王 樂，冷德新，蔡毅鵬

（中國運載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

帶有分支梁的導彈模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩計算方法

王 樂，冷德新，蔡毅鵬

（中國運載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩是導彈橫向動態(tài)載荷計算及識別的重要基礎(chǔ)，完善了帶有分支梁的導彈模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩計算方法。首先從剪力和彎矩的基本定義出發(fā)，推導了梁-質(zhì)量塊有限元模型主梁和分支梁模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩計算方法，然后采用模態(tài)疊加方法計算橫向靜力作用下導彈的飛行載荷，并與靜力學計算結(jié)果進行對比。結(jié)果表明，采用模態(tài)剪力疊加和模態(tài)彎矩疊加計算結(jié)果隨著模態(tài)數(shù)量的增加逐漸逼近靜力學計算結(jié)果，當考慮所有的模態(tài)時，計算結(jié)果與靜力學計算結(jié)果完全相同，驗證了模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩計算方法的正確性。

主梁；分支梁；模態(tài)；模態(tài)剪力；模態(tài)彎矩

0 引 言

載荷設(shè)計是導彈總體設(shè)計的重要內(nèi)容，其主要任務(wù)是根據(jù)作用于導彈的外力給出結(jié)構(gòu)內(nèi)部的剪力、彎矩和軸力等為結(jié)構(gòu)設(shè)計和強度校核提供依據(jù)。載荷設(shè)計中的靜力學方法是工程設(shè)計中廣泛使用的方法[1]，研究外力作用周期較長情況下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。例如計算導彈橫向飛行載荷時，首先根據(jù)作用于導彈上的外力計算導彈整體的平移和轉(zhuǎn)動加速度，然后依據(jù)外力和慣性力平衡原理，用截面法得到各個截面的剪力和彎矩。文獻[2]指出，靜力理論忽略了結(jié)構(gòu)本身的振動、變形性質(zhì)，沒有考慮結(jié)構(gòu)的動力特性。在某些情況下，如計算潛射導彈出水過程中由空泡潰滅產(chǎn)生的橫向沖擊載荷時[3]，靜力學方法是不適用的，必須根據(jù)結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)研究導彈的內(nèi)力，模態(tài)疊加法是其中最重要的方法，該方法在出水過程橫向載荷設(shè)計和飛行載荷識別中得到了廣泛應(yīng)用[2,4,5]。

采用模態(tài)疊加法計算橫向載荷時，需要計算各階模態(tài)的模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩，然后將模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩用相應(yīng)的模態(tài)坐標進行線性疊加，就得到動態(tài)外力作用下真實的結(jié)構(gòu)內(nèi)力。梁-質(zhì)量塊有限元模型是工程設(shè)計中常用的動力學模型，在計算模態(tài)彎矩時，一些文獻忽略了節(jié)點上轉(zhuǎn)動慣量的影響[6～9]，此外，分支梁模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩的計算方法還需進一步完善。

為此，本文從剪力和彎矩的基本定義出發(fā)，推導了梁-質(zhì)量塊有限元模型主梁和分支梁模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩計算方法，考慮了節(jié)點轉(zhuǎn)動慣量對模態(tài)彎矩的影響。為了檢驗本文計算方法的正確性，采用模態(tài)疊加方法計算了橫向靜力作用下導彈的飛行載荷，并與靜力學計算結(jié)果進行對比。結(jié)果表明，采用模態(tài)剪力疊加和模態(tài)彎矩疊加計算結(jié)果隨著模態(tài)數(shù)量的增加逐漸逼近靜力學計算結(jié)果，當考慮所有的模態(tài)時，計算結(jié)果與靜力學計算結(jié)果完全相同。本文帶有分支梁的導彈模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩計算方法對于飛行載荷識別、動載荷計算具有一定的參考價值。

1 主梁的模態(tài)剪力、模態(tài)彎矩計算方法

設(shè)主梁-質(zhì)量塊有限元模型一共有n個截面，每個截面上有一個線位移和角位移，并且有集中質(zhì)量mi和轉(zhuǎn)動慣量Ii，每個節(jié)點上作用的集中力和集中力矩分別為Fi和FMi，如圖1所示。

圖1中共有2n個自由度，由總質(zhì)量矩陣M和總剛度矩陣K可得模型的頻率和振型，共有2n階模態(tài)，其中前兩階為剛體模態(tài)，對任意一階振型和頻率，有：

