袁園，蔡嘯，郭蓓蓓

（中國洛陽電子裝備試驗(yàn)中心，河南洛陽471003）

基于熵最小化的LFM信號調(diào)頻率估計算法

袁園，蔡嘯，郭蓓蓓

（中國洛陽電子裝備試驗(yàn)中心，河南洛陽471003）

利用LFM信號頻譜的熵隨著調(diào)頻率減小而降低的性質(zhì)，提出了一種基于頻譜熵最小化的LFM信號調(diào)頻率的估計SEM方法。建立參數(shù)待估的相位補(bǔ)償因子，通過搜索得到使得補(bǔ)償后信號頻譜熵全局最小的調(diào)頻率估值。在搜索過程中，采用兩級搜索策略，并引入牛頓迭代算法，有效降低了算法復(fù)雜度。理論推導(dǎo)和仿真結(jié)果證明，該算法為有偏算法，估計偏差量與初始頻率相關(guān)，理論估計方差比較CR下界低12dB。對雷達(dá)實(shí)測回波信號進(jìn)行驗(yàn)證，與離散多項式變換算法相比發(fā)現(xiàn)，提出算法估計的魯棒性更好，并具有較高的測速精度，具有一定的應(yīng)用價值。

LFM信號，最小熵，有偏估計，Cramer-Rao下界

0 引言

線性調(diào)頻（Linear Frequency Modulation，LFM）信號以其良好的時域壓縮特性和大的發(fā)射能量等諸多優(yōu)點(diǎn)，在雷達(dá)、聲吶、生物醫(yī)學(xué)及通信工程等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。LFM信號參數(shù)估計問題，特別是調(diào)頻率的估計問題一直是信號處理領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題。

LFM信號的調(diào)頻率估計方法中，最大似然方法（Maximum Likelihood Estimator，MLE）［1］較早提出，MLE是一種漸進(jìn)無偏的估計方法，在較高信噪比條件下，其估計性能可以達(dá)到Cramer-Rao（CR）下界，但在估計過程中，需要進(jìn)行二維（頻率-調(diào)頻率維）搜索，運(yùn)算量較大。目前，學(xué)者們提出了很多LFM信號調(diào)頻率估計方法。文獻(xiàn)［2］中提出了離散多項式變換（Discrete Polynomial Phase Transform，DPT）法，DPT算法是MLE的改進(jìn)算法，并且DPT算法估計LFM信號調(diào)頻率僅需一次向量復(fù)乘、一次FFT和一次頻譜最大值的搜索，計算復(fù)雜度較MLE大大降低。Gabor展開［3］和短時傅里葉變換（Short Time Fourier Transform，STFT）均基于Fourier變換的時頻分析方法，通過分析LFM信號在時頻平面的分布特性估計調(diào)頻率，此類采用時域加窗的方式提高時間分辨率，但會降低頻域分辨率。Wigner-Ville變換［4-5］是二階的時頻處理方法，在能量聚集方面，Wigner-Ville變換性能最優(yōu)，但在多分量信號的條件下，會產(chǎn)生嚴(yán)重的交叉項干擾問題。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓‥mpirical Mode Decomposition，EMD）［6］方法能夠在多分量信號中有效地提取不同分量的信號，提高信號信噪比，但由于算法的特殊性，對于采樣率、估計性能等方面沒有明確的理論分析和指導(dǎo)準(zhǔn)則。目前，大多數(shù)調(diào)頻率估計方法都是基于信號的時域特性或者時頻特性開展的。

與傳統(tǒng)方法不同，本文以LFM信號頻譜熵的特性為研究對象，提出了一種基于最小熵準(zhǔn)則的調(diào)頻率估計算法。

1 SEM算法基本原理

本節(jié)將著重介紹SEM算法估計信號調(diào)頻率的基本原理。

線性調(diào)頻信號為

其中，b0為信號幅度，θ0為初相位，f0為信號頻率，為時間寬度，α0為信號調(diào)頻率，不失一般性，令α0＞0，θ0=0，對信號做傅里葉變換，得

式中

在信號處理中，熵可以用來描述序列分布的平緩程度，序列的熵越大，說明分布越平緩，反之則越尖銳。對于離散LFM信號

式中，Ts為采樣時間間隔，N為信號采樣點(diǎn)數(shù)，其離散傅里葉變換結(jié)果為S（k），S（k）的熵的定義為［7］

圖1表示信號調(diào)頻率和頻譜熵的關(guān)系曲線，由圖中可以看出的調(diào)頻率越趨近于0，熵越小，當(dāng)處于零域時，信號頻譜的熵達(dá)到最小。這說明，頻譜熵的大小對于調(diào)頻率的大小具有明顯的指示作用，因此，可以根據(jù)信號頻譜熵的變化趨勢來估計調(diào)頻率。

