趙賀偉， 胡云安， 楊秀霞， 梁 勇

(海軍航空工程學(xué)院 控制工程系，山東 煙臺 264001)

考慮彈性振動的高超聲速飛行器預(yù)設(shè)性能控制

趙賀偉， 胡云安， 楊秀霞， 梁 勇

(海軍航空工程學(xué)院 控制工程系，山東 煙臺 264001)

針對彈性高超聲速飛行器縱向短周期系統(tǒng)，提出一種基于預(yù)設(shè)性能的backstepping控制器設(shè)計方法。將彈性模態(tài)作為系統(tǒng)的不確定性，利用全局調(diào)節(jié)動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行在線逼近，引入魯棒項處理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計誤差帶來的影響；將預(yù)設(shè)性能控制與backstepping技術(shù)相結(jié)合，引入性能函數(shù)的概念，利用誤差轉(zhuǎn)化函數(shù)將原受限系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價的非受限系統(tǒng)，然后基于Lyapunov理論設(shè)計全狀態(tài)預(yù)設(shè)性能backstepping控制器，保證了高超聲速飛行器縱向短周期系統(tǒng)誤差全狀態(tài)滿足預(yù)設(shè)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，理論分析證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和閉環(huán)系統(tǒng)所有信號均有界。仿真分析驗證了提出方法的正確性。

彈性；高超聲速飛行器；預(yù)設(shè)性能；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

隨著航空和航天技術(shù)的逐步成熟，人們將探索的領(lǐng)域延伸到臨近空間，作為臨近空間飛行器的高超聲速飛行器的研究成為了國內(nèi)外研究的熱點領(lǐng)域。高超聲速飛行器具有巨大的軍事和民用價值，成為世界各大國爭先發(fā)展的對象。高超聲速飛行器飛行速度快、飛行跨度大、飛行環(huán)境復(fù)雜多變，各種因素導(dǎo)致高超聲速飛行器系統(tǒng)具有高度非線性、強耦合、強時變、彈性振動等顯著特點，這些特點給高超聲速飛行器的控制器設(shè)計帶來了巨大的挑戰(zhàn)。其中針對高度非線性、強耦合等特點采用的控制方法已非常成熟，而機(jī)體彈性問題的解決方法還是比較少，且難度相當(dāng)巨大，成為近幾年研究熱點問題。機(jī)體的彈性形變和振動對高超聲速飛行器是非常不利的，而且與飛行器的氣動特性和推力系統(tǒng)都會產(chǎn)生耦合效應(yīng)，所以彈性振動的抑制問題是保證高超聲速飛行器穩(wěn)定飛行的關(guān)鍵問題。

目前，針對彈性高超聲速飛行器控制器的設(shè)計出現(xiàn)了大量的相關(guān)文獻(xiàn)，魯棒自適應(yīng)控制方法[1]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)方法[2-3]，結(jié)構(gòu)動力學(xué)的線性變參數(shù)控制方法[4]、這些文獻(xiàn)都對高超聲速飛行器的彈性振動模態(tài)進(jìn)行了研究；ADAMI等[5-9]利用自適應(yīng)控制、非線性魯棒自適應(yīng)控制等方法對彈性高超聲速飛行器進(jìn)行了研究，但是這些文獻(xiàn)都是將六個彈性模態(tài)作為系統(tǒng)的狀態(tài)量，大大增加了系統(tǒng)的維數(shù)，從而導(dǎo)致控制器的設(shè)計異常困難。

上述這些方法從不同的角度對高超聲速的彈性問題進(jìn)行了研究，但是它們共同的問題在于將六個彈性模態(tài)作為系統(tǒng)狀態(tài)變量的一部分，控制系統(tǒng)設(shè)計的難度巨大，而且結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，在實際工程中不易實現(xiàn)。同時，上述文獻(xiàn)在控制系統(tǒng)設(shè)計中只考慮了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差收斂到有界區(qū)域，而沒有考慮和兼顧系統(tǒng)的瞬態(tài)性能(超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間等)。預(yù)設(shè)性能控制是由BECHLIOULIS等[10]首次提出的一種新穎的控制方法，這種控制方法可以兼顧系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。

