徐基光

（國(guó)網(wǎng)安徽省電力公司蕪湖縣供電公司，安徽蕪湖 241100）

自適應(yīng)網(wǎng)格密度改進(jìn)粒子群算法在多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化中的應(yīng)用

徐基光

（國(guó)網(wǎng)安徽省電力公司蕪湖縣供電公司，安徽蕪湖 241100）

粒子群算法因其具有收斂速度快和參數(shù)調(diào)節(jié)靈活等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化領(lǐng)域，然而粒子群算法快速收斂特征極易收斂到局部最優(yōu)解。提出了一種基于自適應(yīng)網(wǎng)格密度的改進(jìn)多目標(biāo)粒子群算法（AG-MOPSO）。通過(guò)自適應(yīng)網(wǎng)格確定粒子的個(gè)體密度，并利用該信息對(duì)外部檔案進(jìn)行維護(hù)，進(jìn)一步利用自適應(yīng)網(wǎng)格估算非劣解的密度信息，采用輪盤賭法確定全局最優(yōu)解，提升了種群多樣性。以網(wǎng)損和電壓偏移為目標(biāo)，采用IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行算例分析，驗(yàn)證了改進(jìn)AG-MOPSO算法在尋優(yōu)過(guò)程中的高效性。

多目標(biāo)；無(wú)功優(yōu)化；粒子群；自適應(yīng)網(wǎng)格；Pareto最優(yōu)

無(wú)功優(yōu)化作為電力系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)，不僅影響電壓質(zhì)量，還對(duì)電力系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性、安全性和經(jīng)濟(jì)性起著至關(guān)重要的作用。隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，無(wú)功優(yōu)化涉及目標(biāo)呈現(xiàn)多樣化，逐漸發(fā)展成為綜合考慮電壓質(zhì)量、安全裕度和經(jīng)濟(jì)性等多種運(yùn)行指標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題[1-3]。傳統(tǒng)方法往往通過(guò)設(shè)定偏好參數(shù)將多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題求解，然而由于無(wú)功優(yōu)化目標(biāo)的差異，偏好參數(shù)難以確定，使得權(quán)衡問(wèn)題日益突出。

多目標(biāo)進(jìn)化算法的出現(xiàn)為此類問(wèn)題提供了新的解決思路，這些方法能夠搜索得到Pareto最優(yōu)解集，可避免決策者預(yù)先設(shè)定偏好參數(shù)，因此在無(wú)功優(yōu)化領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。其中多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法（multi-objective particle swarm optimization，PSO，MOPSO）因其收斂速度快、參數(shù)調(diào)節(jié)靈活、一次運(yùn)行可同時(shí)得到多個(gè)解、且能有效逼近不連續(xù)的Pareto前沿，被廣泛認(rèn)為是求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題最具有潛力的方法之一[4]。然而粒子群的快速收斂特征使得MOPSO算法極易收斂到偽Pareto前沿，很多學(xué)者針對(duì)這一問(wèn)題提出了改進(jìn)措施，主要集中在以下3點(diǎn)：如何維護(hù)存儲(chǔ)Pareto最優(yōu)解集的檔案；如何選擇全局最優(yōu)解gbest和個(gè)體最優(yōu)解pbest；如何平衡進(jìn)化過(guò)程中粒子的“開(kāi)采”和“開(kāi)發(fā)”能力。

本文將根據(jù)多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題和MOPSO算法的特征，采用自適應(yīng)網(wǎng)格密度估計(jì)方法對(duì)外部檔案進(jìn)行維護(hù)，并將非劣解的密度信息與輪盤賭法結(jié)合，給出了全局最優(yōu)解的選擇策略。以網(wǎng)損和電壓偏移為目標(biāo)，采用IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行算例分析，與其他粒子群算法比較，驗(yàn)證了改進(jìn)算法的優(yōu)勢(shì)。

