寧顯斌

摘 要：在傳感器實(shí)驗(yàn)中，常常需要由一些離散的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)組擬合出該傳感器的輸入輸出特性曲線。線性或非線性傳感器實(shí)驗(yàn)曲線的擬合，如采用簡(jiǎn)單的擬合方法來(lái)處理，會(huì)使得擬合出來(lái)的曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的誤差不理想，該文采用最小二乘法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。以MATLAB對(duì)傳感器輸入輸出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，應(yīng)用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，選擇合適的擬合函數(shù)使得其誤差最小。

關(guān)鍵詞：最小二乘法 傳感器實(shí)驗(yàn) 曲線擬合

中圖分類(lèi)號(hào)：TP212 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2016）11（c）-0014-02

在傳感器產(chǎn)品試驗(yàn)中，往往需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得出輸入輸出之間的關(guān)系，即輸入與輸出之間的標(biāo)定曲線。對(duì)于線性傳感器，其輸入輸出特性曲線接近直線；非線性傳感器，其輸入輸出特性曲線通常呈現(xiàn)不同的非線性。不論線性或非線性傳感器，根據(jù)約定的非線性度，總能在試驗(yàn)數(shù)據(jù)中找到某一區(qū)域，使得其輸入輸出特性呈線性。而某些傳感器在應(yīng)用過(guò)程中，需要求得其完整的標(biāo)定曲線。因此，根據(jù)試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行傳感器特性的標(biāo)定成為了產(chǎn)品試驗(yàn)的必要步驟。最小二乘法正好可以很好地處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出輸入輸出特性曲線。該方法的主要優(yōu)點(diǎn)在于誤差最小。

1 最小二乘法的原理

圖1為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)折線圖與擬合曲線。已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（Xi，Yi）（i=1，2，…，n），設(shè)需擬合的直線為y=f（x）=kx+b，需確定的直線方程參數(shù)為k和b。根據(jù)最小二乘法，構(gòu)建函數(shù)Φ（k，b），使得擬合出來(lái)的直線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差最小。即

2 MATLAB中進(jìn)行曲線擬合

對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的最簡(jiǎn)單方法是將其作為直線來(lái)看待。而在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，通常實(shí)驗(yàn)結(jié)果就是這樣的一組離散的數(shù)值，對(duì)這樣的數(shù)組，用直線對(duì)其進(jìn)行建模，稱(chēng)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性回歸。在MATLAB中有內(nèi)置的擬合函數(shù)，可以用來(lái)對(duì)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。這種建模僅在所收集的數(shù)據(jù)范圍內(nèi)是可行的。如果參數(shù)y隨x的變化規(guī)律是未知的，那么，數(shù)據(jù)擬合方程就不能預(yù)測(cè)所收集數(shù)據(jù)范圍以外的情況。線性回歸在MATLAB中用函數(shù)polyfit實(shí)現(xiàn)，該函數(shù)要求3個(gè)輸入內(nèi)容：x值矢量、y值矢量和一個(gè)用來(lái)表示擬合多項(xiàng)式結(jié)束的整數(shù)。

3 MATLAB確定實(shí)驗(yàn)曲線

當(dāng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在有效量程范圍內(nèi)呈現(xiàn)出明顯的非線性，即該傳感器為非線性傳感器時(shí)，需要確定該傳感器的輸入輸出特性曲線，此時(shí)應(yīng)用一階線性回歸的辦法來(lái)擬合曲線是明顯不合適的。因此可以尋求多項(xiàng)式回歸進(jìn)行擬合。

衡量擬合程度的效果用以下方法：

其中為樣本值與擬合曲線在該樣本點(diǎn)的函數(shù)值之差。Δ稱(chēng)為誤差的平方和，該值越小，則實(shí)驗(yàn)樣本值與擬合曲線的重合性越好。以下是光纖位移傳感器的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理。

（1）四階回歸（如圖2）。

誤差的平方和為：3.0811e+004

（2）五階回歸（如圖3）。

誤差的平方和為：2.4989e+004。

由以上擬合曲線的誤差平方和的情況看，曲線的多項(xiàng)式回歸呈現(xiàn)這樣的趨勢(shì)：方程中的項(xiàng)數(shù)越多，擬合效果越好，至少實(shí)際樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離減小。

4 結(jié)論

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理過(guò)程，發(fā)現(xiàn)利用多項(xiàng)式回歸進(jìn)行曲線的擬合，多項(xiàng)式的階數(shù)越高則其誤差越小。最小二乘法是能使擬合出來(lái)的曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差最小的一種實(shí)用的方法。總結(jié)以上得到曲線擬合的基本方法。

（1）確定實(shí)驗(yàn)曲線的特性，如直線特性或非直線特性。

（2）確定試驗(yàn)曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)特性，如冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)。

（3）選用合適的曲線擬合工具，如MATLAB。

（4）對(duì)比擬合結(jié)果，根據(jù)擬合的性能指標(biāo)最終確定擬合曲線的函數(shù)解析式。

參考文獻(xiàn)

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