程選生， 景 偉， 李國亮， 李 德， 馬 亮

(蘭州理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730050)

微幅晃動(dòng)下考慮地基效應(yīng)的矩形貯液結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)研究

程選生， 景 偉， 李國亮， 李 德， 馬 亮

(蘭州理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730050)

一般情況下矩形貯液結(jié)構(gòu)通過底板直接坐落在地基上，有必要在考慮地基效應(yīng)的基礎(chǔ)上研究其動(dòng)力特；定義微幅晃動(dòng)波高限值，并建立矩形貯液結(jié)構(gòu)的簡化模型。采用人工邊界模擬地基效應(yīng)，建立了有限元計(jì)算模型，對比兩類模型對應(yīng)的晃動(dòng)波高以驗(yàn)證簡化模型的合理性，基于勢流理論在微幅晃動(dòng)范圍內(nèi)研究在不同邊界條件、不同地震波和不同地震加速度幅值下矩形貯液結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。結(jié)果表明，兩類模型得到的晃動(dòng)波高趨勢一致，且最大晃動(dòng)波高相差較小。在微幅晃動(dòng)范圍，液體最大晃動(dòng)波高和地震加速度幅值成線性關(guān)系，考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用后，壁板水平位移、壁板有效應(yīng)力和液體晃動(dòng)壓力有較大程度的的減小，而地基效應(yīng)對液體晃動(dòng)波高影響很小。

微幅晃動(dòng)；土-結(jié)構(gòu)相互作用；矩形貯液結(jié)構(gòu)；黏彈性邊界；流-固耦合；動(dòng)力響應(yīng)

鋼筋混凝土矩形貯液結(jié)構(gòu)在給排水等生命線工程和石油化工行業(yè)有著廣泛的應(yīng)用，該類特種結(jié)構(gòu)在地震作用下失效不僅會(huì)影響人民的日常生活和工業(yè)企業(yè)的正常生產(chǎn)，而且還會(huì)引起液體泄漏導(dǎo)致火災(zāi)及環(huán)境污染等次生災(zāi)害，更甚者會(huì)威脅人民的生命安全。

貯液結(jié)構(gòu)往往通過底板直接坐落在地基上，有必要在考慮地基效應(yīng)的基礎(chǔ)上研究該類結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，關(guān)于地基效應(yīng)對結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響，國內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究。夏棟舟等[1]推導(dǎo)了土-結(jié)構(gòu)相互作用體系的耦合阻尼比公式，結(jié)果表明考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用后能夠增大體系的阻尼性能，大大降低上部結(jié)構(gòu)的地震作用；劉潔平等[2]提出了土-結(jié)構(gòu)相互體系地震反映分析的簡化評估方法；陳少林等[3]提出了一種分析三維土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的時(shí)域直接方法，該方法可同時(shí)得到土體和結(jié)構(gòu)的反應(yīng)；張之穎等[4]采用振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)研究了軟弱基礎(chǔ)上土-結(jié)構(gòu)相互作用體系的阻尼特性；劉偉慶等[5]運(yùn)用振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)研究得到土-結(jié)構(gòu)相互作用會(huì)使結(jié)構(gòu)的頻率減小，能夠改變結(jié)構(gòu)體系的阻尼比；易偉建等[6]指出考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用后，基礎(chǔ)變形對結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)有很大的影響；劉毅等[7]采用整體有限元法分析了土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用SSDI (Soil Structure Dynamical Interaction)下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，得到SSDI能使基礎(chǔ)底面峰值加速度增大5%～30%，且地基土越軟增大幅度越大。

