王宇

【摘要】從哲學角度更加全面地給出數(shù)學的定義和定理的分類.文中給出數(shù)學研究與哲學方法論的聯(lián)系，并給出發(fā)現(xiàn)問題在數(shù)學學習研究中的重要性.

【關鍵詞】數(shù)學哲學；真理；發(fā)現(xiàn)問題；直覺

哲學給人的總體感覺是很難看懂其真正含義，哲學教材中大量的邏輯運算、數(shù)學公式和數(shù)學模型，使非哲學專業(yè)的人士見而生畏，認為這些成果僅局限于哲學領域與自然科學沒有關聯(lián)，尤其與數(shù)學領域的研究更是風馬牛不相及.作為一名數(shù)學專業(yè)教師，以前從未真正考慮過應如何研究數(shù)學，什么樣的研究方法最合理？因此在具體的研究教學工作中常會走一些彎路，甚至舉步維艱.在認真拜讀了許多哲學專著后，我對數(shù)學學科的認識有了質的飛躍，意識到哲學指導下的數(shù)學研究和教學才是真正應該秉承的方法，以下是本人對哲學和數(shù)學之間的關系做出的一些思考和總結。

一、數(shù)學的定義和真理

由于數(shù)學的定義是數(shù)學學科作為整體對象引入的問題，任何一門科學都不可能以自身為研究對象，所以這個問題需要從哲學的角度回答，但單純以哲學的角度給出定義也不全面，因為數(shù)學學科與哲學學科畢竟在研究對象、研究方法上都不相同，因而還要結合數(shù)學自身的特點給出定義.從哲學的角度回答我贊同以下兩種答案：1.林泉水在《數(shù)學對象的性質》中稱數(shù)學是一門演算的科學；2.羅竹鳳在《漢語大詞典》中稱數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和量的關系的科學.從數(shù)學學科的角度回答我贊同王青建在《數(shù)學是什么？》中稱數(shù)學是研究數(shù)與形的科學.因此我認為數(shù)學的定義是一門演算的科學，是研究數(shù)與形的科學，特別是研究現(xiàn)實世界的空間形式和量的關系的科學。

有關數(shù)學真理的探究應該從數(shù)學起源開始，以希爾伯特為代表的新康德主義過分強調經(jīng)驗是數(shù)學的唯一源泉，他肯定地說：“每個數(shù)學分支中那些最原始、最古老的問題肯定起源于經(jīng)驗，是由外部現(xiàn)象所引起的.”坎貝爾認為：“數(shù)學理論假說的每一個重要術語，都直接地、分別地與經(jīng)驗確定的量值相關，數(shù)學理論的提出不只是實驗定律的外延，理論家必須在可供選擇的數(shù)學關系中挑選，這些可供選擇的數(shù)學關系既蘊涵著定律，又呈現(xiàn)出與定律有某種類似的數(shù)學形式，”杜威認為：“主觀經(jīng)驗是一切認識的本源，客觀世界和主觀世界不過是經(jīng)驗的不同表現(xiàn)而已.”我認為數(shù)學的來源，一部分來源于經(jīng)驗，主要是古代數(shù)學所研究的大部分內(nèi)容，而另一部分高于經(jīng)驗，很難在自然界找到原形，現(xiàn)代數(shù)學大多數(shù)屬于此類.如果經(jīng)驗真的是一切數(shù)學來源的話，數(shù)學也就失去了旺盛的生命力.由此可知，數(shù)學的真理可分為兩種：一種真理的證明必須以經(jīng)驗事實為根據(jù)，而另外一種完全不需要來源于經(jīng)驗，可以純粹從邏輯規(guī)律出發(fā)運用一些數(shù)學思維方式得到，故數(shù)學中的真命題可分為分析命題和綜合命題，前者不需用經(jīng)驗材料證明真?zhèn)?，僅靠邏輯方法即可證明其真假，而后者只能依靠經(jīng)驗材料證明真?zhèn)巍?/p>

二、數(shù)學研究與哲學方法論的聯(lián)系

盡管哲學與數(shù)學是兩門不同的學科，它們的研究對象、研究目的、研究方法都大不相同，很多哲學家都明確指出“哲學不是數(shù)學，若用研究數(shù)學的方式去研究哲學將是非常可怕的，會導致哲學家們陷入迷途”，維特根斯坦在《哲學研究》中指出：“哲學不是理論，哲學的任務在于描述，即使思想在邏輯上變得明晰起來的學問，哲學的思考不同于科學的思考，哲學不提出任何理論，在哲學思考中不應有任何假設性的東西，因此哲學的任務不是得出結論，而是陳述眾所公認的事?！?/p>

數(shù)學研究最重要的應該是如何發(fā)現(xiàn)問題，它不僅是研究數(shù)學的起點，也是研究數(shù)學的一條生命線，希爾伯特指出：“只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題的匱乏則預示著它發(fā)展的衰亡和中止”，由于數(shù)學也屬于一門科學分支，顯然提出問題在數(shù)學中的地位可見一斑.希爾伯特還提出數(shù)學問題應具備的三個特點：

1.清晰性和易懂性.清晰性確?？梢杂星逦乃悸?、具體的步驟解決它；易懂性，使得所得的結果真實有意義。

2.困難而又不是無從下手.所選問題的難度應當能夠使科學研究者看得見方向但又必須始于足下的努力才能接近。

3.意義重大

深悟這三個重要特點，在以后的數(shù)學研究中尋找問題時能夠更加精確地把握問題的重要性和可行性，另外，在選題過程中要避免盲目的“直覺”，邦格指出：“直覺的幾種嚴重的局限性，首先，直覺要在一定的條件下才能呈現(xiàn)；其次，直覺有易謬性，因為它的來路不是很合乎推理常規(guī)，所以易錯；再次，直覺只能起啟發(fā)作用，沒有證實功能；最后，直覺往往是粗糙的?！?/p>

綜上所述，在哲學方法論的指導下，今后的工作中要以哲學方法論為指導，找出有意義、更加可行的課題繼續(xù)深入研究，在教學中也適當?shù)匾龑W生學習哲學方法論、數(shù)學史，數(shù)學哲學等有益于拓展學習研究能力的內(nèi)容。