鄭小詠

摘 要：巧用割補(bǔ)結(jié)合的方法求解不規(guī)則三角形面積。

關(guān)鍵詞：直角坐標(biāo)系；不規(guī)則三角形面積；輔助線

這幾年來我一直在帶畢業(yè)班，分析這幾年的中考試題，在與函數(shù)結(jié)合的綜合大題中常有涉及求解不規(guī)則三角形面積的題型。這類問題往往涉及代數(shù)、幾何知識(shí)，有一定的難度，但此類題型又有較好的選拔功能，能考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思維能力、思維方法素質(zhì)，是中考的熱點(diǎn)題型。針對(duì)這種題型，我個(gè)人認(rèn)為選擇相應(yīng)的解題方法是個(gè)值得重視的問題，方法選得適當(dāng)，可使思路清晰、過程簡(jiǎn)捷，達(dá)到事半功倍的目的。本文通過實(shí)例來談?wù)勅绾吻捎酶钛a(bǔ)結(jié)合的方法解決此類問題。

例1：已知一次函數(shù)y1=x+m的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象交于A、B兩點(diǎn)，已知當(dāng)x>1時(shí)，y1>y2；0

（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）已知反比例函數(shù)在第一象限的圖象上有一點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為3，求△ABC的面積。

解：此題的第（2）步很明顯△ABC的三條邊不在坐標(biāo)軸上，直接利用三角形底高公式求面積顯然比較困難。若只用割和補(bǔ)中的一種方法求解，計(jì)算量很大，那該怎樣解決這個(gè)問題呢？我們可以運(yùn)用分割粘補(bǔ)兼而有之的方法進(jìn)行求解：我們選過A作AE垂直于X軸于點(diǎn)E過C作CF垂直于X軸于點(diǎn)F。由已知條件易求得A（1，6）、C（3，2）、B（-6，-1）、D（-5，0）、G（-3，0）。通過割補(bǔ)，圖形中出現(xiàn)許多易于求解面積的圖形。這時(shí)，S△ABC可通過這些圖形的面積加減得到，觀察易得，S△ABC=S△BDG+S△ADE+S梯形AEFC-S△CGF=×（2×1）+×（6×6）+×（2+6）×2-×（6×2） =21。

一般來說，與函數(shù)結(jié)合的求解三角形面積通過向坐標(biāo)軸作垂線來分割補(bǔ)全圖形的方法，這也是我們常用的分割補(bǔ)圖的技巧。經(jīng)過這樣的分割，補(bǔ)出的圖形面積易于求解、底高明顯。抓住這一特征，則此題還可以有類似的求解方法。如下：

過B作X軸的平行線BM，再分別過A、C作AE垂直于BM，CF垂直于BM，垂足分別為E、F，則S△ABC=S△BEA+S梯形AEFC-S△BCF=×（7×7） +×（7+3）×2-×（9×3）=21。

例2：在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A（-4，0）、B（0，-4）、C（2，0）三點(diǎn)

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S。求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值。

本題的第二步中因?yàn)镸是變化的點(diǎn)所以造成△ABC是變化的，當(dāng)然面積也隨之變化，顯然求面積不能直接用公式了，那么怎樣利用割補(bǔ)方式得到面積呢？用坐標(biāo)軸作垂線構(gòu)置直角圖形是我們方法的巧妙之處，同時(shí)M點(diǎn)又在AB線段的同側(cè)，問題更加簡(jiǎn)單了。

解：（1）易得函數(shù)y=x2+x-4

（2）過M作MD垂直于X軸于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)（m，n），則AD=m+4，MD=-n=-m2-m+4

通過分割，圖形不規(guī)則四邊形AMBO中出現(xiàn)了△AMB，△ABO，△AMD，梯形DMBO，觀察易得

S=S陰影△AMB=S△AMD+S梯形DMBO- S△ABO

=×（m+4）×（-n） +×（-n+4）×（-m）-×（4×4）

=-m2-4m=-（m+2）2+4 （-4

看似復(fù)雜的動(dòng)態(tài)三角形面積在我們的妙割下變得簡(jiǎn)單了。

例3：如圖拋物線y=-x2-x+3與X軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）與Y軸交于點(diǎn)C

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。

分析：（1）步應(yīng)很容易求得A（-4，0）、B（2，0）

（2）題中由y=-x2-x+3 知C坐標(biāo)（0，3）對(duì)稱軸x=-1連接AC、BC

AC=

D為變化點(diǎn)，可設(shè)D（-1，t），由題意可討論D在AB上和AB下兩種情況，

當(dāng)D在AB上方時(shí)，顯然ACD面積是不易直接求得的，我們還是對(duì)它進(jìn)行巧妙割補(bǔ)，向坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸的直角組合產(chǎn)生易求圖形。過D作DE垂直于X軸垂足為E，則分割補(bǔ)后產(chǎn)生直角三角形AED、直角梯形DEOC、直角三角形ACO，則

當(dāng)然，此題也可以直接用割的方法得到，做法是過D作DE垂直于X軸，交AC于M點(diǎn)，則 △ ACD被分割成△ADM△CMD 。而這幾個(gè)三角形有相同的底DM而它們?cè)贒M底上的高的和就是AO，所以我們只要求得DM的長(zhǎng)面積自然也就算出來了，但相對(duì)于割和補(bǔ)結(jié)合來說，DM的計(jì)算相對(duì)麻煩些，計(jì)算也繁瑣些。此題（2）步中當(dāng)D在AB下方的情況和上方相似，大家不妨試著運(yùn)用一下。

例4：（2015·漳州中考）如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，請(qǐng)解決下列問題.

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ 0 ， 3 ），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ 1 ， 4 ）；

（ 2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），當(dāng)|PD﹣PC|最大時(shí)，求α的值并在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置；

（3）在（2）的條件下，將△BCP沿x軸的正方向平移得到△B′C′P′，設(shè)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)為t（其中0

首先易解得B′C′的解析式為y=-x+3+t，點(diǎn)B′坐標(biāo)（3+t，0），點(diǎn)M坐標(biāo)（t/2，（6-t）/2）。

現(xiàn)在，我們?nèi)?

解法一：S = S△B′C′P′-S△BMP′-S△BNB′=×6×3-（6-t）×××（6-t） - t×2t=-t2+3t；

解法二：S = S△BCE-S△CMC′-S△C′NE=××3-×t×t -×（-t）×（3-2t）=-t2+3t；

解法三：S = S四邊形BEC′P′-S△BMP′-S△C′NE=×[（6-t）+（-t）]×3- （6- t）×-×（-t）×（3-2t）=-t2+3t

通過以上舉例可以看出，對(duì)不易求解的不規(guī)則三角形進(jìn)行分割補(bǔ)圖的關(guān)鍵是如何巧妙的制作輔助線。一旦打通了正確制作輔助線這關(guān)鍵的一環(huán)，解題思路自然會(huì)暢通起來，思維能力和水平也就隨之提高。本題型中的主要輔助線是過某特定點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線或平行線，并結(jié)合坐標(biāo)軸及坐標(biāo)軸的垂線使圖形得到巧妙的割補(bǔ)就是解決問題的關(guān)鍵和技巧所在，希望大家在解題中要多觀察多思考多總結(jié)多動(dòng)手相信對(duì)數(shù)學(xué)思維能力思想方法素質(zhì)的提高將有很大的幫助。