吳 娟 梁娟英 崔 艷

（1.亳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 安徽 亳州 236800；2.淮北師范大學(xué) 安徽 淮北 235000）

哲學(xué)思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

吳 娟1梁娟英2崔 艷1

（1.亳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 安徽 亳州 236800；2.淮北師范大學(xué) 安徽 淮北 235000）

高等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著豐富的哲學(xué)思想，比如有限與無限、量變與質(zhì)變、運(yùn)動(dòng)與靜止、現(xiàn)象與本質(zhì)，特殊與一般以及以退為進(jìn)的思想等。結(jié)合平時(shí)的教學(xué)，探討了哲學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，并取得了非常好的效果。通過從哲學(xué)的角度輔助的講解數(shù)學(xué)，不僅使學(xué)生更深刻的理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，還能培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力，最終達(dá)到知識教育和素質(zhì)教育的目的。

高等數(shù)學(xué)；哲學(xué)；教學(xué)

數(shù)學(xué)課程給人的印象似乎就是介紹公式，講解定理以及復(fù)雜的計(jì)算，數(shù)學(xué)似乎與哲學(xué)并沒有什么關(guān)聯(lián)。然而實(shí)際上這種認(rèn)識并不準(zhǔn)確。數(shù)學(xué)家Bordas指出“沒有數(shù)學(xué)，難以得知哲學(xué)的深度，沒有哲學(xué)，當(dāng)然也難以得知數(shù)學(xué)的深度，兩者相互依存”。恩格斯說：“數(shù)學(xué)是辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式”?？梢钥闯鰯?shù)學(xué)與哲學(xué)始終存在著密切聯(lián)系，比如：導(dǎo)數(shù)與積分，常量與變量，有限與無限，局部與整體，運(yùn)動(dòng)與靜止，近似與精確，現(xiàn)象與本質(zhì)等等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)充分揭示數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的哲學(xué)思想，不是從簡單的數(shù)學(xué)公式介紹與數(shù)學(xué)計(jì)算的層面，而是從哲學(xué)的層面輔助講解數(shù)學(xué)思想，不僅能使學(xué)生對于數(shù)學(xué)的本質(zhì)有更深刻的理解，而且還可以提高學(xué)生的辯證思維能力，培養(yǎng)學(xué)生用辯證唯物主義觀點(diǎn)分析問題，解決問題的能力。本文將結(jié)合自己平時(shí)的教學(xué)，探討哲學(xué)思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

1.有限與無限思想在教學(xué)中的應(yīng)用

初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的研究對象不同，后者研究的是變量、運(yùn)動(dòng)，而前者相對簡單，研究的是常量、靜止。有了運(yùn)動(dòng)和變化，就可以研究行星的運(yùn)行，液體的流動(dòng)，動(dòng)植物的生長，流行病的傳染，利潤的波動(dòng)等。而理解運(yùn)動(dòng)和變化的關(guān)鍵，乃是找到馴服無限的方法[1]。有一個(gè)著名的關(guān)于運(yùn)動(dòng)的悖論，是由希臘哲學(xué)家芝諾提出的：故事說阿基里斯要在100米的歷程中追烏龜，阿基里斯的速度是烏龜速度的10倍。烏龜位于阿基里斯前方10米，比賽開始，當(dāng)阿基里斯跑到烏龜?shù)钠鹋茳c(diǎn)時(shí)，烏龜已經(jīng)向前跑了1米；當(dāng)阿基里斯向前又追趕1米時(shí)，烏龜又向前領(lǐng)先米；阿基里斯向前追趕米時(shí)，烏龜還是領(lǐng)先阿基里斯米，這個(gè)過程一直無限下去，盡管兩者距離越來越近，但阿基里斯永遠(yuǎn)在烏龜后面。這顯然是一個(gè)悖論，而理解這個(gè)悖論，就必須找到處理無限的方法。

上述例子深刻體現(xiàn)出有限與無限的辯證思想，有限和無限既是對立矛盾的又是統(tǒng)一的整體。有限可以表示無限，無限又由有限組成，兩者在一定條件下還可以相互轉(zhuǎn)化。正如恩格斯所說：“無限來自于有限，永久來自于暫時(shí)”。

無限是有限的發(fā)展，那么對于“有限”成立的命題，對于“無限”還會成立嗎？顯然不一定，比如但是（“1∞”不一定等于1）還有不一定是0或1了，這也體現(xiàn)了另一個(gè)哲學(xué)思想即質(zhì)量互變思想。