針對彈性高超聲速飛行器縱向運動模型，將動力學(xué)模型中的彈性模態(tài)作為系統(tǒng)的不確定性，采用動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行逼近，并將預(yù)設(shè)性能控制與backstepping控制方法相結(jié)合，設(shè)計了彈性高超聲速飛行器縱向姿態(tài)控制器。

1 系統(tǒng)描述與預(yù)備知識

1.1 系統(tǒng)描述

本文將文獻(xiàn)[11]提出的彈性高超聲速飛行器縱向運動模型作為研究對象，即

縱向運動模型進(jìn)行分析，其中高度h和速度v為慢變量，攻角α和俯仰角速度q為快變量，因此縱向運動可以分為內(nèi)環(huán)和外環(huán)兩個子系統(tǒng)，內(nèi)環(huán)子系統(tǒng)為縱向運動的短周期系統(tǒng)，外環(huán)子系統(tǒng)為縱向運動的長周期系統(tǒng)，內(nèi)環(huán)和外環(huán)可分別設(shè)計控制器，為了體現(xiàn)研究的針對性，本文僅研究內(nèi)環(huán)子系統(tǒng)控制器設(shè)計問題，因此只考慮縱向模型中的短周期模型，即

(1)

(2)

(3)

式中：v為飛行器的飛行速度；h為飛行器的飛行高度；T為發(fā)動機(jī)推力；α為攻角；g為重力常數(shù)；γ為航跡傾斜角；m為飛行器質(zhì)量；L為升力；D為阻力；q為俯仰角速度；Iq為轉(zhuǎn)動慣量；M為俯仰力矩；ψ1、ψ2為耦合系數(shù)；ηi為第i階彈性模態(tài)；ki=1+ψi/Iq；ξi為第i階彈性模態(tài)ηi的阻尼系數(shù)；ωi為第i階彈性模態(tài)ηi的自然頻率；Ni為第i階廣義力。系統(tǒng)的輸入量為升降舵偏角δe。系統(tǒng)中的力和力矩表達(dá)式為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

CM,δe(δe)=ceδe

(10)

設(shè)定控制目標(biāo)如下：

1) 根據(jù)給定的期望指令信號αd，設(shè)計backstepping控制器，保證輸出信號α能夠跟蹤期望指令信號αd的同時，閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號有界；

2) 輸出誤差e(t)=α-αd滿足預(yù)先設(shè)定的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)性能。

作如下假設(shè)：

假設(shè)1期望指令信號及其各階導(dǎo)數(shù)均為已知，并連續(xù)有界。

假設(shè)2初始誤差|e(0)|=|α(0)-αd(0)|有界，且上界為已知常數(shù)。

1.2 性能函數(shù)

定義1連續(xù)函數(shù)λ(t)：R+→R+為性能函數(shù)，其滿足下列條件

1)λ(t)為正且嚴(yán)格遞減；

為實現(xiàn)控制目標(biāo)2，選取如下不等式

-κλ(t)0

(11)

-λ(t)

(12)

式中：t∈[0,∞);κ∈[0,1]。

將性能函數(shù)選取為

λ(t)=(λ0-λ∞)e-ξt+λ∞

(13)

式中：λ0,λ∞,ξ>0為預(yù)先設(shè)定的常數(shù)，λ∞為預(yù)先設(shè)定的穩(wěn)態(tài)誤差的上限，跟蹤誤差e(t)的收斂速度的下界等于λ(t)的衰減速度，并保證e(t)的最大超調(diào)量不大于κλ0。綜上所述，通過選擇合適的性能函數(shù)λ(t)以及常數(shù)κ，則可以實現(xiàn)對跟蹤誤差的穩(wěn)態(tài)性能和瞬態(tài)性能進(jìn)行限制，可用圖1來說明。

