劉瑋

【摘要】數(shù)學(xué)是面向“思”的學(xué)科，思維是數(shù)學(xué)的靈魂。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，營設(shè)發(fā)散思維空間，整體建構(gòu)思維過程，呈現(xiàn)問題思辨經(jīng)歷，養(yǎng)成思疑證惑的習(xí)慣，是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的本質(zhì)要求，也是在學(xué)科教學(xué)中培養(yǎng)理性思維、批判質(zhì)疑等核心素養(yǎng)的應(yīng)然選擇。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思考 核心素養(yǎng) 思維 教學(xué)策略

一道數(shù)學(xué)題教學(xué)的憂思

這是一道圖表題，其要求是讓學(xué)生根據(jù)圖表中蘊(yùn)含的信息，分析出三位工人師傅工作效率的高低。在實(shí)際教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生們多采用筆算的方式去解答這道題，甚至有好多人大聲喊起來：“除不盡，這道題沒法做！”這道題真的沒法做嗎？這道題真的需要計(jì)算才能解答嗎？

答案自然不是這樣的。如果兒童養(yǎng)成了良好的思維品質(zhì)，解答這樣的題是比較容易的。在這種教學(xué)場景背后，我們需要反思我們的數(shù)學(xué)教學(xué)：是什么原因讓學(xué)生們在遇到問題時(shí)忘卻了思考？是什么禁錮了他們思想的大腦？是什么遮蔽了他們發(fā)現(xiàn)的眼睛？正如蘇霍姆林斯基所說，我們的教學(xué)正處在一種可怕的危險(xiǎn)之中——這就是學(xué)生在學(xué)習(xí)中已不會(huì)思考，他們坐在教室里日復(fù)一日，月復(fù)一月，年復(fù)一年，卻無所思索。數(shù)學(xué)思考的缺失，已使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)失去了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征。

一、偏離與缺省：兒童數(shù)學(xué)思考的教學(xué)現(xiàn)狀

1.教學(xué)方式簡單化——偏重于“告訴”，缺省了知識(shí)形成的過程經(jīng)歷

以“圓的面積”教學(xué)為例，一些教師通常認(rèn)為只要讓學(xué)生知道求圓的面積公式即完成了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。于是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了圓的各部分名稱的基礎(chǔ)上，便采用“告訴”的方式，讓學(xué)生知曉并熟記求圓的面積計(jì)算公式，進(jìn)而讓學(xué)生直接運(yùn)用公式去求一些圓的面積。

這樣的教學(xué)過程，看似在快捷中完成了教學(xué)任務(wù)，學(xué)生掌握了圓的面積計(jì)算公式，并能運(yùn)用公式去解答一些問題。但究其本質(zhì)，學(xué)生們沒有經(jīng)歷把一個(gè)圓平均分成若干份后，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成一個(gè)相似的長方形的過程，學(xué)生缺少了一個(gè)“轉(zhuǎn)化”思想的經(jīng)歷，缺少了動(dòng)手操作活動(dòng)中圓的周長與長方形周長轉(zhuǎn)化的體驗(yàn)。在看似高效快捷的教學(xué)中，學(xué)生多了“固化”結(jié)論的提前習(xí)得，卻少了知識(shí)形成過程的思考與發(fā)現(xiàn)。

2.教學(xué)過程碎片化——偏見于“樹木”，缺省了之于“森林”的整體認(rèn)知

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，知識(shí)編排雖然是用分散的方式散布在各個(gè)級段中，但分散的教學(xué)內(nèi)容之間往往存在著結(jié)構(gòu)性的關(guān)聯(lián)。在實(shí)際教學(xué)中，一些沒有經(jīng)歷小學(xué)階段教學(xué)循環(huán)的教師大多缺乏對小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體把握，知識(shí)點(diǎn)教學(xué)往往以相互割裂的方式“碎片化”地進(jìn)行，兒童的數(shù)學(xué)思維也就只能在老師割裂于整體知識(shí)的教學(xué)中片面而狹隘地生長。長此以往，缺乏對數(shù)學(xué)知識(shí)形成、層遞與發(fā)展整體性的了解和經(jīng)歷，必將導(dǎo)致兒童結(jié)構(gòu)性數(shù)學(xué)思考的缺省與不足。