圖1 調(diào)頻率與信號頻譜的熵的關(guān)系曲線

2 SEM算法流程

2.1 建立相位補(bǔ)償因子

根據(jù)信號調(diào)頻率與頻譜熵的關(guān)系，利用熵最小化的方法對信號的調(diào)頻率進(jìn)行估計。在估計過程中，首先建立相位補(bǔ)償因子

2.2 的估值搜索

為了得到全局最小熵，本文采用一維搜索的方

為了平衡估計精度和計算復(fù)雜度，本文采用兩級搜索的策略:

其中，

仿真分析表明，選取合適的搜索步長λ，式（10）～式（12）描述的迭代搜索可以在少于5次的迭代之后使得熵達(dá)到全局最優(yōu)。由于牛頓迭代算法對于初值比較敏感，而初值的選擇與掃描點(diǎn)數(shù)M或者步長λ直接相關(guān)，合理地選擇掃描間隔和掃描范圍，可以充分發(fā)揮牛頓迭代算法收斂的有效性。

本文提出的SEM算法所需的計算量為頻譜熵的掃描搜索和迭代搜索，其中，第1步中的掃描搜索，假設(shè)掃描點(diǎn)數(shù)為M，信號長度為N，相應(yīng)的計算復(fù)雜度為O（MN log2N），第2步中每次迭代搜索需要2次FFT和2N次復(fù)乘，計算復(fù)雜度為O（2N log2N），假設(shè)迭代次數(shù)為K，則迭代搜索的計算復(fù)雜度為O（2KN log2N），一般有K＜＜M，因此，EM算法的計算復(fù)雜度為O（MN log2N），相比于一般的時頻分析方法（復(fù)雜度一般為O（N3）），本文算法的復(fù)雜度較小。

為了進(jìn)一步了解SEM算法的估計性能，下一節(jié)將從估計的統(tǒng)計特性出發(fā)，推導(dǎo)該算法估計的理論均值和理論方差。

3 SEM算法統(tǒng)計特性分析

本節(jié)討論SEM估計方法在高斯白噪聲條件下的估計性能，即SEM估計的理論均值和理論方差。為了給出嚴(yán)格準(zhǔn)確的推導(dǎo)過程，采用一階擾動法進(jìn)行分析。

在理想非噪聲條件下，式（9）的離散傅里葉變換為Z（k），其頻譜熵對求偏導(dǎo)，有

由式（18）可知，在搜索過程中，熵存在多個極小點(diǎn)，如圖2所示，并且頻譜熵極小點(diǎn)具有周期性，且極小點(diǎn)附近的頻譜熵函數(shù)具有凸函數(shù)特性，設(shè)置合理的搜索間隔，EM算法的粗掃描搜索得到的初值就會落入具有凸函數(shù)特性的最小熵對應(yīng)的波谷中，再利用牛頓迭代算法就可以較快地收斂到全局最小熵點(diǎn)。

圖2 熵的多極小值點(diǎn)示意圖

特別地，對應(yīng)全局最小熵的調(diào)頻率估計為

式（19）說明，EM算法對于調(diào)頻率的估計是有偏估計，這一偏差與δω0直接相關(guān)。下面為了簡化EM算法估計的理論方差推導(dǎo)的復(fù)雜度，不失一般性，設(shè)ω0=0，此時，在噪聲條件下，線性調(diào)頻信號的表達(dá)式為

其中，w（n）為復(fù)高斯白噪聲均值為0，方差為σ02，定義信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）為

將信號r（n）與相位補(bǔ)償因子相乘得到

其中

s*（n）為s（n）的共軛。

根據(jù)一階擾動法，定義頻譜熵的誤差函數(shù)為

其次，對于式（27）的分母有

此時，根據(jù)誤差的統(tǒng)計特性，估計的均值誤差和均方根誤差的理論表示為:

將CR下界對本文估計方法的均方誤差進(jìn)行歸一化，可得歸一化系數(shù)為

說明SEM估計方法的理論方差要小于CR下界，在估計性能上更穩(wěn)定，魯棒性更好。綜上，SEM算法的調(diào)頻率估計為有偏估計，估計誤差δα的統(tǒng)計特性為:

4 仿真結(jié)果

為了說明上節(jié)關(guān)于SEM算法有偏性以及估計方差的理論結(jié)果的正確性以及算法對于實(shí)際應(yīng)用的有效性，本節(jié)將SEM算法分別應(yīng)用到仿真環(huán)境和實(shí)測場景條件下加以驗(yàn)證。仿真條件設(shè)置如下:采樣頻率fs=300 Hz，信號時間寬度為1 s，初始頻率分別為10 Hz、10.05 Hz、10.1 Hz和10.2 Hz（δf分別為0 Hz、0.05 Hz、0.1 Hz和0.2 Hz），調(diào)頻率為100 Hz/s。本文將提出的方法與調(diào)頻率估計方法中經(jīng)典的DPT算法進(jìn)行比較。DPT是無偏估計算法，其均方根誤差在大信噪比條件下逼近CR下界，其均方根誤差的歸一化系數(shù)為［2］