(a)式(11)的情況

(b)式(12)的情況圖1 性能函數(shù)與跟蹤誤差的關(guān)系Fig.1 The relationship of performance function and tracking error

1.3 誤差轉(zhuǎn)化

在控制系統(tǒng)設(shè)計過程中，不等式約束式(11)、式(12)處理的難度很大，所以需要將其轉(zhuǎn)化為等式約束，具體轉(zhuǎn)化過程為

定義跟蹤誤差為

e(t)=λ(t)G(ε)

(14)

式中：ε為轉(zhuǎn)化誤差;G(ε)為誤差轉(zhuǎn)化函數(shù)，且滿足如下性質(zhì)

1) 誤差轉(zhuǎn)化函數(shù)G(ε)是光滑的，并且嚴(yán)格遞增；

2)G(ε)滿足如下不等式

3)G(ε)滿足如下等式

根據(jù)前述定義，λ(t)>0，當(dāng)e(0)>0時，則

-κλ(t)<λ(t)G(ε)<λ(t)

根據(jù)式(14)可知

-κλ(t)

同理，當(dāng)時e(0)<0，則

-λ(t)

根據(jù)誤差轉(zhuǎn)化函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步將誤差轉(zhuǎn)化函數(shù)進(jìn)行逆變換

式中,P=G-1。

如果ε(t)∈∞，t∈[0,∞),可得式(11)、式(12)成立。同時，根據(jù)性能函數(shù)嚴(yán)格遞減的性質(zhì)可以判斷跟蹤誤差終將被限制在如下區(qū)域

Ω={e∈R∶|e(t)|≤λ∞}

注1：為避免ε(0)→∞，當(dāng)e(0)=0時，κ不能設(shè)定為0。

注2：根據(jù)假設(shè)2，選擇λ(0)>|e(0)|。

引理1[12]對任意的常數(shù)τ>0和變量B∈R，下式成立

定義集合Θ{ε||ε|<0.881 4τ}，對于任意的ε?Θ，下列不等式成立

[1-2 tanh2(ε/τ)]<0

1.4 全局調(diào)節(jié)動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

函數(shù)矢量Δf:Ω→Rr,Ω為Rn的一個緊子集，對于任意χ=[χ1,χ2,…,χr]T>0，總存在一個最優(yōu)高斯基函數(shù)矢量φ*：Rn→Rl和一個最優(yōu)權(quán)重矩陣W*∈Rl×r使得

Δf=W*Tφ*+χ

其中，

2 預(yù)設(shè)性能backstepping控制器設(shè)計

假設(shè)3忽略升降舵偏角δe對升力產(chǎn)生的影響。

根據(jù)假設(shè)3對系統(tǒng)式進(jìn)行整理可得

(15)

(16)

其中，

(17)

(18)

(19)

(20)

式中，Δ為彈性模態(tài)項，將其作為系統(tǒng)的不確定性來處理，并采用全局調(diào)節(jié)動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行在線逼近。

步驟1定義誤差狀態(tài)e1=α-αd，αd為α的期望指令信號，同時定義誤差轉(zhuǎn)化函數(shù)e1=λG(ε1)，e1和ε1的導(dǎo)數(shù)分別為

(21)

(22)

定義誤差狀態(tài)e2=q-qd，其中qd為q的期望指令信號。對式(22)進(jìn)行調(diào)整可得

(23)

定義Lyapunov函數(shù)為如下形式

(24)

對式(24)求時間的導(dǎo)數(shù)，可得

(25)

設(shè)計虛擬控制律為

(26)

式(26)中k1>0為設(shè)計參數(shù)， 將式(26)代入式(25)，可得

(27)

步驟2定義誤差轉(zhuǎn)化函數(shù)e2=λG(ε2)，可以得到e2、ε2的導(dǎo)數(shù)為

(28)