貯液結(jié)構(gòu)會(huì)由于流-固耦合的影響，在動(dòng)力響應(yīng)方面表現(xiàn)出一定的特殊性。王博等[8]采用集中彈簧模型考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用，結(jié)果表明土-結(jié)構(gòu)相互對大型渡槽的模態(tài)和地震響應(yīng)有影響；LARKIN[9]研究了考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用的儲(chǔ)液池地震響應(yīng)，得到與固支邊界相比峰值加速度可增大2.3倍；程選生等[10]通過引入無量綱參數(shù)建立了彈性地基上矩形貯液結(jié)構(gòu)液-固耦合系統(tǒng)的振動(dòng)方程；KIANOUSH等[11]運(yùn)用有限元法并考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用研究了地震頻譜特性對混凝土矩形儲(chǔ)液池動(dòng)力響應(yīng)的影響，得出考慮地基效應(yīng)后，體系的最大脈沖基底剪力和基底彎矩會(huì)隨著土體剛度的變化增大或減?。籔ATEL等[12]研究得出了地基參數(shù)對土結(jié)構(gòu)相互作用有很大的影響，而且儲(chǔ)液深度對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響極大；張華等[13]研究了渡槽流固耦合體系的動(dòng)力響應(yīng)，得到SSI(Soil-Structure Interaction)效應(yīng)對渡槽結(jié)構(gòu)橫槽向剛度和主應(yīng)力有影響。課題組已在貯液結(jié)構(gòu)的耦合振動(dòng)和液動(dòng)壓力[14-16]、液-固耦合振動(dòng)試驗(yàn)[17]、貯液結(jié)構(gòu)自振特性的計(jì)算模型[18]和貯液結(jié)構(gòu)液-固耦合地震響應(yīng)[19]等方面進(jìn)行了大量的工作。

矩形貯液結(jié)構(gòu)由于流-固耦合作用表現(xiàn)出一定的特殊性，為了全面掌握該類結(jié)構(gòu)在地震作用下的災(zāi)變問題，有必要研究考慮地基效應(yīng)對其動(dòng)力響應(yīng)的影響。本文通過在貯液結(jié)構(gòu)底部設(shè)置黏彈性人工邊界來考慮地基效應(yīng)，定義了微幅晃動(dòng)波高限值，基于計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)，采用勢流理論研究了矩形貯液結(jié)構(gòu)在微幅晃動(dòng)下的動(dòng)力響應(yīng)，通過對比不同邊界條件的計(jì)算結(jié)果，得到了地基效應(yīng)對貯液結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響規(guī)律，有助于為矩形貯液結(jié)構(gòu)的合理設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 微幅晃動(dòng)

液體晃動(dòng)波高的大小對貯液結(jié)構(gòu)求解方法的選擇及動(dòng)力響應(yīng)都有很大的影響，因此，合理地確定微幅和大幅晃動(dòng)的界限對貯液結(jié)構(gòu)流-固耦合研究顯得尤為重要。若液體為微幅晃動(dòng)(見圖1)，則其求解可采用線性勢流理論，從而使得計(jì)算分析大大簡化。因此有必要以速度勢函數(shù)φ為分析對象，導(dǎo)出液體微幅晃動(dòng)需要滿足的條件。

圖1 微幅晃動(dòng)Fig.1 Small sloshing

由速度勢函數(shù)表示的流體運(yùn)動(dòng)Bernoulli方程可表達(dá)為

(1)

式(1)中，當(dāng)自由液面未擾動(dòng)時(shí)，z=0，并令此時(shí)作用的大氣壓強(qiáng)為P0，則C(t)=P0/ρ。

從自由液面動(dòng)力學(xué)邊界條件可知，在自由表面作用著大氣壓強(qiáng)P=P0，于是在液體自由表面式(1)可簡化為

(2)

若要滿足線性化，由式(2)得到速度勢函數(shù)必須滿足

(3)

即

(4)

黃德波[20]利用分離變量法得到了液體線性晃動(dòng)對應(yīng)的速度勢函數(shù)的近似表達(dá)式

(5)

將式(5)代入式(4)并化簡得

(6)

式中：a為波幅；h為貯液高度。

表達(dá)式(6)需在流體域的各個(gè)位置都滿足，則可令z=0，進(jìn)一步由式(6)得到

(7)

對于微幅晃動(dòng)，thkh≈kh，引入高階無窮小量ε，考慮到表達(dá)式(7)的任意性，且液體晃動(dòng)以一階為主，則可取k=1，由此得到微幅晃動(dòng)波幅a需要滿足的條件

a≤ε×h

(8)

式中，ε為高階無窮小量(≤10-1)。

2 計(jì)算模型及動(dòng)力響應(yīng)求解

在矩形貯液結(jié)構(gòu)底部使用人工黏彈性邊界模擬土-結(jié)構(gòu)相互作用，將貯液結(jié)構(gòu)中的液體按三質(zhì)點(diǎn)體系模型進(jìn)行簡化，即液體總體分為3部分：剛性質(zhì)量m0、對流質(zhì)量mc和脈沖質(zhì)量mi。由于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)本身質(zhì)量較大，在動(dòng)力分析中還需要考慮混凝土質(zhì)量m，由于在模型中假定液體剛性質(zhì)量和貯液結(jié)構(gòu)一起做剛性運(yùn)動(dòng)，為了簡化并減少自由度，因此可以將鋼筋混凝土貯液結(jié)構(gòu)的質(zhì)量m和液體剛性質(zhì)量m0進(jìn)行疊加，得到總剛性質(zhì)量m+m0，最終得到考慮地基效應(yīng)鋼筋混凝土矩形貯液結(jié)構(gòu)的簡化力學(xué)模型如圖2所示[21-22]。

