郭冠驛

(湖南師大附中梅溪湖中學，湖南 郴州 423000)

試析導數(shù)在學習函數(shù)中的應用

郭冠驛

(湖南師大附中梅溪湖中學，湖南 郴州 423000)

導數(shù)是新課程改革之后增加的內容，它在高中的數(shù)學中作用是非常明顯和突出的，在高中的階段我們進行導數(shù)的學習，可以為我們解決函數(shù)的問題提供非常有利的一個工具和渠道，同時利用導數(shù)我們也可以解決函數(shù)中的最值問題，幫助我們更好地對函數(shù)的形態(tài)進行了解，同時掌握函數(shù)的思想，幫助我們發(fā)展自己的思維能力.

導數(shù)；函數(shù)；學習；應用

導數(shù)在對函數(shù)進行研究中的用途是很廣泛的，因為函數(shù)是對一個客觀世界的變化規(guī)律進行描述的非常重要的模型，因此我們在對函數(shù)進行研究的時候，要了解它的增減性增減的快慢情況以及最大值最小值的性質問題，而導數(shù)對于這些問題的解決是非常有效的.

1.求函數(shù)的單調性

如果利用導數(shù)來對函數(shù)的單調性進行研究，就必須要求學生會求不超過三次方的多項式函數(shù)中的單調區(qū)間，簡單點來說，可以歸納總結如下.如果函數(shù)在某個點的導數(shù)是比零大的，那么這個函數(shù)在這個點附近是單調遞增的，反之，這個函數(shù)在這個點附近就是單調遞減的.在這個研究的過程當中，要注意的是我們知道函數(shù)在這個點附近的增減情況，但是如果在整個區(qū)間當中函數(shù)的導數(shù)都是恒大于零或者恒小于零，那么函數(shù)在整個區(qū)間都是單調遞增或者單調遞減，如果函數(shù)在這個區(qū)間中出現(xiàn)一直都等于零的情況，那么就說明這個函數(shù)在這個區(qū)間上，是一個常數(shù)函數(shù).我們對函數(shù)的單調性進行判斷有兩種常用方法，一種是直接利用函數(shù)單調性的定義來進行判斷，簡單點來說就是利用兩個點所對應的函數(shù)值的差與零之間的關系來進行判斷，但是這樣的判斷過程是比較繁瑣的，而利用導數(shù)的相關結論來對函數(shù)的單調性進行判斷，這種方法不僅迅速快捷，同時也更加容易讓同學們聯(lián)想到.

2.求函數(shù)的極值

對于可導函數(shù)來說，在某一個點的導數(shù)是零，是這個函數(shù)取得極值的一個必要的條件，這個條件是必不可少的.因為有的函數(shù)，它雖然在某一個點的導數(shù)等于0，但是不管它是在定義域大于零的區(qū)間還是在定義域小于零的區(qū)間，它的絕對值都恒大于0，它是一個單調遞增的函數(shù).在這樣的情況下，這個點也不會成為這個函數(shù)的極值點.也就是說一個函數(shù)要在某一個點獲取極值，它的充分條件是這個函數(shù)在這個點的導數(shù)等于0，并且在這個點附近的兩側的導數(shù)值異號.

我們在對函數(shù)極值的點進行判斷的時候，一定要注意函數(shù)的極值點，它肯定是在區(qū)間內部的，因此這個區(qū)間的端點是不可能成為函數(shù)的極值點.如果一個函數(shù)在一個開區(qū)間內是單調函數(shù)，那么它在這個區(qū)間上就沒有極值.有些點不存在導數(shù)，但是它也有可能成為極值點，在這樣的情況下，結合具體的圖象來進行分析.在函數(shù)的定義域當中有可能會出現(xiàn)多個極大值點或者極小值點，并且極大值不一定要比極小值要大.我們在對可導函數(shù)在定義域內的極值進行討論的時候，如果這一個函數(shù)的導數(shù)所獲得的實根比較多，我們最好使用表格的形式，這樣才可以使得極值點一目了然，并且在討論的時候要注意分類討論的進行.

3.求函數(shù)的最大值或者最小值

對于函數(shù)來說，集中反映的是他在某一個點附近的局部性質，并不是它在整個定義域上的性質.在對實際問題進行解決或對函數(shù)的性質進行研究的時候，我們都會去關心函數(shù)在一個指定的區(qū)間上哪一個值是最大的，哪一個角色是最小的，由此誕生了函數(shù)的最大值或者最小值的問題.函數(shù)的最大值或者最小值是在函數(shù)的極大值或者極小值的基礎上發(fā)展所得到的.如果從函數(shù)的圖象上觀察，我們可以比較直觀地發(fā)現(xiàn)，如果一個函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象本身是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它在閉區(qū)間上肯定是有最大值或者最小值的.因此，我們在探討的時候只需要把這個函數(shù)的所有的極值點和端點的函數(shù)值進行比較，就可以從里面看出函數(shù)的最大值或者最小值.

4.生活中實際問題的應用

生活中，我們常常會遇到一些求利潤的最大值、如何使用材料最節(jié)省或者效率最高的問題，這些問題也是我們常說的優(yōu)化性問題，也是最值問題.對這類問題進行解決有很強的現(xiàn)實意義.我們常常可以把這些問題轉換成數(shù)學中的函數(shù)問題，然后將其轉化成求函數(shù)的最值問題.在這樣的情況下，導數(shù)就是解決這類問題比較強有力的一個工具.

綜上所述，在對函數(shù)的增減性變化的快慢和最值的問題求解的時候，導數(shù)是一個非常有用的研究工具，我們在學習的時候要準確地對導數(shù)的知識進行合理地掌握，從而幫助我們更好地解決各種函數(shù)的問題.

[1]劉曉華，鄔堅耀.導數(shù)在研究函數(shù)中的應用[J].數(shù)學教學通訊，2015(26)：34-36.

[責任編輯：楊惠民]

2017-07-01

郭冠驛( 2000.07-)， 男，湖南師大附中梅溪湖中學在校學生.

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