圖3 誤差曲線圖

圖3（a）表示4種δf條件下，SEM算法的估計均方誤差曲線。由圖中可以看出，在信噪比較高時，δf的不同直接影響EM算法的估計性能，頻偏越小，EM算法的均方誤差就越低，當(dāng)頻偏為0時，EM算法的估計誤差滿足理論方差式（36），說明了上節(jié)理論推導(dǎo)的有效性。圖3（b）表示在不同信噪比下，兩種方法對信號初始頻率為10 Hz，δf=0的調(diào)頻率估計的均方根誤差曲線。可以看到，當(dāng)信噪比提升至-2 dB時，本文的EM算法估計的均方根誤差就達(dá)到了理論值，并且對于理論下界有著很好的逼近程度。并且，EM算法的估計均方誤差要比DPT算法的估計誤差低12 dB，也與之前的理論推導(dǎo)相符。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證方法的有效性，將本文方法運(yùn)用到某C波段脈沖雷達(dá)觀測高動態(tài)目標(biāo)主動段的場景中。高動態(tài)目標(biāo)的雷達(dá)回波信號可以建模為LFM信號。將DPT算法和本文提出的EM算法應(yīng)用到脈沖雷達(dá)回波信號的徑向加速度估計中。圖4表示了兩種算法估計目標(biāo)徑向加速度的誤差曲線，經(jīng)過統(tǒng)計，EM算法的估計均方根誤差為0.21 m/s2，DPT算法的均方根誤差為2.41 m/s2。從圖中可以看到，在部分段落，兩種算法都能夠?qū)崿F(xiàn)較好精度的徑向加速度估計結(jié)果。但由于實(shí)際環(huán)境空間可能存在復(fù)雜噪聲、雜波或者其他干擾目標(biāo)，回波信號情況復(fù)雜，此時DPT算法估計的徑向加速度估值誤差會因復(fù)雜成分的引入而發(fā)生明顯的跳變，而EM估計算法仍可以在整個測量段落保持在穩(wěn)定的估計精度，說明本文提出的EM算法估計的魯棒性和穩(wěn)定性。

圖4 兩種算法的徑向加速度估計誤差曲線，計算段落為目標(biāo)飛行相對時72 s～80 s，其中左側(cè)圖代表EM算法的估計誤差，右側(cè)圖代表DPT算法的估計誤差

5 結(jié)論

根據(jù)頻譜熵可以有效地評價頻譜的展寬程度，本文提出了一種基于最小熵準(zhǔn)則的LFM信號調(diào)頻率的參數(shù)估計方法。算法建立相位補(bǔ)償因子對信號進(jìn)行相位補(bǔ)償濾波，通過搜索的方法得到使得濾波后信號頻譜熵最小的調(diào)頻率估計。在算法實(shí)現(xiàn)上，將牛頓迭代算法引入最小熵的搜索過程，在不降低估計精度的前提下，改善了算法的計算復(fù)雜度，簡化了計算過程。本文還給出了完善的估計誤差的論文分析，并發(fā)現(xiàn)SEM算法為有偏估計，偏差量與頻域分辨率的分?jǐn)?shù)部分為正比例反比例關(guān)系，而理論估計方差較CR下界低約12 dB，仿真結(jié)果證明了理論推導(dǎo)的正確性。利用實(shí)測數(shù)據(jù)對本文提出的EM算法進(jìn)行驗(yàn)證，與DPT算法比較發(fā)現(xiàn)，SEM算法的估計性能更穩(wěn)定，對于雷達(dá)實(shí)際接收回波估計的魯棒性更好，后續(xù)將繼續(xù)研究SEM算法估計偏差的修正方法，提高算法估計的準(zhǔn)度。

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Estimation Method of LFM Signal Chirp Rate Based on Entropy Minimization

YUAN Yuan，CAI Xiao，GUO Bei-bei
（Luoyang Electronic Equipment Testing Center，Luoyang 471003，China）

Based on the fact that the spectrum entropy decreases with the chirp rate being smaller，this paper proposes a spectrum entropy minimization（SEM）based chirp rate estimation method.A phase filter is established and the chirp rate estimation is accomplished via minimization of the spectrum entropy.In this process，a two-step search strategy is utilized.In step one，a large searching step is chosen to achieve the coarse estimation of the parameter and then Newton iterative search algorithm is used in step two to estimation the chirp rate accurately.Theoretical derivation shows that the proposed algorithm is biased，which is related to the fractional part of the initial frequency and the variance is about 12dB lower than Cramer-Rao lower bound.Simulation result proves the correctness of the derivation and the comparison with classic discrete polynomial phase transform is made.

LFM signal，minimum entropy，biased estimation，cramer-rao lower bound

TN911.7

A

1002-0640（2017）04-0091-05

2016-03-25

2016-04-10

軍隊預(yù)研基金資助項目（51333030103）

袁園（1990-），女，河南洛陽人，助理工程師。研究方向：通信對抗。