圖2 簡化模型Fig.2 Simplified model

根據(jù)Hamilton原理，得到該系統(tǒng)的能量平衡方程如式(9)

(9)

式中：T為系統(tǒng)的動(dòng)能；V為系統(tǒng)勢能；δWc為系統(tǒng)阻尼耗散能。

(10)

(11)

(12)

(13)

在ti時(shí)刻位移給定的前提下，可采用Wilson-θ方法得到ti+θΔt時(shí)刻的位移，當(dāng)θ足夠大(≥1.37)時(shí)，Wilson-θ是無條件穩(wěn)定的。采用該種方法求解時(shí)，存在逐步積分表達(dá)式(14)

(14)

(15)

(16)

式中，M、C和K分別為體系的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

(17)

(18)

(19)

3 數(shù)值算例

3.1 計(jì)算模型

鋼筋混凝土矩形貯液結(jié)構(gòu)尺寸為6 m×6 m×4.8 m，壁板厚度為0.3 m，儲(chǔ)存液體高度為2.4 m。對于矩形貯液結(jié)構(gòu)，可取ε為10-1，由此得到微幅晃動(dòng)的限值為0.24 m。考慮流-固耦合，在貯液結(jié)構(gòu)底部設(shè)置人工黏彈性邊界模擬土-結(jié)構(gòu)相互作用，采用實(shí)體單元模擬壁板，采用勢流單元模擬液體，液體密度為1 000 kg/m3，體積模量為2.3×109Pa。運(yùn)用ADINA建立計(jì)算模型如圖3所示，混凝土材料參數(shù)見表1，黏彈性邊界參數(shù)見表2。

圖3 計(jì)算模型Fig.3 Computational model

密度ρ/(kg·m-3)切線模量E/Pa抗拉強(qiáng)度σ/Pa抗拉屈服強(qiáng)度σ/Pa25003.38×10102.39×1062.2×106抗壓強(qiáng)度σ/Pa壓應(yīng)變?chǔ)艠O限抗壓強(qiáng)度σ/Pa極限壓應(yīng)變?chǔ)?40×106-0.002-26.8×106-0.004

表2 黏彈性邊界參數(shù)

3.2 模型驗(yàn)證

簡化模型動(dòng)力方程的質(zhì)量參數(shù)m0、mc和mi，阻尼參數(shù)Cc、Ci和C0以及剛度參數(shù)Kc、Ki和K0參考文獻(xiàn)[23]計(jì)算得到，具體參數(shù)見表3，地基參數(shù)k和c分別為7.44×107N/m和1.20×107N·s·m-1。運(yùn)用MATLAB編程求解簡化模型對應(yīng)的動(dòng)力方程，簡化模型對應(yīng)的晃動(dòng)波高由式(20)得到

(20)

式中：b為平行于地震作用方向貯液結(jié)構(gòu)的邊長；g為重力加速度。

表3 簡化模型參數(shù)

運(yùn)用數(shù)值仿真工具ADINA求解計(jì)算模型，有限元計(jì)算模型黏彈性邊界取參數(shù)I。為簡化計(jì)算，假定混凝土為線彈性材料，彈性模量為3.38×1010Pa，密度為2 500 kg/m3，泊松比為0.2。選取Chichi波為地震作用，PGA為0.4g。對比簡化模型和計(jì)算模型對應(yīng)的晃動(dòng)波高，以便驗(yàn)證模型的合理性，兩類模型晃動(dòng)波高的計(jì)算結(jié)果對比見圖4。

圖4 計(jì)算結(jié)果對比Fig.4 Comparison of calculation results

由圖4得到，三質(zhì)點(diǎn)簡化模型和有限元計(jì)算模型在計(jì)算液體晃動(dòng)波高時(shí)得到的趨勢基本一致，同時(shí)，兩者得到的晃動(dòng)波高最大值分別為0.235 m和0.211 m，計(jì)算結(jié)果相差較小，從而說明了考慮地基效應(yīng)混凝土矩形貯液結(jié)構(gòu)三質(zhì)點(diǎn)簡化模型的合理性。