1 多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題是指2個(gè)或2個(gè)以上目標(biāo)需要同時(shí)優(yōu)化的問(wèn)題，由n變量參數(shù)、k個(gè)目標(biāo)函數(shù)和m個(gè)約束條件組成的最優(yōu)化問(wèn)題可表示為

式中：x∈Rn；fi（x）為目標(biāo)函數(shù)；gi（x）為m個(gè)不等式約束函數(shù)。本文以有功損耗和電壓偏差作為多目標(biāo)：

式中：fLoss為系統(tǒng)網(wǎng)損；fVD為電壓偏移；N系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)；NL為輸電線路集合；NG為發(fā)電機(jī)數(shù)；NT為變壓器可調(diào)分接頭數(shù)；NC為并聯(lián)電容器數(shù)；gij為節(jié)點(diǎn)i與j之間線路的電導(dǎo)；θij為節(jié)點(diǎn)i與j之間的電壓相角差；NPQ為PQ母線集合；U為節(jié)點(diǎn)i的電壓基準(zhǔn)值；PGi和PLi分別為節(jié)點(diǎn)i發(fā)電機(jī)和負(fù)荷的有功功率；QGi、QLi、QCi分別為節(jié)點(diǎn)i處發(fā)電機(jī)、負(fù)荷無(wú)功功率和電容補(bǔ)償器的無(wú)功功率注入量；NPV為PV母線集合；Gij和Bij分別為導(dǎo)納矩陣第i行、第j列元素的實(shí)部和虛部；UGimin、UGimax、QCimin、QCimax、Timin、Timax、QGimin、QGimax、Uimin和Uimax分別為相應(yīng)變量的上限和下限值。

2 基于自適應(yīng)網(wǎng)格密度的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

2.1 多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

2.1.1 Pareto最優(yōu)

一般情況下，多個(gè)目標(biāo)之間相互制約，其解往往不局限于單一解，可能存在多個(gè)解，通常用Pareto最優(yōu)集表示。

定義1（Pareto占優(yōu)）設(shè)F：Rn→Rm，xA，xB∈Ω?Rn，稱xA占優(yōu)xB當(dāng)且僅當(dāng)：?i∈{1，2，…，m}，fi（xA）≤fi（xB）且∧?j∈{1，2，…，m}，fj（xA）＜fj（xB），記作xA?xB。

定義2（Pareto最優(yōu)解）個(gè)體x*∈Ω稱為Pareto最優(yōu)解（或非支配解），當(dāng)且僅當(dāng)：

所有Pareto最優(yōu)解組成的集合定義為Pareto最優(yōu)解集P*，將該解集中所有Pareto最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)矢量組成的曲面稱為Pareto前沿面PF*：

2.1.2 粒子群優(yōu)化算法

在經(jīng)典PSO算法[5-7]中，假設(shè)每個(gè)粒子表示為n維搜索空間中的一點(diǎn)，第i個(gè)粒子位置表示為xi=（x，x，…，x），該粒子速度為，粒子i所得到的個(gè)體最優(yōu)解表示為），pgd表示為全局最優(yōu)解。在每次迭代中，粒子i的位置和速度通過(guò)如下公式進(jìn)行更新：

式中：t為迭代次數(shù)；c1、c2為加速因子；r1、r2為0～1之間的隨機(jī)數(shù)；w為慣性權(quán)重；x為第i個(gè)粒子個(gè)體的第d維分量；pest，i為第i個(gè)粒子個(gè)體最優(yōu)解的第d維分量；g為群體最優(yōu)解的第d維分量。

