張福玲

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 渭南 714099)

廣義Fibonacci數(shù)列兩項乘積倒數(shù)的有限和

張福玲

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 渭南 714099)

廣義Fibonacci數(shù)列; 倒數(shù); 有限和

{Fk}數(shù)列滿足二次線性的遞推關(guān)系Fk+2=Fk+1+Fk，F(xiàn)0=0，F(xiàn)1=1.近幾年，許多學(xué)者對此數(shù)列的倒數(shù)和進(jìn)行了研究，并且取得了一些研究成果.文獻(xiàn)[1]研究了Fibonacci數(shù)列倒數(shù)的無限和

文獻(xiàn)[2]討論了Fibonacci數(shù)列倒數(shù)的有限和

在文獻(xiàn)[3]中證明了Fibonacci數(shù)列偶數(shù)項和奇數(shù)項倒數(shù)的有限和

在文獻(xiàn)[4]中得出了Fibonacci數(shù)列兩項乘積倒數(shù)的有限和

在文獻(xiàn)[5]中給出了Fibonacci數(shù)列的子數(shù)列{F3k}有限和

文獻(xiàn)[6]將廣義的Fibonacci定義為

Gn+2=aGn+1+Gnn≥0,G0=0,G1=1，

1 GkGk+1倒數(shù)和

1.1 有關(guān)引理及證明 根據(jù)廣義的Fibonacci定義可得{Gn}的通項公式為

由{Gn}的通項公式可得引理1～2.

引理1GmGn-GpGq=(-1)m+1Gn-pGn-q，(n>max{p,q},m+n=p+q).

引理2GmGn+Gm+1Gn+1=Gm+n+1.

證明 由引理2，若令m=n可得.

引理4Gn-1Gn+1+GnGn+2=G2n+1.

證明 由引理2，令m=n-1,n=n+1可得.

證明 由引理3可得

所以

引理6Gn+1Gn+2-Gn-1Gn=aG2n+1.

證明 由引理4和廣義的Fibonacci遞推公式可得

G2n+1=Gn-1Gn+1+GnGn+2,

那么

aG2n+1=aGn-1Gn+1+aGnGn+2=(Gn+2-Gn)Gn-1+(Gn+1-Gn-1)Gn+2=Gn+1Gn+2-GnGn-1.

證明 由引理3可得

2 定理及證明

證明 根據(jù)引理1

(1)

所以

(2)

那么

(3)

1)n為偶數(shù)

(4)

對于任意的k有

(5)

那么

所以

(6)

由式(4)和(6)可得，當(dāng)n為偶數(shù)時

即當(dāng)n為偶數(shù)時

(7)

2)n為奇數(shù)

對于任意的k有

(8)

所以

因此可得

(9)

根據(jù)式(3)和引理7，

由引理2和引理3可得

(10)

由式(9)和(10)可得，當(dāng)n為奇數(shù)時

所以當(dāng)n為奇數(shù)時

(11)

由式(7)和(11)可知定理1成立.

證明 1)n為偶數(shù)

由式(1)可知

所以

即

(12)

由式(5)可知

由此可得

即

(13)

由式(12)和(13)可知當(dāng)n為偶數(shù)時

(14)

2)n為奇數(shù)

由式(1)可知

所以

即

(15)

由式(8)可知

由此可得

即

(16)

由式(15)和(16)可知當(dāng)為奇數(shù)時

(17)

由式(14)和(17)可知推論1成立.

3 GkGk+1交錯項的倒數(shù)和

3.1 有關(guān)引理及證明

證明 由引理1可得

同理可得 .

證明 由引理1 可得

同理可得.

證明 由引理1，引理2和引理3可得

同理可得 .

3.2 定理及證明

證明 引理1可得

那么

所以

(18)

1)n為偶數(shù)

由引理8和引理1可得，

根據(jù)引理10有

由引理12

根據(jù)引理9有

(20)

由式(18) ，(19)和(20)可得，若n為偶數(shù)

即若n為偶數(shù)

(21)

2)n為奇數(shù)

由引理8和引理1可得，

由引理11可得

(22)

由引理13有

所以由引理9可得

即

(23)

由式(18) ，(22)和(23) 可得若n為奇數(shù)

即若為奇數(shù)

由式(21)和(24)可知定理2成立.

[1]OhtsukaH,NakamuraS.OnthesumofreciprocalFibonaccinumbers[J].FibonacciQuart，2012(2):153-159.

[2] 吳振剛，王婷婷.關(guān)于斐波那契數(shù)列倒數(shù)的有限和[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)漢文版,2011，40(2):125-128.

[3]KomatsuT,LaohakosolV.Onthesumofreciprocalofnumberssatisfyingarecurrencerelationoforders[J].JournalofIntegerSequence,2010,13(5):8-16.

[4]YeXL,ZhangZZ.OnsomeformulasofthereciprocalsumandthealternatingsumforgeneralizedFibonaccinumbers[J].AdvancedStudiesinContemporaryMathematics,2005,10(2):143-148.

[5]ZhangGJ.TheinfinitesumofreciprocaloftheFibonaccinumbers[J].JournalofMathematicalResearch&Exposition,2011,31(6):1 030-1 034.

[6]HollidayS,KomatsuT.OntheSumofReciprocalGeneralizedFibonacciNumbers[J].Integers，2011,11(4)：441-455.

Finite Sums of Reciprocal of the Products of Two Generalized Fibonacci Number

Zhang Fuling

(College of Mathematics and physics, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

generalized Fibonacci numbers; reciprocal; finite sum

2016-11-01

陜西省教育廳科學(xué)研究計劃專項項目(2015JK1262);渭南師范學(xué)院科研基金項目(14YKP008);渭南師范學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)重點學(xué)科資助

張福玲(1970-),陜西臨渭區(qū)人，副教授,碩士,研究方向：數(shù)論研究，E-mail:fuling-zhang@163.com

1004-1729(2017)01-0015-07

O

ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2017.0004