3.3 邊界條件對貯液結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響

在臨界波高確定的基礎(chǔ)上，基于勢流理論研究液體微幅晃動(dòng)問題。為了研究地基效應(yīng)對矩形貯液結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響規(guī)律，本文考慮了四種邊界條件：①底部固支；②黏彈性邊界I；③黏彈性邊界II；④黏彈性邊界III。所選取的用于時(shí)程分析的四條地震波Chichi波、Kobe波、Trinidad波和Friuli波對應(yīng)的反應(yīng)譜曲線見圖5。

圖5 反應(yīng)譜Fig.5 Response spectrum

基于增量動(dòng)力分析原理，對選取的四條地震波調(diào)幅，使其幅值依次為0.10 g、0.15 g、0.20 g、0.25 g、0.30 g、0.35 g和0.40 g。通過對計(jì)算模型輸入Chichi波、Kobe波、Trinidad波和Friuli波，得到矩形貯液結(jié)構(gòu)在液體微幅晃動(dòng)下的動(dòng)力響應(yīng)，最大晃動(dòng)波高和地震幅值的關(guān)系見圖6，最大晃動(dòng)波高對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)液體晃動(dòng)時(shí)程曲線見圖7，壁板水平位移時(shí)程曲線見圖8，最大液動(dòng)壓力和地震幅值的關(guān)系見圖9，壁板最大有效應(yīng)力和地震幅值的關(guān)系見圖10。限于篇幅，圖7～圖10只列出了Chichi波和Kobe波對應(yīng)的計(jì)算結(jié)果。

圖6 最大晃動(dòng)波高與地震幅值關(guān)系Fig.6 Relationship between the maximum sloshing height and seismic amplitude

由圖6可知，在液體微幅晃動(dòng)下，四種邊界條件下液體最大晃動(dòng)波高與地震加速度幅值成線性關(guān)系，在地震三要素中持續(xù)時(shí)間和加速度幅值相等的情況下，Chichi波、Kobe波和Friuli波三條地震波對應(yīng)的液體最大晃動(dòng)波高和Trinidad波對應(yīng)的值有較大的差別，主要原因在于地震動(dòng)頻譜特性對液體晃動(dòng)波高有很大的影響。該貯液結(jié)構(gòu)的周期在3 s左右，由圖5地震波反應(yīng)譜曲線可以看出，3 s左右Chichi波、Kobe波和Friuli對應(yīng)的反應(yīng)譜曲線非常接近，即結(jié)構(gòu)第一周期對應(yīng)的加速度反應(yīng)譜Sa(T1)相差很小，而Trinidad波對應(yīng)的加速度反應(yīng)譜最小，使得Trinidad波對應(yīng)的最大晃動(dòng)波高在同一地震波幅值下與其它三條波相比其值最小。

圖7 四種邊界下晃動(dòng)波高時(shí)程曲線Fig.7 Time history curves of sloshing height under four kinds of boundary conditions

由圖7得到在Chichi波和Kobe波作用下，鋼筋混凝土矩形貯液結(jié)構(gòu)的液體微幅晃動(dòng)波高在四種邊界條件下相差非常小，即就貯液結(jié)構(gòu)液體晃動(dòng)波高來說，是否考慮地基效應(yīng)以及地基參數(shù)取值對其計(jì)算結(jié)果的影響很小。

由圖8得到支座邊界條件對壁板水平位移的影響不容忽視，貯液結(jié)構(gòu)固支的壁板水平位移計(jì)算結(jié)果明顯大于黏彈性邊界，最大水平位移在固支和黏彈性邊界下，計(jì)算結(jié)果最大能相差好幾倍?？紤]土-結(jié)構(gòu)相互作用時(shí)，地基的剛度和阻尼參數(shù)取值對壁板水平位移有影響，由于地基阻尼等的影響，使得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)有很大程度的減小?？紤]土-結(jié)構(gòu)相互作用后，當(dāng)?shù)鼗鶇?shù)取值合理，在允許的誤差范圍時(shí)，不同參數(shù)取值引起的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)相差較小，可以滿足工程的分析精度要求。

圖8 四種邊界下壁板水平位移時(shí)程曲線Fig.8 Time history curves of wall horizontal displacement under four kinds of boundary conditions

圖9 最大液動(dòng)壓力與地震幅值關(guān)系Fig.9 Relationship between the maximum hydraulic pressure and seismic amplitude