當(dāng)PSO算法從單目標(biāo)問(wèn)題擴(kuò)展到多目標(biāo)問(wèn)題而形成MOPSO算法時(shí)，新的技術(shù)問(wèn)題隨之出現(xiàn)，全局最優(yōu)解不是唯一確定的，借助外部檔案存放Pareto最優(yōu)解，因此Pareto最優(yōu)解維護(hù)，全局最優(yōu)解選擇和種群多樣性增加等問(wèn)題成為影響MOPSO算法性能好壞的關(guān)鍵。本文在此基礎(chǔ)上提出了基于自適應(yīng)網(wǎng)格密度的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法（AG-MOPSO），通過(guò)自適應(yīng)網(wǎng)格密度對(duì)粒子擁擠度進(jìn)行估計(jì)，并利用密度信息對(duì)外部檔案進(jìn)行維護(hù)，進(jìn)一步結(jié)合輪盤賭法對(duì)全局最優(yōu)解進(jìn)行了選擇。

2.2 AG-MOPSO算法的關(guān)鍵算子

2.2.1 自適應(yīng)網(wǎng)格密度估計(jì)

首先建立k維目標(biāo)空間的自適應(yīng)網(wǎng)格，將目標(biāo)空間分為D1×D2×…×Dk網(wǎng)格，其中第i個(gè)目標(biāo)網(wǎng)格模長(zhǎng)di按照式（12）計(jì)算：

外部檔案成員個(gè)數(shù)M會(huì)自動(dòng)隨外部檔案中的非占優(yōu)解的個(gè)數(shù)變化而變化，因此目標(biāo)空間的網(wǎng)格數(shù)也會(huì)隨之自適應(yīng)變化，無(wú)須用戶依賴先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行設(shè)定。非占優(yōu)解在自適應(yīng)網(wǎng)格空間的位置pi由式（13）確定：

式中：mod（x，y）為x/y后的整數(shù)部分。根據(jù)式（13）可以計(jì)算出每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)包含的非占優(yōu)解個(gè)數(shù)，將一個(gè)網(wǎng)格內(nèi)非占優(yōu)解的個(gè)數(shù)作為粒子的分布密度，如圖1所示。

圖1 種群密度估計(jì)Fig.1 Population density estimation

2.2.2 外部檔案的維護(hù)策略

在采用外部檔案存儲(chǔ)Pareto最優(yōu)解集時(shí)，外部檔案的存儲(chǔ)于維護(hù)顯得尤為重要，為防止外部檔案過(guò)度膨脹，增加計(jì)算復(fù)雜度，需對(duì)外部檔案的最大存儲(chǔ)容量進(jìn)行限制，設(shè)最大成員數(shù)為Mmax，外部待更新的檔案為A，如果進(jìn)化算法獲得一個(gè)新解S，具體維護(hù)算法如下所示。

算法1 當(dāng)M＜Mmax

Step1.如果A中存在一個(gè)成員占優(yōu)S，則直接返回A；

Step2.如果S占優(yōu)A中某一成員ai，則返回A=A/ {ai}∪{S}；

Step3.如果S與A中任一成員互不占優(yōu)，則返回A=A∪{S}。

算法2 當(dāng)M≥Mmax

Step1.生成新的集合H=A∪{P}，根據(jù)式（12）、式（13）進(jìn)行自適應(yīng)網(wǎng)格劃分，評(píng)估成員個(gè)體密度；

Step2.查找H中具有最大個(gè)體密度的成員，組成集合H′；

Step3.隨機(jī)選取H′max，i刪除，則返回A=H/{H′max，i}∪{S}。

2.2.3 全局最優(yōu)解的選擇策略

由式（10）和式（11）可知，粒子運(yùn)行軌跡受個(gè)體最優(yōu)解和全局最優(yōu)解的影響，大多數(shù)MOPSO算法僅保存一個(gè)個(gè)體最優(yōu)解，其更新方法如算法3所示。

算法3 個(gè)體最優(yōu)解選擇

Step1.當(dāng)粒子發(fā)現(xiàn)的新解P′占優(yōu)時(shí)，采用新解作為個(gè)體最優(yōu)解，即Pbest=P′；

Step2.當(dāng)舊解占優(yōu)時(shí)，Pbest保存不變；

Step3.當(dāng)P′與舊解互為Pareto最優(yōu)解時(shí)，隨機(jī)選取一個(gè)解作為Pbest。

然而全局最優(yōu)解是一組Pareto最優(yōu)解集，如果沒(méi)有有效的選擇策略，則無(wú)法有效地控制算法的開(kāi)采和開(kāi)發(fā)過(guò)程，本文采用自適應(yīng)網(wǎng)格密度和輪盤賭法進(jìn)行全局最優(yōu)解的選擇，可使每一代的全局最優(yōu)解不完全相同，具體算法如算法4所示。