2.量變與質(zhì)變思想在教學(xué)中的應(yīng)用

極限概念就是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)體現(xiàn)出從量變到質(zhì)變過程的生動(dòng)例子。極限就是“變量無限地向有限的目標(biāo)逼近而產(chǎn)生量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化”[2]。例如，“割圓術(shù)”求圓的面積的原理是：用內(nèi)接正多邊形的面積近似代替圓的面積。當(dāng)正多邊形的邊數(shù)不斷增加，正多邊形的面積就越來越近似于圓的面積，但只要正多邊形的邊數(shù)有限，正多邊形的面積始終是圓面積的近似值，在這里體現(xiàn)了量變；但當(dāng)多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，正多邊形的面積就是圓的面積了，這就是質(zhì)變。還有一元函數(shù)推廣到多元函數(shù)的時(shí)候，自變量個(gè)數(shù)增加了，有的性質(zhì)也會發(fā)生質(zhì)變。在高等數(shù)學(xué)課程中，體現(xiàn)出從量變到質(zhì)變的例子有不少，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生通過質(zhì)量互變哲學(xué)思想，理解概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，這樣就不會犯類似于1∞=1這種想當(dāng)然的錯(cuò)誤了，從而提高了學(xué)習(xí)效果。

3.局部與整體思想在教學(xué)中的應(yīng)用

芝諾的另一個(gè)關(guān)于運(yùn)動(dòng)的悖論是“飛矢不動(dòng)”。即這支箭在某一瞬間可以看作是靜止的，但是如果每一瞬間這支箭都是靜止的，那它又怎么可能運(yùn)動(dòng)呢？這個(gè)悖論在于孤立的考察某一瞬間，它是不動(dòng)的，物體的運(yùn)動(dòng)有其前因后果，即由前后位置的比較反映出來的，有比較才會產(chǎn)生速度[3]。因此在引入導(dǎo)數(shù)的物理背景求物體的t0時(shí)刻瞬時(shí)速度時(shí)，也不能僅僅只考慮t0時(shí)刻，而是從這一時(shí)刻的附近出發(fā)，求該時(shí)刻附近的平均速度，然后讓t→t0，平均速度的極限就是t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度。通過這個(gè)運(yùn)動(dòng)悖論，我們體會到了導(dǎo)數(shù)概念的“局部”性。這就告訴我們不能孤立的、靜態(tài)的考察一個(gè)點(diǎn)，而是用動(dòng)態(tài)的思想，通過考察其附近（局部）的性質(zhì)，反過來研究該點(diǎn)的性質(zhì)。就好像我們在了解一個(gè)人時(shí)，也不能僅僅從這個(gè)人本身出發(fā)，還要看其周圍的環(huán)境，比如他的家庭背景，社會關(guān)系等，這樣才能更全面，更透徹的認(rèn)識一個(gè)人。

微積分核心思想之一就是“局部”，比如導(dǎo)數(shù)，微分，極值，單調(diào)性，凹凸性，拐點(diǎn)等。而連接局部和整體的橋梁就是微分中值定理f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，等式左邊是f的整體性質(zhì)，右邊是局部性質(zhì)，通過研究左邊的局部性質(zhì)，才能更好的了解右邊的整體性質(zhì)。

在定積分的幾何背景，即求曲邊梯形面積的過程中，也充分體現(xiàn)了局部和整體的哲學(xué)思想。求曲邊梯形的面積沒有現(xiàn)成的公式可以用，思路是從局部出發(fā)，轉(zhuǎn)化為小曲邊梯形，再進(jìn)行累積，得到整體曲邊梯形的面積。

dx表示小曲邊梯形的寬，f(x)表示小曲邊梯形不斷變化的高，ds=f(x)dx表示小曲邊梯形的局部面積，就表示大曲邊梯形的整體面積，這種通過微元（局部的觀點(diǎn)）來理解積分，雖然不太嚴(yán)格，但形神兼?zhèn)?，簡易而清晰[3]。比起常規(guī)的“分割，近似，求和，取極限”這種嚴(yán)格的定積分定義，學(xué)生更容易接受上述形象化的解釋，更符合高職學(xué)生的認(rèn)知水平。

總之，局部和整體是對立統(tǒng)一的，整體是由局部構(gòu)成的，通過研究局部的性質(zhì)，更容易理解整體的性質(zhì)，這是高等數(shù)學(xué)有效的數(shù)學(xué)方法。

4.現(xiàn)象和本質(zhì)辯證思想在教學(xué)中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，一定要教會學(xué)生通過現(xiàn)象認(rèn)識本質(zhì)，這樣才能更深刻地了解數(shù)學(xué)的概念。比如，定積分和不定積分，雖然都是積分，但是定積分表示一個(gè)和式的極限，是一個(gè)數(shù)，而不定積分是原函數(shù)的全體。兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系，牛頓和萊布尼茲通過微分中值定理把兩者聯(lián)系起來了，這也標(biāo)志著微積分這門學(xué)科的誕生。

另外，還有導(dǎo)數(shù)，定積分，二重積分，三重積分，曲線積分，曲面積分，無窮級數(shù)本質(zhì)上都是極限，因此都滿足極限的線性性質(zhì)。也說明了極限是微積分這門學(xué)科的主線，把看似零散的知識點(diǎn)都聯(lián)系起來了。