(29)

式(29)中的不確定項Δ利用全局調(diào)節(jié)動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行在線逼近，即

Δ=W*Tφ*+χ

(30)

式中：

φ*=

(31)

其中殘留項du的上界為

式中，各項符號(下文同)及證明過程參考文獻(xiàn)[14]。

定義Lyapunov函數(shù)為如下形式

(33)

將式(33)對時間求導(dǎo)，可得

(34)

將式(29)代入式(34)，整理可得

(35)

設(shè)計實際的控制律為

(36)

式中：k2>0為設(shè)計參數(shù)；r為引入的魯棒項。

將式(27)、式(36)代入式(35)，整理可得

(37)

進(jìn)一步整理式(37)可得

(38)

由式(38)可知

(39)

進(jìn)一步整理可得

(40)

根據(jù)引理1可知，當(dāng)|ε2|≥0.881 4τ2時，

(41)

將不等式(41)代入式(40)，可得

(42)

將式(32)代入式(42)，可得

(43)

設(shè)計自適應(yīng)調(diào)節(jié)律如下

(44)

(45)

(46)

將式(44)～式(46)代入式(43)

(47)

考慮到如下不等式

式(47)可以變換為

(48)

根據(jù)du的上界可知

(49)

設(shè)計魯棒項為

(50)

式中，z為設(shè)計的正常數(shù)。

再根據(jù)不等式

可將式(49)進(jìn)一步整理為

(51)

進(jìn)一步整理式(51)得

(52)

式中，

根據(jù)上述理論分析可知，閉環(huán)系統(tǒng)所有信號均有界且收斂到系統(tǒng)原點的一個領(lǐng)域內(nèi)。

定理1針對彈性高超聲速飛行器縱向短周期模型，在假設(shè)1～假設(shè)3條件下，采用控制律式(36)，同時在魯棒項式(50)的作用下，全局調(diào)節(jié)動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各參量自適應(yīng)調(diào)節(jié)律為式(44)～ 式(46)，系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差滿足預(yù)先設(shè)定的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能的要求，且閉環(huán)系統(tǒng)所有信號均有界。

3 仿真分析

仿真中的氣動力和力矩系數(shù)的標(biāo)稱值攝動+20%，如表1所示。

表1 氣動力和力矩系數(shù)

圖2為攻角跟蹤曲線，實線為期望命令信號，虛線為實際輸出的攻角曲線，可以看出實際輸出的攻角可以很好地跟蹤期望指令信號；圖3為俯仰角速度跟蹤曲線，實線為期望俯仰角速度跟蹤信號，虛線為實際俯仰角速度，可以看出實際的俯仰角速度可以很好地跟蹤期望的俯仰角速度。通過圖2、圖3可知，在考慮機(jī)體彈性振動影響的情況下，即使氣動力和力矩系數(shù)攝動+20%后，本文設(shè)計的控制器仍可以保證控制目標(biāo)的實現(xiàn)。

圖4為攻角跟蹤誤差曲線和預(yù)設(shè)性能曲線，可以看出誤差曲線滿足預(yù)先設(shè)定的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能要求；圖5為俯仰角速度跟蹤誤差曲線和預(yù)設(shè)性能曲線，可以看出跟蹤誤差滿足預(yù)先設(shè)定的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；通過圖4、圖5可知，可以保證跟蹤誤差的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能的要求，通過仿真曲線可以看出，通過預(yù)設(shè)性能的設(shè)計可以使跟蹤誤差限定在需要的范圍內(nèi)，這對于高超聲速飛行器在巡航段實現(xiàn)精細(xì)姿態(tài)控制是重要的保證。同時，高超聲速飛行器在過渡飛行階段需要快速跟蹤期望攻角，本文的預(yù)設(shè)性能控制通過預(yù)設(shè)性能的設(shè)計可以保證飛行器攻角跟蹤誤差的調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量等瞬態(tài)性能滿足過渡段飛行要求。通過仿真結(jié)果可以得知，兩個跟蹤誤差都能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)設(shè)性能，即實現(xiàn)了全狀態(tài)具有預(yù)設(shè)性能，而一般的預(yù)設(shè)性能控制只能保證輸出狀態(tài)跟蹤誤差的預(yù)設(shè)性能要求。