算法4 全局最優(yōu)解選擇Step1.利用自適應(yīng)網(wǎng)格法評(píng)估粒子的個(gè)體密度；Step2.將個(gè)體密度等級(jí)為Z的粒子統(tǒng)一放入集合HZ中；

Step3.將個(gè)體密度等級(jí)除以所有個(gè)體密度等級(jí)之和，采用輪盤賭法來(lái)選擇個(gè)體密度等級(jí)；

Step4.在相應(yīng)個(gè)體密度等級(jí)集合中隨機(jī)選取粒子作為全局最優(yōu)解。

2.3 基于AG-MOPSO的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化

用于解決多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的自適應(yīng)網(wǎng)格密度粒子群優(yōu)化算法（AG-MOPSO）描述如下：

1）輸入電網(wǎng)運(yùn)行數(shù)據(jù)，初始化AG-MOPSO算法參數(shù)。

2）進(jìn)行潮流計(jì)算，計(jì)算各子目標(biāo)函數(shù)值，更新粒子個(gè)體最優(yōu)解Pbest。

3）判斷個(gè)體最優(yōu)解是否為Pareto最優(yōu)解，若是則將其放入外部檔案，并返回粒子存儲(chǔ)個(gè)數(shù)M。

4）進(jìn)入循環(huán)，t=t+1，根據(jù)算法4選取全局最優(yōu)解Gbest，根據(jù)式（10）、式（11）更新粒子位置，修正越界，并對(duì)控制變量離散化，進(jìn)行潮流計(jì)算，計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)值，根據(jù)算法1）—3）更新信息。

5）判斷算法循環(huán)終止條件，若未達(dá)到最大進(jìn)化迭代數(shù)，則轉(zhuǎn)至步驟4），否則輸出結(jié)果。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

本文對(duì)IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)試，該系統(tǒng)具有41條支路，6個(gè)發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)1、2、5、8、11、13），22個(gè)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，4條可調(diào)變壓器支路（T6-9、T6-10、T4-12、T27-28），選取2個(gè)節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)10、節(jié)點(diǎn)24）作為無(wú)功補(bǔ)償點(diǎn)。無(wú)功注入功率調(diào)節(jié)步長(zhǎng)為0.01，變壓器調(diào)整補(bǔ)充為0.012 5。標(biāo)幺值基準(zhǔn)電壓為220 V，基準(zhǔn)功率為100MV·A，IEEE30系統(tǒng)參數(shù)參見(jiàn)文獻(xiàn)[8-11]，其總負(fù)荷Pload=2.843MW，Qload=1.262 var，設(shè)發(fā)電機(jī)端電壓和變壓器的變比均為1.0，在初始條件下，通過(guò)潮流計(jì)算得到，Ploss=0.059 71 MW。CA-MOPSO算法中相關(guān)參數(shù)選取分別為種群規(guī)模pop=100，最大迭代次數(shù)300，c1=c2=2.05，w=0.8。

粒子的變量對(duì)應(yīng)于發(fā)電機(jī)端電壓，可調(diào)變壓器變比，并聯(lián)電容器無(wú)功補(bǔ)償量，具體表述為

式中：Vij（j=1，…，NG）為每臺(tái)發(fā)電機(jī)的端電壓，屬于連續(xù)變量；Tij（j=1，…，NT）為可調(diào)變壓器變比，為離散變量；Qij（j=1，…，NC）為各節(jié)點(diǎn)無(wú)功補(bǔ)償量，為離散變量。因此在優(yōu)化過(guò)程中需對(duì)控制變量中進(jìn)行如下離散化：

