史德容，徐偉華

重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400054

區(qū)間值模糊決策序信息系統(tǒng)的分布約簡*

史德容，徐偉華+

重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400054

粗糙集；區(qū)間值；序信息系統(tǒng)；分布約簡

1 引言

粗糙集理論[1-2]最早由數(shù)學(xué)家Pawlak在1982年提出，是數(shù)據(jù)分析的一種數(shù)學(xué)工具，是經(jīng)典集合論的一種推廣形式，其主要思想是在保持分類不變的情況下，經(jīng)過屬性約簡推出問題的決策準(zhǔn)則。目前，國內(nèi)對粗糙集的理論基礎(chǔ)及應(yīng)用[3-4]研究取得了很大的進(jìn)步，許多學(xué)者已在該領(lǐng)域出版了相應(yīng)的專著，同時也發(fā)表了數(shù)百篇論文。當(dāng)然粗糙集[5-6]的應(yīng)用不僅僅是限制在知識理論方面，它已經(jīng)在人工智能、故障檢測、數(shù)據(jù)挖掘、醫(yī)療診斷、股票數(shù)據(jù)分析、模式識別、智能信息處理等領(lǐng)域得到了普遍的應(yīng)用。

粗糙集理論的核心問題之一就是知識約簡[7-9]。約簡就是實(shí)際的知識庫中所描述的知識的屬性并不都是同等重要的，甚至有些屬性是多余的。所謂知識約簡，就是從知識庫中去掉一些不重要的屬性，使得知識得以簡化，又不丟失其主要信息。

實(shí)際問題中，事物的一些屬性值介于某個范圍之間，常被用來刻畫信息系統(tǒng)[10]中的不確定信息。為了表達(dá)這種情況，屬性值通常用區(qū)間值[11-12]形式來表示，進(jìn)一步將其模糊化，這種信息系統(tǒng)就是區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)。本文通過在帶有決策的區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)中引入優(yōu)勢關(guān)系[13-16]，建立區(qū)間值模糊序信息決策系統(tǒng)；在不協(xié)調(diào)的區(qū)間值模糊序信息系統(tǒng)[15-17]中引進(jìn)了分布約簡以及最大分布約簡[18]，探討二者之間的關(guān)系，得到了分布約簡和最大分布約簡的判定定理以及辨識屬性集和可辨識矩陣；提供了不協(xié)調(diào)的區(qū)間值模糊序信息系統(tǒng)的分布約簡和最大分布約簡的具體方法；同時經(jīng)過例題驗(yàn)證了此方法的有效性，豐富了區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)中的粗糙集方法。

2 基于區(qū)間值模糊的序決策信息系統(tǒng)

信息決策系統(tǒng)是既有條件屬性又有決策屬性的一種特殊信息系統(tǒng)。信息決策系統(tǒng)主要是研究條件屬性和決策屬性之間的關(guān)系問題。為了便于理解，下面給出一些基本概念。

定義1[15]稱一個四元組I=(U,AT?DT,F,G)為一個決策信息系統(tǒng)。其中I=(U,AT,F)是信息系統(tǒng)，AT稱為條件屬性集，DT稱為目標(biāo)屬性集。

U是有限對象集，U={x1,x2,…,xn}；

AT是有限條件屬性集，AT={a1,a2,…,ap}；

DT是有限決策屬性集，DT={d1,d2,…,dq}；

F是U與AT的關(guān)系集，F(xiàn)={f:U→Va,a∈AT}，Va為a的有限值域；

G是U與DT的關(guān)系集，G={g:U→Vd,d∈DT}，Vd為d的有限值域。

設(shè)I=(U,AT?DT,F,G)為一個決策信息系統(tǒng)，若對任意 f∈F，a∈AT和xi∈U都有：

f(xi,a)=[aL(xi),aU(xi)]

則稱I=(U,AT,F)為區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)，I=(U,AT?DT,F,G)為區(qū)間值模糊決策信息系統(tǒng)。其中aL(xi), aU(xi)∈[0,1]，且aL(xi)≤aU(xi)，f(xi,a)是xi在屬性a下的屬性值范圍（區(qū)間數(shù)）。特別地，當(dāng)aL(xi)≡aU(xi)時，f(xi,a)就退化成了一個模糊數(shù)。因此區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)是一般形式，單值模糊信息系統(tǒng)是其特殊形式。

