儲亞偉，李雯雯，黃映雪

（阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

一類具有調(diào)和曲率黎曼流形剛性定理的推廣

儲亞偉，李雯雯，黃映雪

（阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

通過建立任意黎曼流形零跡黎曼曲率張量模長平方的拉普拉斯公式，在具有平行Cotton張量、正Sobolev常數(shù)和負(fù)數(shù)量曲率的條件下，證明了完備非緊黎曼流形的一個剛性定理，推廣了相關(guān)結(jié)果。

剛性；調(diào)和曲率；Cotton張量；推廣

設(shè)(Mn,g)(n≥3)為一n-維黎曼流形，其黎曼曲率張量、Ricci張量、Weyl曲率張量及數(shù)量曲率分別記為 Rm={Rijkl}，W={Wijkl}，Rc={Rij}和 R，則Rm有如下的正交分解：

它與Weyl張量之間的關(guān)系滿足

本文使用愛因斯坦求和約定。

若(Mn,g)的Cotton張量消失，即W的散度為零（見（1）式），則稱(Mn,g)具有調(diào)和Weyl張量。更一般地，若Cotton張量C的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為零，即?C=0，則稱流形(Mn,g)具有平行的Cotton張量。事實上，該條件不但是“Weyl曲率調(diào)和”條件的推廣，也弱化了常見的曲率條件——調(diào)和曲率，即Rm的散度為零。它們之間的關(guān)系如下[1]：Rm調(diào)和?Rc是Codazz型張量?W調(diào)和且R為常數(shù)?C平行。

因此，常曲率空間、愛因斯坦流形、調(diào)和曲率流形及具有平行Ricci張量的流形都是平行Cotton張量黎曼流形的例子，反之不真。于是，探求合適的曲率條件，使得黎曼流形是常曲率空間或愛因斯坦流形是微分幾何的重要研究課題之一。

對于具有調(diào)和曲率的緊致黎曼流形，1996年，在R＞0的條件下，Hebey-Vaugon[2]證明了該類流形n的L2-型剛性定理。2011年，Kim[3]研究了具有調(diào)和曲率和R≤0的完備非緊流形的剛性問題，在具有正Sobolev常數(shù)的假定下，證明了如下定理：

定理[3]1 設(shè)(Mn,g)為具有調(diào)和曲率、正Sobole常數(shù)和負(fù)數(shù)量曲率的n-維（n≥8）完備非緊黎曼流形。假定且存在常數(shù)C1＞0，使得若為常曲率空間,其中為零跡Ricci量。

使用零跡曲率張量及橢圓估計，付海平等[4]把上述定理推廣為

定理[4]2 設(shè)(Mn,g)為具有調(diào)和曲率、正Sobolev常數(shù)和負(fù)數(shù)量曲率的n-維（n≥10）完備非緊黎曼流形，假定對所有有且存在常數(shù)C2＞0，使得若對所有都成立為常曲 率 空 間 ，其 中為零跡曲率張量。

本文將證明，上述定理2中的“調(diào)和曲率”可減弱為“平行Cotton張量”，即有如下推廣：

定理3 設(shè)(Mn,g)為具有平行Cotton張量、正Sobolev常數(shù)和負(fù)常數(shù)量曲率的n-維（n≥10）完備非緊黎曼流形。假定對所有有且存在常數(shù)C2＞0，使得若對所有都成立為常曲率空間。

注1 由于具有調(diào)和曲率的流形一定具有常數(shù)量曲率和平行的Cotton張量，因此定理3推廣了定理1與定理2。

注2 在引理1的證明過程中不難發(fā)現(xiàn)，定理3中“常數(shù)量曲率”的假定還可減弱為“數(shù)量曲率的Hessien為零”，即Hess R=0。

1 預(yù)備知識

設(shè)(Mn,g)(n≥3)為一n-維完備黎曼流形，在局部坐標(biāo)系中，由Rm的性質(zhì)易得：

當(dāng)n≥3時，由（5）式易得

若Hess R=0，對任意整數(shù) p∈{1,2,…,n}，根據(jù)張量S,C的定義及（1）式可得

因此，條件?C=0等價于

對于給定的完備黎曼流形，其上的Sobolev常數(shù)Q(Mn,g)定義如下：

在緊致黎曼流形上，Q(Mn,g)的符號與數(shù)量曲率R的符號一致，且其下確界總可以達(dá)到。

2 定理證明

首先，我們計算零跡黎曼曲率張量模長平方的拉普拉斯：

引理1 設(shè)(Mn,g)(n≥3)為完備黎曼流形，則

證明 由R°m、|R°m|2的定義及（2）式知

根據(jù)第二Bianchi恒等式，得

結(jié)合（9）式可得

使用（2）式及Ricci恒等式，得

使用（2）式、（3）式，可由（11）式推出

其中，

把（12）式、（13）式帶入（10）式，得

這正是引理1的結(jié)果。

其次，利用 ?C=0及常數(shù)量曲率（或Hess R=0）的條件，結(jié)合（8）式可得

引理2 設(shè)(Mn,g)(n≥3)為具有平行cotton張量及常數(shù)量曲率（或Hess R=0）的完備黎曼流形，則

引理2的（14）式正是文獻(xiàn)[4]的（10）式，相比之前的定理1、定理2及（10）式，引理2是在更為一般的條件下獲得的。仿照定理2的證明過程，可以得到定理3（細(xì)節(jié)參見文獻(xiàn)[4]中定理1.6的證明）。

注3 對于具有非負(fù)數(shù)量曲率或緊致黎曼流形的情形[5,6]，相關(guān)的研究將在另一篇論文中給出。

[1]Besse A L.Einstein manifolds[M].Heidelberg : Springer-Verlag,1987.

[2]Hebey E,Vaugon M.Effective pinching for the concircular curvature[J].The Journal of Geometric Analysis, 1996,6(4):531-553.

[3]Kim S.Rigidity of noncompact complete manifolds with harmonic curvature[J].Manuscripta Mathematica,2011,135(1/2):107-116.

[4]Fu H P,Xiao L Q.SomeLprigidity results for complete manifolds with harmonic curvature[J].Manuscripta Mathematica,2015,135(1-2):107-116.

[5]Fu H P.On compact manifolds with harmonic curvature and positive scalarcurvature[J].Mathematics, 2015,62(1):79-125.

[6]Chu Y W.Complete noncompact manifolds with harmonic curvature[J].Frontiers of Mathematics in China,2012,7(1):19-27.

Generalization of a class of rigidity theorem for Riemannian manifolds with harmonic curvature

CHU Ya-wei,LI Wen-wen,HUANG Ying-xue
(School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui 236037,China)

In this paper,by establishing the Laplacian of the norm square of the trace-free curvature tensor for any Riemannian manifold,a rigidity theorem for complete noncompact Riemannian manifold with parallel Cotton tensor,positive Sobolev constant and negative scalar curvature was prvoed,which extends the corresponding results.

rigidity;harmonic curvature;Cotton tensor;generalization

O174.5

A

1004-4329（2017）01-001-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-001-03

2016-08-19

國家自然科學(xué)基金項目（11371330）；安徽省教育廳自然科學(xué)基金重點項目（KJ2014A196）資助。

儲亞偉（1977- ），男，博士，副教授，研究方向：幾何分析。