則：

式中φ為各階振型組成的矩陣；根據(jù)模態(tài)疊加原理，位移可以分解為 =Xφq，則：

式（3）進一步可寫為

式中為廣義坐標。

由于本文討論的是集中質(zhì)量系統(tǒng)，則總質(zhì)量矩陣M為對角矩陣，因此有：

1.1 模態(tài)剪力

如果不考慮阻尼力，導彈的運動方程為

式中F為各個節(jié)點外力所構(gòu)成的列向量。本文采用材料力學中剪力和彎矩的符號定義，由力的平衡方程可得第j截面的剪力為

對于有2n個元素的列向量A，定義算子，使得：

則：

由式（4）可得：

由式（5）可得：

交換求和順序可得：

則第j個截面的第i階模態(tài)剪力為

1.2 模態(tài)彎矩

根據(jù)力矩平衡方程可得第j個截面的彎矩可寫為

對于有2n個元素的列向量A，定義算子，使得：

定義2 2×nn的對角矩陣：

則，

由式（4）可得：

由式（5）可得：

交換求和順序可得：

第j個截面的第i階模態(tài)彎矩為

2 分支梁的模態(tài)剪力、模態(tài)彎矩計算方法

圖2為有一端固支，另一端自由的分支梁。

按照主梁模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩的計算方法可得分支梁各位置左截面的模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩為

3 算 例

為了驗證本文帶有分支梁的導彈模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩計算方法的正確性，將計算結(jié)果與靜力學結(jié)果對比?，F(xiàn)有某導彈作用在主梁上各節(jié)點的橫向外力如圖3所示。各節(jié)點無外力矩，分支梁無任何外力。

在靜力學計算中不考慮導彈的初始位移和速度，各階模態(tài)的廣義坐標為

式中為第i階模態(tài)的廣義力；為第i階模態(tài)的廣義剛度。

以平面梁單元建立導彈有限元模型，主梁上有49個節(jié)點，分支梁有6個節(jié)點，主梁和分支梁共用1個節(jié)點，共有108個自由度，前兩階模態(tài)為剛體模態(tài)，導彈的前三階彈性模態(tài)頻率如表1所示，振型如圖4所示。

表1 前三階彈性模態(tài)頻率

按式（22）的方法計算彈體各階模態(tài)的廣義坐標，分別采用靜力學方法和模態(tài)剪力疊加和模態(tài)彎矩疊加的方法計算飛行載荷。計算結(jié)果如圖5～圖12所示。

由圖5～圖12可知，當只考慮一階彈性模態(tài)時，模態(tài)剪力疊加結(jié)果和模態(tài)彎矩疊加結(jié)果與靜力學計算結(jié)果相比相差較大；隨著模態(tài)數(shù)量的增加，計算結(jié)果逐漸逼近靜力學計算結(jié)果；當考慮所有的模態(tài)時，計算結(jié)果與靜力學結(jié)果完全相同。

當考慮所有的模態(tài)時，采用以上兩種方法計算的分支梁載荷對比結(jié)果如表2所示。

表2 分支梁載荷對比

由表2可知，采用兩種方法計算的分支梁載荷結(jié)果完全一致。

4 結(jié) 論

本文從剪力和彎矩的基本定義出發(fā)，推導了帶有分支梁導彈的模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩計算方法，考慮了節(jié)點轉(zhuǎn)動慣量對模態(tài)彎矩的影響，給出了主梁和分支梁模態(tài)剪力和模態(tài)彎矩的計算公式。為驗證計算方法的正確性，采用模態(tài)疊加方法計算了橫向靜力作用下導彈的飛行載荷，并與靜力學計算結(jié)果進行對比。結(jié)果表明，采用模態(tài)剪力疊加和模態(tài)彎矩疊加的計算結(jié)果隨著模態(tài)數(shù)量的增加逐漸逼近靜力學結(jié)果；當考慮所有的模態(tài)時，計算結(jié)果與靜力學計算結(jié)果完全相同。

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A Method of Obtaining Modal Shear Forces and Modal Bending Moments of the Missile with Branch Beam

Wang Le, Leng De-xin, Cai Yi-peng
(China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076)

Modal shear force and modal bending moment are the foundation of the calculation and identification of transverse dynamic load, the method of obtaining modal shear forces and modal bending moments of the missile with branch beam was improved. First, the modal shear forces and modal bending moments of the major beam and branch beam in the Beam-Mass finite element model were deduced from the definition of shear force and bending moment. Then, the flight loads of a missile under transverse static loads were calculated by mode superposition method, the results were compared to those of statics. It’s showed that the results of mode superposition method gradually approach those of statics with the numbers of modes, they are the same when all the modes are included, so the method of obtaining modal shear forces and modal bending moments is verified.

Major beam; Branch beam; Mode; Modal shear force; Modal bending moment

O327

A

1004-7182(2017)02-0020-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170205

2015-07-03；

2016-01-15

王 樂（1984-），男，高級工程師，主要研究方向為載荷與環(huán)境設(shè)計