以“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的教學(xué)為例：常見的教學(xué)范例是，教師用一組題目讓學(xué)生計(jì)算，題目中前幾題是同分母分?jǐn)?shù)加減法，而后一題或兩題是異分母分?jǐn)?shù)加減法。教師在學(xué)生們計(jì)算遇到困難時(shí)，讓學(xué)生觀察兩類題目的異同，并引導(dǎo)學(xué)生通分后再計(jì)算。

這樣的教學(xué)只是關(guān)聯(lián)了同分母分?jǐn)?shù)加減法和通分知識(shí)，而其實(shí)學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)加減法的知識(shí)，或者說兒童已接近完成了小學(xué)階段整個(gè)加減法的學(xué)習(xí)。盡管兒童學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法分散在不同的學(xué)期，計(jì)算過程也有各自的特點(diǎn)，但其運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是相通的。我們需要讓分?jǐn)?shù)加減法順應(yīng)到加減法的運(yùn)算體系中，從而讓學(xué)生在整體化的理解中明白更為普遍的原理，促進(jìn)有深度的數(shù)學(xué)思考的形成。

3.教學(xué)活動(dòng)淺顯化——偏囿于表層，缺省了深思冥想的頓悟體驗(yàn)

如教學(xué)“圓錐的體積”時(shí)，我們常見的教學(xué)設(shè)計(jì)是教師把學(xué)生分成四人一組做實(shí)驗(yàn)，每組的桌上放了等底等高的圓柱與圓錐容器各一個(gè)，學(xué)生通過操作得出圓錐的體積公式。但這一教學(xué)過程之后，學(xué)生在做求圓錐體積的題目時(shí)卻出現(xiàn)很多錯(cuò)誤。深究其因，是教師課始就為學(xué)生提供了等底等高的實(shí)驗(yàn)器具，以此遮蔽了新舊知識(shí)的分化點(diǎn)，教師回避、遮掩了學(xué)生學(xué)習(xí)可能暴露錯(cuò)誤的過程，學(xué)生沒有經(jīng)歷看似“混亂無序”的真實(shí)的動(dòng)手探究過程，缺省了對實(shí)驗(yàn)條件的辨別及信息的批判，而這正是新知教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。如果我們提供給學(xué)生的是四組不同的圓錐、圓柱容器，有的是等底等高，有的不是等底等高，學(xué)生的學(xué)習(xí)是否會(huì)經(jīng)歷深入的觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、合作、創(chuàng)新等過程？是否會(huì)在推導(dǎo)出圓錐體積公式的基礎(chǔ)上，又促進(jìn)實(shí)踐能力和批判意識(shí)的發(fā)展？而這些目標(biāo)的達(dá)成需要我們給學(xué)習(xí)者提供更富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)資源，開展深層次的探究學(xué)習(xí)活動(dòng)，從而促進(jìn)學(xué)習(xí)者深度思考的發(fā)生。

4.教學(xué)程序線性化——偏向于縱貫，缺省了融通聯(lián)結(jié)的開放空間

在教學(xué)中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，兒童在解答一些教師原本講過的習(xí)題時(shí)駕輕就熟，但是一旦遇到?jīng)]有見過的題，即使是運(yùn)用已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)就能解決的問題，也總是顯得一籌莫展。通過實(shí)踐研究我們知道，傳統(tǒng)的教學(xué)大都是以“小步子、低坡度、分散難點(diǎn)”的方式展開問題教學(xué)，兒童是在教師設(shè)計(jì)好的“支離破碎”的問題鏈上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，并呈現(xiàn)出鮮明的線性方式。在一個(gè)個(gè)封閉的問題串中，兒童的發(fā)散性思維被緊緊地束縛在狹小的空間中。

以《乘加乘減》的教學(xué)為例：

教師先出示問題情境：5個(gè)魚缸，分別有5條、5條、5條、5條、4條金魚。

師：想知道5個(gè)魚缸共有多少條金魚用什么方法呢？

生：加法。

師：怎么加呢？我們今天學(xué)的可是乘加乘減啊。

生：就是先乘再加。

師：你說得真好，你能列個(gè)式子嗎？

生：能。5×4+4。

師：對的。當(dāng)我們遇到這樣的題目時(shí)，我們首先要去看有幾個(gè)幾，再與另一個(gè)數(shù)相加減。我們一起來讀一下好嗎？

生齊讀：先算幾個(gè)幾，再加減。

從上述教學(xué)過程可見，教師圍繞“乘加乘減”的教學(xué)任務(wù)，把“共有多少條金魚”的問題分解成一個(gè)個(gè)細(xì)碎的問題。在線性的問答中，學(xué)生的思維始終被牽引前行，最終在“先乘后加減”的齊讀中完成新知的學(xué)習(xí)，而那些在開放情境中“5×5-1”“6×4+0”等有可能出現(xiàn)的思維火花因?yàn)樗伎伎臻g的封閉而熄滅。其實(shí)，教師用線性的思維方式在把一個(gè)富有開放性的問題切割成一個(gè)個(gè)細(xì)碎的小問題時(shí)，也就封閉了兒童發(fā)散性思維的空間，有深度和廣度的思維品質(zhì)就這樣困厄在思維的窠臼中。

