湖北省鄂州市第五中學(xué)(436000) 孫孝娥 ●

“用兩條腿走路”學(xué)好勾股定理

湖北省鄂州市第五中學(xué)(436000) 孫孝娥 ●

數(shù)學(xué)中的定理是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)經(jīng)驗的高度抽象總結(jié)，對于同學(xué)來說晦澀難懂，同樣對于老師來說教學(xué)難度大．勾股定理作為初中數(shù)學(xué)幾何中的重點內(nèi)容，是歷來考試的重點和難點．我們發(fā)現(xiàn)單純的理解定理的內(nèi)容只能應(yīng)用相對簡單的題型，基于勾股定理考查變式多，與其他內(nèi)容結(jié)合方式廣的特點，要求同學(xué)們在理解定理的同時，更應(yīng)掌握定理的變式，培養(yǎng)觀察和識別定理應(yīng)用要件的能力，學(xué)會轉(zhuǎn)換和構(gòu)建符合定理應(yīng)用的邏輯思維．要做到以上這幾點，就要求同學(xué)們學(xué)會“用倆條腿走路”，即從正反倆方面理解勾股定理，切實的掌握勾股定理及其逆定理的相關(guān)內(nèi)容．

一、邁出第一步，理解勾股定理

勾股定理的總結(jié)源于對生活現(xiàn)象的好奇與理解，它科學(xué)地歸納了直角三角形三條邊的數(shù)學(xué)關(guān)系——兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．這就為求解與直角三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)模型中的角度和邊長提供了一種具體可行的方法．

例1 估算大樓的高度．張同學(xué)放飛一支風(fēng)箏，當(dāng)風(fēng)箏飛到大樓的高度時，他發(fā)現(xiàn)自己恰好距離大樓約40米，收線后經(jīng)過測量風(fēng)箏線已經(jīng)被放出了為50米．請估算大樓的高度．

分析 根據(jù)題目的內(nèi)容可以將以上情形構(gòu)建為一個簡單的直角三角形模型，如圖1所示，則AB=50米，AC= 40米，求的大樓的高度為BC．根據(jù)勾股定理可得:AB2= AC2+BC2所以BC2=AB2－AC2=502－402=900，BC即大樓的高度約為30米．

在直角三角形這個模型框架中，由于勾股定理是對直角三角形特性的進(jìn)一步剖析和總結(jié)，所以可以直接利用勾股定理來解決問題．掌握勾股定理的實質(zhì)是學(xué)習(xí)這個定理的基礎(chǔ)，有助于接下來應(yīng)對直角三角形的證明、求解邊的長度等系列問題．

二、踏下第二步，掌握勾股定理逆定理

勾股定理的逆定理．它的意義是如果三角形中兩條邊的平方和等于另一邊的平方，那么可證這個三角形為直角三角形．它是利用一個三角形中三條邊的數(shù)學(xué)關(guān)系來證明這個圖形的屬性．這就為一個圖形是否為直角三角形的證明問題提供了一種新的解題思路．

例2 已知△ABC的三個邊分別為AB，BC，AC，三個邊滿足以下的數(shù)量關(guān)系:AB+BC=7，AB·BC=12，AC= 5，判斷三角形的形狀．

分析 由(AB+BC)2=AB2+BC2+2AB·BC=72，解得AB2+BC2=25．又因為AC2=25，所以AB2+BC2=AC2，滿足勾股定理的逆定理，說明△ABC為直角三角形．

在任意三角形的模型框架中，勾股定理的逆命題可以準(zhǔn)確地用于識別三角形的形狀．同時將數(shù)學(xué)關(guān)系與幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來，為解題提供了新的思路．例2中利用代數(shù)關(guān)系的運(yùn)算，結(jié)合勾股定理的逆定理的證明，判斷出了三角形的形狀，將逆定理學(xué)以致用．對逆命題的充分掌握同時也有利于對原命題的理解，更重要的是逆命題在解決實際問題時，有著與原命題不分伯仲的作用．

三、“用兩條腿走路”，應(yīng)對幾何難題

實際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在考試對題目的考查更加注重對知識點的綜合運(yùn)用，所以勾股定理及其逆定理在解題時往往同時被使用，正所謂缺一不可．正是由于勾股定理及其逆定理構(gòu)建起的代數(shù)和幾何的有機(jī)關(guān)系，在解題的過程中可以綜合地運(yùn)用代數(shù)中的相關(guān)運(yùn)算法則，為解題提供了新的思路．可見勾股定理及其逆定理在應(yīng)用中是相輔相成的關(guān)系．

例3 在四邊形 ABCD中，AB=3，AD=4，∠DAB= 90°，BC=12，CD=13，求四邊形的面積．

分析 如圖所示，連接DB，在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，∠DAB=90°，根據(jù)勾股定理可得:BD2=AD2+AB2=32+42=25，DB=5．在△CBD中，DB=5，BC=12，CD=13．具有數(shù)學(xué)關(guān)系:132= 122+52，滿足勾股定理的逆定理，則△CBD為直角三角形．所以Rt△ABD的面積S1為的面積S2為，四邊形ABCD的面積為S+S12=36．

如上題所示的不規(guī)則圖形的面積計算問題，計算的思路是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為可以利用公式計算的規(guī)則圖形．在輔助線的幫助下，實現(xiàn)了圖形的轉(zhuǎn)化．利用勾股定理及其逆定理將多邊圖形面積的計算轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形的面積計算，簡化了計算過程．可見在一些題目中勾股定理及其逆定理在運(yùn)用中是相互促進(jìn)的．

綜上所述，勾股定理是一條形式簡單，但內(nèi)涵豐富的定理，要想充分地理解定理的實質(zhì)，需要老師引導(dǎo)學(xué)生從定理的“正反”倆面來對定理進(jìn)行透徹地理解，學(xué)會“用兩條腿走路”，哪一面理解的不透徹，都會導(dǎo)致學(xué)習(xí)中“坡腳”現(xiàn)象的發(fā)生．當(dāng)然在充分理解定理的基礎(chǔ)上，更應(yīng)該學(xué)會運(yùn)用勾股定理及其逆定理，這需要老師引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)圖形轉(zhuǎn)化、運(yùn)算轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的綜合思考能力，做到以應(yīng)用促理解，以理解化難題．可見只有“兩條腿”協(xié)同作用，我們才能在應(yīng)對難題中步步為營．

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