圖6為俯仰舵偏角曲線，可見曲線平滑有界。通過仿真結(jié)果可以說明控制器設(shè)計的有效性。

圖2 攻角仿真結(jié)果Fig.2 Simulation result of angle of attack

圖3 俯仰角速度仿真結(jié)果Fig.3 Simulation result of rate of pitch

圖4 e1及預(yù)設(shè)性能曲線Fig.4 The curve of e1 and prescribed performance

圖5 e2及預(yù)設(shè)性能曲線Fig.5 The curve of e2 and prescribed performance

圖6 俯仰舵偏角仿真結(jié)果Fig.6 Simulation result of elevator deflection

4 結(jié) 論

(1) 本文提出的預(yù)設(shè)性能控制方法，不僅僅是輸出滿足預(yù)設(shè)性能的要求，而是系統(tǒng)的全狀態(tài)都滿足預(yù)設(shè)性能的要求，這種設(shè)計方法優(yōu)于一般的預(yù)設(shè)性能控制。

(2) 文中通過“引理1”的使用，巧妙地抵消了預(yù)設(shè)性能控制帶來的需要特殊處理的項，同時雙曲函數(shù)能夠增強系統(tǒng)的魯棒性。

(3) 本文利用全局調(diào)節(jié)動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線逼近系統(tǒng)的彈性振動模態(tài)，從將解決彈性振動模態(tài)對系統(tǒng)的影響。全局調(diào)節(jié)動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是利用自適應(yīng)調(diào)節(jié)律對RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)權(quán)值、中心點和影響范圍進(jìn)行在線調(diào)節(jié)，這大大增強了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近能力和適應(yīng)性。

(4) 本文提出的預(yù)設(shè)性能控制使攻角的穩(wěn)態(tài)誤差限定在一定范圍之內(nèi)，又使跟蹤誤差的調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量滿足預(yù)設(shè)性能要求，這對于實現(xiàn)高超聲速飛行器巡航段的精細(xì)姿態(tài)控制和實現(xiàn)在過渡段的攻角快速跟蹤控制提供了一種可行的思路。

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Prescribed performance control for a hypersonic vehicle considering elastic vibration

ZHAO Hewei，HU Yun’an，YANG Xiuxia，LIANG Yong

(Department of Control Engineering, Naval Aeronautical Engineering Institute, Yantai 264001, China)

Aiming at the longitudinal dynamic model of an elastic hypersonic vehicle, the short period subsystem controller ws designed using prescribed performance control and the backstepping technique. The elastic modes were taken as the uncertainties of the system, the online approaching was conducted using the fully tuned dynamic neural network and the influences of estimation errors of the neural network were dealed with by introducing the robust term. The prescribed performance control was combined with the backstepping technique, the performance function and the error conversion function were introduced to convert the original ‘constrained’ system into an equivalent ‘unconstrained’ one. The fully states prescribed performance backstepping controller was designed based on Lyapunov theory, it was proved that the system is stable and all the signals are bounded according to the theoretical analysis; all error states of the longitudinal short period subsystem of the typersonic vehicle satisfy the prescribed transient state and steady state performances. The simulation results demonstrated the correctness of the proposed method.

elasticity; hypersonic vehicle; prescribed performance; neural network

航空科學(xué)基金(20135584010；20140184001)；中國博士后基金(2015M572693)

2016-07-28 修改稿收到日期： 2016-08-29

趙賀偉 男，博士生，講師，1985年生

胡云安 男，博士，教授，1966年生

TH212

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.036