二、此岸與彼岸：兒童數(shù)學(xué)思考的教學(xué)旨?xì)w

思維是數(shù)學(xué)的靈魂?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，掌握數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式?！吨袊鴮W(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》也明確把科學(xué)精神列為六個(gè)核心素養(yǎng)之一，并提出了細(xì)化的具體要點(diǎn)，即理性精神、批判質(zhì)疑和勇于探究。由此可知，當(dāng)下的兒童數(shù)學(xué)教學(xué)亟須拷問數(shù)學(xué)教育的價(jià)值，厘清數(shù)學(xué)教學(xué)的方向，從而促進(jìn)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的“落地”與“生根”。

1.從學(xué)科教學(xué)走向?qū)W科教育

學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)雖說是一個(gè)嶄新的詞匯，但其蘊(yùn)含的思想?yún)s早就存在于不同社會(huì)發(fā)展階段的教育價(jià)值追求中。從蘇格拉底的“美德即知識(shí)”，到加德納的“多元智能理論”，都是社會(huì)發(fā)展的不同時(shí)期人們對“教育要培養(yǎng)什么人”的追問與期冀。隨著社會(huì)發(fā)展全球化、信息化時(shí)代的到來，我們亟須超越于傳統(tǒng)知識(shí)、智能與技能等認(rèn)識(shí)要求，建構(gòu)適應(yīng)于當(dāng)代社會(huì)背景、促進(jìn)自我可持續(xù)發(fā)展和社會(huì)和諧發(fā)展的關(guān)鍵素養(yǎng)，即“核心素養(yǎng)”。從核心素養(yǎng)的內(nèi)涵來看，它是學(xué)生在接受教育的過程中，漸趨形成的能促進(jìn)個(gè)體發(fā)展和社會(huì)發(fā)展的必備品質(zhì)和關(guān)鍵能力。在傳統(tǒng)的學(xué)科教學(xué)中，根深蒂固的學(xué)科知識(shí)立場，對學(xué)科價(jià)值的認(rèn)識(shí)往往停留于知識(shí)的掌握上，忽視了學(xué)科的“育人”價(jià)值（米山國藏）。老師更多的是關(guān)注如何把固化的知識(shí)傳遞給學(xué)生，遮蔽了人們在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題中的那種知識(shí)創(chuàng)造和發(fā)明的實(shí)踐過程，遮蔽了人在大量事實(shí)性材料的基礎(chǔ)上經(jīng)歷知識(shí)的歸納概括、提煉抽象的形成過程。當(dāng)固化的知識(shí)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的全部時(shí)，作為一個(gè)個(gè)鮮活個(gè)體的人的存在性就被遮蔽，其在認(rèn)知過程中的創(chuàng)造性及其他素養(yǎng)的養(yǎng)成就沒有了落實(shí)的可能。作為六個(gè)核心素養(yǎng)之一——科學(xué)精神的培育，需要我們跳出單一學(xué)科教學(xué)的束縛，在學(xué)科教育的大視野中促進(jìn)理性思維、批判質(zhì)疑和勇于探究等品質(zhì)的養(yǎng)成。

2.從思維訓(xùn)練走向理性思考

傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，往往重視學(xué)生形象思維和邏輯思維能力的培養(yǎng)。其實(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)中理性思維的含義遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止于此，理性思維還需要我們在教學(xué)中有意識(shí)地對學(xué)生進(jìn)行非邏輯思維、系統(tǒng)思維、批判性思維、辯證思維和圖構(gòu)思維等思維方式的培育，使學(xué)生養(yǎng)成實(shí)事求是、客觀分析、一分為二、多角度思考等思維品質(zhì)，促進(jìn)兒童對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)問題進(jìn)行全面、深入的理解和分析，在深遠(yuǎn)的思考空間里發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、掌握數(shù)學(xué)方法、習(xí)得數(shù)學(xué)思想，從而多方面不同渠道地提升兒童的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3.從經(jīng)歷過程走向經(jīng)驗(yàn)積累