設(shè)I=(U,AT,F)為區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)。對任意的a∈AT，在區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)中可對屬性值進(jìn)行比較，定義：

其中“≤”和“≥”可在區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)中分別構(gòu)建一個遞增的偏序和一個遞減的偏序。如果區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)中屬性的值域?yàn)檫f增的或者遞減的偏序，那么稱該屬性是區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)中的一個準(zhǔn)則。本文只考慮由遞增偏序構(gòu)成的優(yōu)勢關(guān)系的情景，遞減的偏序情形可以類似地得到相同的結(jié)論。

定義2設(shè)I=(U,AT?DT,F,G)為區(qū)間值模糊決策信息系統(tǒng)，若I中所有條件屬性都是準(zhǔn)則，則稱I是區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)，記作I≥。稱I≥=(U, AT,F)為區(qū)間值模糊序信息系統(tǒng)。

在區(qū)間值模糊序信息系統(tǒng)中，設(shè)a∈AT為準(zhǔn)則，存在優(yōu)勢關(guān)系“≥a”，“xj≥axi”表示xj關(guān)于準(zhǔn)則a優(yōu)于 xi。設(shè) A?AT是準(zhǔn)則集，那么 xj≥Axi?(?a∈A) [xj≥axi]，優(yōu)勢關(guān)系可定義為：

定義3設(shè)I≥=(U,AT?syggg00,F,G)為區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)，如果，則稱該區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的，否則為不協(xié)調(diào)的。

本文僅僅考慮不協(xié)調(diào)區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)。

3 區(qū)間值模糊序信息決策系統(tǒng)的分布約簡

已經(jīng)知道了序信息系統(tǒng)中屬性約簡理論定義的分布函數(shù)和最大分布函數(shù)，下面將給出區(qū)間值模糊序信息系統(tǒng)中的分布函數(shù)和最大分布函數(shù)的定義。

定義4設(shè)I≥=(U,AT?syggg00,F,G)為區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)。對于任意的A?AT，x∈U，記：

稱 μA(x)為論域U上的關(guān)于準(zhǔn)則集A和決策d的分布函數(shù)，γA(x)為論域U上的關(guān)于準(zhǔn)則集A和決策d的最大分布函數(shù)。

定義5[15]設(shè)α=(a1,a2,…,an)和 β=(b1,b2,…,bn)為兩個n維向量，若ai=bi(i=1,2,…,n)，稱向量α等于向量 β，記作α=β；若ai≤bi(i=1,2,…,n)，稱向量α小于等于向量 β，記作α≤β；否則如果存在某個i0(i0∈{1,2,…,n})，使得ai0＞bi0，稱向量α不小于等于向量 β，記作α≮β。

顯然由以上可立即得到下面命題。

定理1設(shè)I≥=(U,AT?syggg00,F,G)為區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)。對于任意的A?AT：

（1）對?x∈U，當(dāng)B?A時，有 μA(x)≤μB(x)；

（2）對?x∈U，當(dāng)B?A時，有γA(x)≤γB(x)；

定義6設(shè)I≥=(U,AT?syggg00,F,G)為區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)。A?AT，對于任意的x∈U，如果有μA(x)=μAT(x)，則稱A是I≥中關(guān)于區(qū)間值模糊優(yōu)勢關(guān)系的分布協(xié)調(diào)集；如果A的任何真子集均不是分布協(xié)調(diào)集，則稱A是I≥中關(guān)于區(qū)間值模糊優(yōu)勢關(guān)系的分布約簡。

定義7設(shè)I≥=(U,AT?syggg00,F,G)為區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)。A?AT，對于任意的x∈U，如果有γA(x)=γAT(x)，則稱A是最大分布協(xié)調(diào)集；若A的任何真子集均不是最大分布協(xié)調(diào)集，則稱A是I≥中關(guān)于區(qū)間值模糊優(yōu)勢關(guān)系的最大分布約簡。

下面具體給出區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)的分布約簡與最大分布約簡的關(guān)系及其判定定理。

定理2設(shè)I≥=(U,AT?syggg00,F,G)為區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)，則分布協(xié)調(diào)集一定是最大分布協(xié)調(diào)集。