式中：ΔT為變壓器分接頭的調(diào)節(jié)步長(zhǎng)；ΔQj第j個(gè)無(wú)功補(bǔ)償?shù)恼{(diào)節(jié)步長(zhǎng)。

針對(duì)尋優(yōu)過(guò)程中出現(xiàn)的越界情況，采取懲罰措施，適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算公式為

算法獨(dú)立運(yùn)算30次，選取其最佳一次運(yùn)行結(jié)果，AG-MOPSO獲得的Pareto前沿如圖2所示，其Pareto邊界點(diǎn)如表1所示。

圖2 IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的Pareto最優(yōu)解集Fig.2 Pareto optimal solution set of IEEE 30 bus system

表1 IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的Pareto邊界點(diǎn)Tab.1 Pareto boundary solution of IEEE 30bus system pu

由圖2可知，CA-MOPSO獲得的Pareto解集在目標(biāo)空間沿著一定的曲線展開(kāi)，所含候選解數(shù)量較MOPSO多，且分布廣泛，由表1可得CA-MOPSO的邊界點(diǎn)（0.055 71，1.391 0）Pareto占優(yōu)MOPSO（0.056 24，1.407 8），證實(shí)了該CA-MOPSO算法的有效性。若僅以網(wǎng)損最小為單目標(biāo)函數(shù)，CA-MOPSO優(yōu)化后有功網(wǎng)損為0.049 52，損耗降低了17.07%，優(yōu)于MOPSO得到的最小網(wǎng)損。將該結(jié)果與僅考慮單目標(biāo)優(yōu)化的結(jié)果比較，AFPSO算法[8]降損11.939 2%、PSO-cf算法[8]降損1.785 3%，CLPSO算法[9]降損7.055 7%，進(jìn)一步顯示了CA-MOPSO算法的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)語(yǔ)

粒子群算法具有參數(shù)少、收斂速度快等特點(diǎn)，在電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化中得到了廣泛應(yīng)用。然而算法早熟收斂等問(wèn)題限制了其發(fā)展。本文針對(duì)多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題，提出利用自適應(yīng)網(wǎng)格評(píng)估粒子密度，并據(jù)此進(jìn)行檔案維護(hù)和最優(yōu)解的選取，通過(guò)測(cè)試系統(tǒng)分析，證實(shí)了該算法的有效可行性，該方法可推廣應(yīng)用于其他多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的求解。

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Im proved Particle Swarm Optim ization Algorithm Based on Adaptive Grid Density and Its App lication on M ulti-Objective Reactive Power Optim ization

XU Jiguang
（Wuhu Power Supply Company，State Grid Anhui Electric Power Supply Company，Wuhu 241100，Anhui，China）

Particle swarm optimization（PSO）algorithm is widely applied to multi-objective reactive power optimization due to its fast convergence，flexible parameter adjustment and so on.However，the fast convergence characteristic of particle swarm algorithm is extremely easy to converge to local optimal solutions.To solve the problem，based on adaptive grid density，an improved multi-objective particle swarm algorithm（AG-MOPSO）is proposed in this paper.Individual density of each particle is determined bymeans of adaptivemesh，and its information is used to maintain the external file.The non inferior solution density information is estimated and combined with the roulette gambling law to determine the global optimal solution，which enhances population diversity.With the network loss and voltage offset as the targets，the IEEE30 node system is used to test and calculate the calculation examples，and the results verify the efficiency of the improved AG-MOPSO algorithm in the optimization process.

multi-objective；reactive power optimization；particle swarm；adaptivemesh；Pareto optimal

2016-09-12。

徐基光（1963—），男，碩士，高工，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)無(wú)功電壓控制及電壓穩(wěn)定。

（編輯 董小兵）

國(guó)家基金資助項(xiàng)目（51405244）。

Project Supported by National Nature Science Foundation of China（51405244）.

1674-3814（2017）02-0021-05

TM72

A