杜威認(rèn)為，教育的出發(fā)點(diǎn)應(yīng)該是兒童。一切教育教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)和組織都應(yīng)確立兒童立場，并在此中引領(lǐng)兒童主動(dòng)積極地建構(gòu)，“做中學(xué)”。《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》指出，培育學(xué)生理性思維的重點(diǎn)是使學(xué)生養(yǎng)成崇尚真知的價(jià)值追求，理解和掌握基本的科學(xué)原理和思維方法；擁有尊重事實(shí)和證據(jù)的意識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那笾獞B(tài)度，具有問題意識(shí)，能獨(dú)立思考，自主判斷；思維縝密，能多角度、辯證地分析問題，做出選擇和決定等，即以科學(xué)的思維方式認(rèn)識(shí)事物、解決問題、指導(dǎo)行為等。從這個(gè)要求來看，我們必須讓兒童從自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)“再創(chuàng)造”的過程，在“做”中學(xué)，在“問”中學(xué)，在“思”中學(xué)，不斷積累和豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在經(jīng)歷的基礎(chǔ)上建構(gòu)新的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。

三、回到數(shù)學(xué)本身：兒童數(shù)學(xué)思考教學(xué)的實(shí)踐建構(gòu)

1.營設(shè)發(fā)散思維空間，激活兒童的數(shù)學(xué)思考

克萊茵說：“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性精神?！睌?shù)學(xué)的理性精神蘊(yùn)含著無限的智慧，有的表現(xiàn)著規(guī)定的理性，有的表現(xiàn)著變化的理性。數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們需要培育學(xué)生思考問題的有序性，也要培育學(xué)生解決問題的靈活性。從有序的“規(guī)定”到看似無序的“變化”，往往能構(gòu)造出學(xué)生的認(rèn)知沖突和解決問題的心向。學(xué)生在這種“心求通而不能，口欲言而弗達(dá)”的“憤悱”之中，思維的火花被點(diǎn)燃，兒童主動(dòng)意義下的積極思考方成為一種可能。

特級教師周衛(wèi)東在教學(xué)《三角形的三邊關(guān)系》一課時(shí)，他出示了這樣一道探究題：“有兩根小棒，一根是9厘米，一根是7厘米，可以把其中一根小棒剪成兩段，你能將它們圍成三角形嗎？有幾種可能？”

學(xué)生探究后回答有4和5、3和6、2和7時(shí)，教師又變換問題，你能把這三種情況的圖形畫出來嗎？學(xué)生畫出三種圖形。

接著，周衛(wèi)東老師又提出變化的條件：“如果考慮小棒的長度是小數(shù)，可能有多少種三角形呢？”學(xué)生的思維開始彌散，得出4.1和4.9、3.1和5.9、2.1和6.9等無限多種情況。

此后，教師再次激發(fā)學(xué)生在想象的基礎(chǔ)上畫出這些圖形的景象，學(xué)生畫出圖示，如圖：

一個(gè)又一個(gè)變化的問題，激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在這個(gè)一層深過一層的追問中，學(xué)生在加深對三角形三邊關(guān)系的理解的同時(shí)，更在潛移默化中接受到了極限、對應(yīng)、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法的浸潤。正是因?yàn)橛辛诉@種不斷逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)的追問，學(xué)生的思維走向了更遠(yuǎn)的地方。

在這個(gè)教學(xué)過程中，教師沒有止步于一定的三種邊長為整數(shù)的圖形可能，而是在從整數(shù)變小數(shù)、從數(shù)字變圖形的多層次變式中，引導(dǎo)兒童對問題進(jìn)行積極的思考，并在逐步深入的探究活動(dòng)中，激活兒童的數(shù)學(xué)思考，引領(lǐng)兒童經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)、知識(shí)發(fā)生、思維發(fā)展的全過程。即便是在此課教學(xué)后的第二天，兒童仍沉浸在探究與思考的氛圍中，從而自然而然地引出了對橢圓軌跡圖示的前認(rèn)識(shí)。從定到變，兒童深化理解的不僅是三角形三邊關(guān)系的認(rèn)識(shí)，還多了一回科學(xué)精神理性思考的深度體驗(yàn)。（未完待續(xù)）