證明 由定義直接可得。 □

推論1設(shè)I≥=(U,AT?syggg00,F,G)為區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)，則分布協(xié)約簡一定是最大分布約簡。

定理3設(shè)I≥=(U,AT?syggg00,F,G)為區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)，A?AT，則A是分布協(xié)調(diào)集當(dāng)且僅當(dāng)對?x,y∈U，當(dāng) μAT(y)≮ μAT(x)時有。

證明 反證法。

假設(shè)當(dāng) μAT(y)≮ μAT(x)時有不成立，則有，由定理1可知 μA(y)≤μA(x)。由于是分布協(xié)調(diào)集，可得 μAT(x)=μA(x)且 μAT(y)=μA(y)，故有μAT(y)=μAT(x)，與 μAT(y)≮μAT(x)矛盾。 □

用同樣的方法可以得到最大分布協(xié)調(diào)集的充要條件。

定理4設(shè)I≥=(U,AT?syggg00,F,G)為區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)，A?AT是最大分布協(xié)調(diào)集，則對?x,y∈U，當(dāng)γAT(y)≮γAT(x)時有。

4 區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)的分布約簡方法

第3章給出了不協(xié)調(diào)的區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)的分布協(xié)調(diào)集和最大分布協(xié)調(diào)集的等價刻畫，這是判斷準(zhǔn)則集是否協(xié)調(diào)的理論所在，因此可以得出分布約簡和最大分布約簡的方法。下面給出辨識屬性集以及辨識屬性矩陣的相關(guān)概念。

定義8設(shè)I≥=(U,AT,F)為區(qū)間值模糊序信息系統(tǒng)，記：

5 實(shí)例分析

設(shè)I≥=(U,AT?syggg00,F,G)為區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)；U={x1,x2,…,x6}為論域，代表6個投資對象；A={a1,a2,a3}，分別代表著市場風(fēng)險、技術(shù)風(fēng)險、管理風(fēng)險；syggg00為決策屬性，表示風(fēng)險，其中3表示“高”，2表示“中”，1表示“低“。統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1。

Table 1 Interval-valued fuzzy ordered decision information system in venture investment表1 風(fēng)險投資的區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)

由表1可得到：

對于表1給出的關(guān)于風(fēng)險投資的區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)，求分布約簡。

情形1利用定義6、定義7求解。

在該系統(tǒng)中記：

由分布函數(shù) μA(x)及其最大分布函數(shù)γA(x)定義可得：

當(dāng)取 B={a2,a3}時，容易驗(yàn)證對于?x∈U，有，因此有 μB(x)=μA(x)和 γB(x)=γA(x)。故B={a2,a3}是個分布協(xié)調(diào)集，也是個最大分布協(xié)調(diào)集。進(jìn)一步可以計算{a2}、{a3}均不是分布協(xié)調(diào)集和最大分布協(xié)調(diào)集，因此B={a2,a3}是分布約簡，是一個最大分布約簡。

容易驗(yàn)證{a1,a3}、{a1,a2}和{a1}都不是分布協(xié)調(diào)集，也不是最大分布協(xié)調(diào)集，因此該區(qū)間值模糊決策信息系統(tǒng)只有一個分布約簡，也只有一個最大分布約簡，即{a2,a3}。

情形2利用定理5求解。

該信息系統(tǒng)的分布辨識矩陣如表2所示。

Table 2 Distribution discernibility matrix of intervalvalued fuzzy ordered decision information system表2 區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)的分布辨識矩陣

由定義9可得：

因此{(lán)a2,a3}是該區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)的所有分布約簡，而且也是最大分布約簡。

這里針對情形2提出如下算法：

算法 區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)分布約簡

輸入：區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)I≥=(U,AT?syggg00,F,G)

輸出：分布約簡

算法的時間復(fù)雜度如表3所示。

Table 3 Time complexity on case 2表3 情形2算法的時間復(fù)雜度

上述情形1和情形2所求得的結(jié)果是一致的，顯然在該決策問題中技術(shù)和管理風(fēng)險因子是不可缺少的，但是其時間復(fù)雜性不一樣。情形1從定義出發(fā)，時間復(fù)雜度較高，不太具有可行性；而情形2的時間復(fù)雜度為O((AT+2)×U2)。在這個例子中體現(xiàn)了求分布約簡時，利用情形2求解具有明顯的時間優(yōu)勢。

