南京金陵中學(xué)河西分校(210019) 李玉榮 ●

昭示轉(zhuǎn)化思想 凸顯平移方法
——探究一道中考題的解法

南京金陵中學(xué)河西分校(210019) 李玉榮 ●

題目 如圖，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC，(1)如左圖，過點A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明;(2)如右圖，E是直線BC上的一點，且CE=BD，直線AE、CD相交于點P，∠APD的度數(shù)是一個固定的值嗎?若是，請求出它的度數(shù);若不是，請說明理由．

這是2015年山東省荷澤市中考數(shù)學(xué)試卷的第20題(倒數(shù)第2題)，此題以常見的基本圖形為載體，以“判斷結(jié)論、論證結(jié)論、探究問題”的形式逐步展開，將全等三角形、等腰直角三角形的典型知識有機地結(jié)合，由淺入深、一氣呵成，綜合考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，較好地體現(xiàn)了“源于基礎(chǔ)、重在思維”的評價理念．第(1)小題是基礎(chǔ)題，通過證明△DBC與△FAD全等，可知△CDF為等腰直角三角形;第(2)小題是一道探究性問題，考生可利用圖形度量，合情推理出∠APD=45°，但怎樣求出這個結(jié)果呢?

一、思轉(zhuǎn)化，找到破解之門

解析 一般來說，45°角的問題與等腰直角三角形密切相關(guān)，而第(1)小題恰好得到了一個等腰直角三角形，因此，應(yīng)設(shè)法將右圖轉(zhuǎn)化為左圖，只需要“過點A作AF⊥AB，并截取 AF=BD，連接 DF、CF．”由第(1)小題知∠FCD=45°，只需證明FC∥AE，這已顯而易見，從而可得∠APD=45°．

解法1 (1)略;(2)如圖1，過點A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DF、CF，

由(1)知∠APD=45°，AF=BD=CE，又AF∥CE，所以四邊形AFEC為平行四邊形，所以FC∥AE，從而∠APD =∠FCD=45°．

評析 此解法的設(shè)置體現(xiàn)了以人為本的原則，命題者以第(1)小題為鋪墊，昭示了第(2)小題應(yīng)通過轉(zhuǎn)化實現(xiàn)目標，而“AF=CE，且AF∥CE”，等價于“將CE沿AE平移至AF”，凸顯了“平移”這個重要解題方法，從平移的角度思考本題，以“AD=BC或CE=BD，”為線索，還可以探尋其它解法．

二、重平移，尋求解題它法

1．平移AD

解法2 如圖2，將線段AD沿AE平移至EF，連接CF、DF，則四邊形AEFD為平行四邊形，Rt△BDC≌Rt△EFC，可證DC=FC，∠FCD=90°，從而∠CDF=45°，又AP∥DF，所以∠APD=∠CDF=45°．

解法3 如圖3，將線段AD沿DC平移至CF，連接AF、EF，則四邊形AFCD為平行四邊形，Rt△BDC≌Rt△CEF，可證FE=CD=FA，∠AFC=∠D，∠CFE=∠BCD，從而∠AFE=∠AFC+∠CFE=∠D+∠BCD=90°，所以∠FAE=45°，又AF∥DP，所以∠APD=∠FAE=45°．

2．平移CE

解法4 如圖4，將線段CE沿CD平移至DF，連接AF、EF，則四邊形CEFD為平行四邊形，Rt△BDC≌Rt△DAF，可證FE∥DC，F(xiàn)E=DC=FA，∠BCD=∠DAF，所以∠DAF+∠ADC=∠BCD+∠ADC=90°，從而∠AHD= 90°，得AF⊥PD，所以AF⊥FE，故△AFE為等腰直角三角形，所以∠APD=∠AEF=45°．

3．平移BD(或BC)

解法5 如圖5，將線段BD沿BC平移至CF，連接DF、EF，則四邊形BDFC為平行四邊形，△FCE為等腰直角三角形，所以，可得，從而Rt△AFE∽Rt△DFC，所以∠EAF=∠CDF，又∠AMP=∠DMF，所以∠APD=∠AFD=45°．

此題設(shè)計巧妙、變化自然，考查了學(xué)生思維的遷移能力及在解題過程中提煉方法和經(jīng)驗的能力，體現(xiàn)了命題者的獨具匠心，解題者若能洞察命題者的意圖，會將第(2)小題轉(zhuǎn)化為第(1)小題求解，事半功倍，轉(zhuǎn)化為“本”;作為教師，研究此題的解法，從中找出其規(guī)律性的東西，平移為“源”，內(nèi)化為方法為教學(xué)服務(wù)、為學(xué)生所用．義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標準》(2011版)明確指出:推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中．推理是數(shù)學(xué)的基本思維形式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，作為研究圖形性質(zhì)的有效方法和工具，“合情推理”與“演繹推理”相輔相成，如何在中考試題中得到有效考查，此題無疑做出了很好的詮釋．我們?yōu)檫@樣的好題點贊!

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