行列式和矩陣是線性代數(shù)中兩個(gè)重要概念，雖然都可以求線性方程組的解，但本質(zhì)不同，行列式是一個(gè)數(shù)，而矩陣是一個(gè)數(shù)表。兩者之間既有本質(zhì)區(qū)別，又有一定聯(lián)系。一方面矩陣的秩是通過行列式定義的，另一方面用行列式求解線性方程組和用矩陣求解線性方程組解的公式是一致的，說明行列式和矩陣在求解線性方程組方面是密切聯(lián)系的。比如：設(shè)線性方程

方法一：克萊姆法則。

方法二：逆矩陣法。

方程組（1）對應(yīng)的矩陣方程為AX=B得出X=A-1B

上面兩種方法雖然不同，但實(shí)際上利用克萊姆法則給出的求解公式（2）與利用逆矩陣法給出的求解公式（3）是統(tǒng)一的[4]。這是因?yàn)楫?dāng)

5.以退為進(jìn)思想在教學(xué)中的應(yīng)用

以退為進(jìn)，退只是表面現(xiàn)象，最終的目的是為了進(jìn)。比如，求曲邊梯形的面積時(shí)，沒有直接的公式可以用，先退一步求其面積的近似值，然后取極限，進(jìn)而求得該面積的精確值。再如求y=xx的導(dǎo)數(shù)時(shí)，冪指函數(shù)y=xx既非冪函數(shù)也非指數(shù)函數(shù)，求導(dǎo)時(shí)也無公式可用。因此，退一步，等式兩邊先取對數(shù)，使之轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)，這樣就能順利求導(dǎo)了。這種以退為進(jìn)的思想方法不僅可以解決數(shù)學(xué)中的問題，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)造性思維能力，訓(xùn)練反常規(guī)思維和抽象思維[5]。

總之，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是哲學(xué)。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，充分展現(xiàn)其蘊(yùn)含的哲學(xué)思想，會起到事半功倍的效果，不僅能使學(xué)生在更高的層面掌握微積分的基本思想，方法，把握其精髓，提高教學(xué)效果，還能培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用辯證的思維分析問題，解決問題的能力，因而這也是一種有效提升學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的基本素養(yǎng)，進(jìn)而提升職業(yè)素養(yǎng)的實(shí)用方法。

[1］齊斯.德福林.數(shù)學(xué)的語言[M].廣西師范大學(xué)出版社,2013.

[2］魏玲等.高等數(shù)學(xué)中的哲學(xué)思想及其在獨(dú)立學(xué)院教學(xué)中的應(yīng)用[J].大學(xué)教育, 2015（09）：133-134.

[3］張奠宙等.情真意切話數(shù)學(xué)[M].科學(xué)出版社,2011.

[4］何立國，施武杰.以線性方程組為中心展開線性代數(shù)課程的教學(xué)[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2009,25(6):203-206.

[5］陳翠芳.談數(shù)學(xué)分析教學(xué)中哲學(xué)思想的滲透[J].山西高等學(xué)校社會科學(xué)學(xué)報(bào)，2001（13）:98-99.

[6］康曉輝.高等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的哲學(xué)思想[J].職業(yè)時(shí)空,2009（09）：134-135.

The application of philosophical thought in teaching and learning of advanced mathematics

Wu Juan1Liang Juan -ying2Cui Yan1
(1.Bo zhou Vocational and Technical College Anhui Bozhou 236800；2.Huaibei Normal University Anhui Huaibei 235000）

Higher Mathematics contains rich philosophy thoughts,such as the limited and the unlimited,the quantitative and qualitative change, motion and motionlessness phenomenon and essence,special and general thoughts and so on.This paper,connecting the ordinary teaching,discusses the application of philosophical thought in mathematical teaching,and achieves very good results.Through explaining maths from the philosophy angle,it not only makes the students more profoundly understand mathematical essence,but also fosters the students’ability of dialectical thinking,ultimately achieving the purpose of knowledge education and quality education.

Higher Mathematics；Philosophy；Teaching

B014

A

2095-7327（2017）-04-0106-03

職業(yè)素養(yǎng)視角下開展高職數(shù)學(xué)文化教育的研究與實(shí)踐—亳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院院級課題，課題編號為2015bzjyxm05。

“安徽省高等學(xué)校省級質(zhì)量工程重點(diǎn)項(xiàng)目”“職業(yè)素養(yǎng)視角下獨(dú)立學(xué)院數(shù)學(xué)文化教育的研究”，基金編號為2016jyxm0936。

吳娟（1982—），女，安徽亳州人，就職于安徽亳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，講師，碩士研究生，研究方向?yàn)榉中螏缀?、?shù)學(xué)教育。