由圖9得到在四種邊界條件下最大液體晃動(dòng)壓力隨著地震加速度幅值的增大而增大，考慮地基效應(yīng)后，晃動(dòng)壓力值相比于固支邊界有較大的減小，最大可相差9%左右。另外，考慮地基效應(yīng)后，地基參數(shù)的不同取值對液動(dòng)壓力有影響，但不是很大。

由圖10得到，在Chichi波和Kobe波作用下，四種邊界條件對應(yīng)的壁板有效應(yīng)力最大值隨著地震動(dòng)幅值的增大而增大，考慮地基效應(yīng)對壁板有效應(yīng)力有很大的影響，固支和黏彈性邊界相比，有效應(yīng)力最大值可相差1.5左右倍。另外，地基參數(shù)的取值對有效應(yīng)力計(jì)算結(jié)果有影響，但總體來看，其影響比較小，在某些地震加速度幅值下，四種邊界計(jì)算結(jié)果基本相等。

圖10 壁板有效應(yīng)力與地震幅值關(guān)系Fig.10 Relationship between effective stress of tank wall and seismic amplitude

4 結(jié) 論

本文基于勢流理論，在結(jié)構(gòu)幾何尺寸及水深等參數(shù)確定的情況下，定義了微幅晃動(dòng)臨界波高限值，通過在貯液結(jié)構(gòu)底部設(shè)置人工黏彈性邊界來考慮地基效應(yīng)，研究了矩形貯液結(jié)構(gòu)在微幅晃動(dòng)下的動(dòng)力響應(yīng)，主要結(jié)論如下：

(1)在微幅晃動(dòng)范圍內(nèi)，地震作用下液體晃動(dòng)最大波高和地震加速度幅值基本成線性關(guān)系，該結(jié)論有助于對貯液結(jié)構(gòu)在液體微幅晃動(dòng)下，同一地震波而加速度幅值不同的晃動(dòng)波高進(jìn)行預(yù)測。

(2)四種邊界條件下，相同位置節(jié)點(diǎn)的液體晃動(dòng)波高時(shí)程曲線相差很小，由此得到考慮地基效應(yīng)與否對晃動(dòng)波高的計(jì)算結(jié)果影響不是很大。

(3)考慮地基效應(yīng)后壁板水平位移、液體最大晃動(dòng)壓力和壁板有效應(yīng)力都有較大程度的減小，經(jīng)過合理設(shè)計(jì)，可采用較薄的壁板從而節(jié)約資源。四種邊界條件下，地震幅值越大，晃動(dòng)壓力和有效應(yīng)力也越大。

(4)考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用后，當(dāng)?shù)鼗鶇?shù)取值合理，在允許的誤差范圍時(shí)，不同參數(shù)取值引起的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)相差較小，可以滿足工程的分析精度要求。

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Dynamic response of a rectangular liquid-storage structure considering foundation effect under small amplitude sloshing

CHENG Xuansheng, JING Wei, LI Guoliang, LI De, MA Liang

(School of Civil Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

A rectangular liquid-storage structure is often located on a foundation through bottom plates, it is necessary to study its dynamic characteristics considering the foundation effect. Here, the limit height of small amplitude sloshing was defined, the simplified model of the rectangular liquid storage structure was established. Using artificial boundaries to simulate foundation effect, the finite element calculation model was established. Sloshing heights corresponding to two kinds of models were compared to verify the rationality of the simplified model. Based on the potential flow theory, the dynamic responses of the rectangular liquid-storage structure under different boundary conditions, different seismic waves and different seismic acceleration amplitudes were studied. The results showed that the sloshing height trends of the two kinds of models are consistent, and the difference of the maximum sloshing heights is small; in the range of small amplitude sloshing, there is a linear relationship between the maximum sloshing height and the amplitude of earthquake acceleration; after considering soil-structure interaction, the tank wall horizontal displacement, tank wall effective stress and liquid sloshing pressure have a larger level of reduction, but the foundation effect has little influence on liquid sloshing height.

small amplitude sloshing；soil-structure interaction；rectangular liquid-storage structure；viscoelastic boundary；fluid-structure interaction；dynamic response

國家自然科學(xué)基金(51368039；51478212)；教育部博士點(diǎn)基金(博導(dǎo)類)(20136201110003)；甘肅省科技支撐計(jì)劃(144GKCA032)

2015-10-09 修改稿收到日期： 2016-01-24

程選生 男，博士，教授，1972年生

景偉 男，博士生，1988年生

TU357

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.025