓學(xué)生明白杯子的體積大小與它的容積大小之間沒有因果關(guān)系的方法，利用“排水法”讓學(xué)生理解杯子的體積相當(dāng)于排掉的水的體積，也就是認(rèn)為杯子的體積只是制作杯子所用材質(zhì)（玻璃）的體積，不包括能裝水的容積部分。

王永、葉玲老師所持觀點(diǎn)應(yīng)該說是有道理的，特別是用“排水法”來(lái)向?qū)W生解釋，很令人信服。但這一觀點(diǎn)與學(xué)生原有認(rèn)識(shí)不同，與教材對(duì)體積的定義也不完全符合。根據(jù)定義，杯子的體積是杯子所占空間的大小，這一個(gè)空間是不是真的就像王永、葉玲老師認(rèn)為的那樣絕對(duì)不包含中空部分，只是杯子材質(zhì)所占的空間呢？還值得商榷。

【觀點(diǎn)二】體積包不包括容積要分有蓋與無(wú)蓋

果然，張奠宙教授在看到王永、葉玲老師一文后，也加入了討論，發(fā)表了《從體積的定義說起》一文。

容積是特殊的體積，葉文已經(jīng)做了詳細(xì)分析。文中談到杯子的體積時(shí)，要區(qū)分有蓋、無(wú)蓋的情形。有蓋的茶杯，包含中空部分，所以它的體積比它的容積大。無(wú)蓋的茶杯的體積就只是它的實(shí)體部分，不含中空部分，所以一般來(lái)說，其體積比容積小。這次探究課，學(xué)生就把茶杯一律當(dāng)作有蓋的情形在考慮了。

【我們的思考】

張教授提出，杯子的體積是否包括容積，要分有蓋與無(wú)蓋的情形。如果有蓋，就包括中空部分（容積）；如果無(wú)蓋，就不含中空部分（容積）。這一觀點(diǎn)，與現(xiàn)場(chǎng)老師對(duì)王麗兵老師提出的意見一致，紙箱若是封閉的，它的體積才包括容積；若不封閉，紙箱的體積包不包括容積，還需要斟酌。區(qū)分有蓋、無(wú)蓋，比簡(jiǎn)單絕對(duì)地判定杯子的體積不包括容積，更容易讓人信服。但一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念，用有蓋還是無(wú)蓋來(lái)界定，總覺得也不太妥當(dāng)。而且，根據(jù)物理上“密度”的知識(shí)：體積=質(zhì)量÷密度，這時(shí)的體積大小其實(shí)與封閉與否無(wú)關(guān)，因?yàn)槔锩娴闹锌詹糠譀]有質(zhì)量，這時(shí)的體積也就沒有計(jì)人中空部分的體積（容積）。對(duì)于這個(gè)問題的討論，似乎還是沒有能讓所有人都一致信服的答案。

【觀點(diǎn)三】物體體積=物體容積+物質(zhì)體積

有趣的問題、熱烈的討論、懸而未決的矛盾，引起了江蘇省海安縣教研室仲海峰老師的探究興趣。仲老師在《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》上發(fā)表了《“跳出”數(shù)學(xué)“看”數(shù)學(xué)》一文，也加入了討論，他把討論的問題改編成了一道數(shù)學(xué)題：

如下圖，A是一個(gè)長(zhǎng)方體，體積是10立方厘米。從1到4都是從與A完全相同的長(zhǎng)方體中挖掉8立方厘米的一部分后剩下的物體的形狀。想一想，從1到4這四個(gè)物體的體積分別是多少立方厘米？

仲老師就這一問題對(duì)一些數(shù)學(xué)老師做了調(diào)查。第一遍從前往后提問，老師從開始堅(jiān)定地認(rèn)為1號(hào)、2號(hào)都是2立方厘米，到不太確定地認(rèn)為3號(hào)也是2立方厘米，最后先說4號(hào)是2立方厘米，再改口是10立方厘米。第二遍從后往前提問：4號(hào)是10立方厘米，再看3號(hào)呢？這時(shí)老師又認(rèn)為3號(hào)更像是10立方厘米了，甚至這時(shí)再看2號(hào)與1號(hào)，似乎也既像2立方厘米又像10立方厘米了。

經(jīng)過深度的追問、理性的剖析，仲老師最后提出了這樣的觀點(diǎn)：

研究任何物體的空間大小時(shí)都可以從物體體積、物體容積、物質(zhì)體積三個(gè)方面進(jìn)行考量。這三種量相互關(guān)聯(lián)，它們之間的關(guān)系是：物體體積=物體容積+物質(zhì)體積。當(dāng)物體是實(shí)心的時(shí)候，物體容積為0，物體體積=物質(zhì)體積。

【我們的思考】

同樣的問題，解題的順序似乎影響了老師的判斷，老師似乎被繞暈了。比如2號(hào)與3號(hào)，都是挖去了8立方厘米，可開始老師認(rèn)為2號(hào)是2立方厘米，3號(hào)卻是10立方厘米，體積的大小變成了由表面開口的大小決定。再比如3號(hào)與4號(hào)，3號(hào)有了個(gè)小孔，4號(hào)是全封閉的，又有老師認(rèn)為3號(hào)是2立方厘米，4號(hào)卻是10立方厘米，一個(gè)小孔又決定了答案的截然不同。數(shù)學(xué)在這里似乎不再是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，而變得模棱兩可了，更是一些非?shù)學(xué)本質(zhì)的因素決定了數(shù)學(xué)概念的判斷，還真有“一個(gè)饅頭引發(fā)的血案”的感覺。應(yīng)該說，仲老師提出的“物體體積=物體容積+物質(zhì)體積”的關(guān)系式，用文中編后語(yǔ)來(lái)說，某種程度上是可以較好地“自圓其說”，但我們并不倡導(dǎo)在教學(xué)中再引入“物質(zhì)體積”這樣的新詞匯，因?yàn)檫@涉及物理學(xué)中的“質(zhì)量”概念，而“質(zhì)量”又是一個(gè)很難解釋的“元概念”。