6 結(jié)束語

本文在不協(xié)調(diào)的區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)中通過分析分布約簡的性質(zhì)得到了對應(yīng)的判定定理以及辨識矩陣，建立了獲取這種約簡的具體方法，并且用兩種情形對實(shí)例進(jìn)行了對比分析。通過比較可以知道，本文對分布約簡進(jìn)行了更精確的刻畫，可以簡化在時間上的求解過程。

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SHI Derong was born in 1991.She is an M.S.candidate at Chongqing University of Technology.Her research interest is the mathematical foundation of artificial intelligence.

史德容（1991—），女，重慶人，重慶理工大學(xué)碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)槿斯ぶ悄艿臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)。

XU Weihua was born in 1979.He received the Ph.D.degree from Xi’an Jiaotong University in 2007.Now he is the vice-dean,professor and M.S.supervisor at School of Sciences,Chongqing University of Technology,and the director of Chongqing Mathematical Society.His research interests include artificial intelligence,granular computing,fuzzy mathematics and rough set,etc.

徐偉華（1979—），男，山西渾源人，2007年于西安交通大學(xué)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為重慶理工大學(xué)理學(xué)院副院長、教授、碩士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域?yàn)槿斯ぶ悄?，粒計算，模糊?shù)學(xué)，粗糙集等。

Distribution Reduction in Interval-Valued Fuzzy Decision Ordered Information Systems*

SHI Derong,XU Weihua+
School of Sciences,Chongqing University of Technology,Chongqing 400054,China
+Corresponding author:E-mail:chcuwh@gmail.com

Because of the complexity and uncertainty of information systems,it's hard to use accurate value to represent the object's attribute value.The interval-value which blurred is used to deal with the issue.This paper introduces dominance relations to establish inconsistent interval-valued fuzzy ordered decision information system.Then,this paper considers distribution reduction and maximum distribution reduction to simplify the expression of knowledge, at the same time,finds out the relationship between them.Moreover,this paper obtains judgment theorem of distribution reduction and maximum distribution reduction and discernibility matrix in the system.It also provides specific method of distribution reduction and maximum distribution reduction in interval-valued fuzzy ordered decision information system.Furthermore,this paper analyzes a specific case about the venture investment and discusses the significance of study on distribution reduction.Finally,this experiment enriches rough set method for interval-valued fuzzy ordered decision information system.

rough set;interval-value;ordered information system;distribution reduction

10.3778/j.issn.1673-9418.1602002

A

TP18

*The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos.61105041,61472463,61402064(國家自然科學(xué)基金);the Natural Science Foundation of Chongqing under Grant No.cstc2015jcyjA1390(重慶市自然科學(xué)基金);the Graduate Innovation Foundation of Chongqing under Grant No.CYS16217(重慶市研究生創(chuàng)新基金);the Graduate Innovation Foundation of Chongqing University of Technology under Grant Nos.YCX2015227,YCX2016227(重慶理工大學(xué)研究生創(chuàng)新基金).

Received 2016-02,Accepted 2016-06.

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2016-06-02,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160602.1144.002.html

SHI Derong,XU Weihua.Distribution reduction in interval-valued fuzzy decision ordered information systems.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(4)：652-658.

摘 要：因信息系統(tǒng)的復(fù)雜性和不確定性，對象的屬性值難以用精確的數(shù)值來表達(dá)，而是采用區(qū)間形式表示。針對這一問題，對區(qū)間值進(jìn)一步模糊化，并引進(jìn)優(yōu)勢關(guān)系，建立了不協(xié)調(diào)區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)。通過分布約簡和最大分布約簡來簡化知識的表達(dá)，找出二者之間的關(guān)系，得到了分布約簡和最大分布約簡的判定定理以及可辨識屬性集和可辨識矩陣；提供了不協(xié)調(diào)的區(qū)間值模糊序信息系統(tǒng)的分布約簡和最大分布約簡的具體方法；結(jié)合投資風(fēng)險這一具體案例的求解分析，進(jìn)一步闡述了對分布約簡研究的意義，豐富了區(qū)間值模糊序決策信息系統(tǒng)中的粗糙集方法。