浙江省寧?？h桃源中學(xué)(315600) 王 偉 ●

2016年寧波中考壓軸題解法探究及教學(xué)反思

浙江省寧?？h桃源中學(xué)(315600) 王 偉 ●

2016年寧波中考數(shù)學(xué)試題第26題壓軸題，借助特殊平行四邊形的旋轉(zhuǎn)，呈現(xiàn)角與角，邊與邊之間的不變和變的辯證關(guān)系，實(shí)現(xiàn)邊與角，未知向已知的轉(zhuǎn)化，此題著重考查學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力．因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)探究多種不同的解法，這種殊途同歸的解題方法可以拓寬學(xué)生的理解，使思維向多方向發(fā)展，有利于學(xué)生發(fā)散思維流暢性的形成和發(fā)展．下面結(jié)合問題，探究第三，第四問的幾種解法，供參考．

中考壓軸題;解法探究;一題多解;思維突破

題目26 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，菱形OABC的頂點(diǎn)B，C都在第一象限，將菱形繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到菱形FADE(點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F)，EF與OC交于點(diǎn)G，連結(jié)AG．

(3)求證:GA平分∠OGE;

(4)連結(jié)BD并延長交x軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12，0)時，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

對于第三問證明角相等例舉三種解法．

解法一 如圖2．

過點(diǎn)A作AN⊥EF，AM⊥OG垂足分別是M，N．

由旋轉(zhuǎn)可得∠AOM=∠F，OA=AF．

∵∠AMO=∠ANF=90°，

∴△AOM?△AFN，∴AM=AN．

∴GA平分∠OGE．

解法二 如圖2，過點(diǎn)A作AN⊥EF，AM⊥OG．

∵菱形OABC≌菱形AFEB，EF=OC，

由面積相等可得AM=AN，∴GA平分∠OGE．

解法三 如圖3，∵∠COA=∠EFA，∴O，F(xiàn)，G，A四點(diǎn)共圓．∵∠EGA=∠OFA，∠OGA=∠OFA，∵AF=OA，∴∠AOF=∠OFA，∴∠OGA=∠EGA．

對于第四問求點(diǎn)G坐標(biāo)例舉十種解法．

解法一 如圖4，分別延長AG，BC交于點(diǎn)M，作GH⊥OP，垂足為H，連接OF．

解法二 如圖5，過B作BH⊥OP，垂足為H，利用∠COA=∠BAP，得出

∴AH=4，BH=3，HP=3，

∴∠BPA=45°．

由解法一知AG∥BP，

∴∠OAG=∠APB=45°．

∴l(xiāng)AG:y=－x+5．與直線x聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)

解法三 如圖6，過點(diǎn)G作GQ⊥OP，過B作BH⊥OP，垂足分別Q，H．在解法二中求出∠OAG=45°后，也可設(shè)OQ=3a，CQ=4a，則7a=5，求出，從而得到G

解法四 如圖7，連接OF，過點(diǎn)B作BH⊥OP，過D作DN⊥OP，過F作FM⊥OP，垂足分別為H，N，M

由解法二得∠BPA=45°．設(shè)DN=NP=x，由勾股定理可求得DN=NP=3，從而得出D(3，4)．

以下解法同解法四．

解法七 如圖1，求F的坐標(biāo)也可利用菱形對角線互相平分的性質(zhì)．由解法五知

解法八 如圖9，過G作GQ⊥OP，BH⊥OP垂足分別為Q，H．

解法九 如圖10，作GN⊥OP，BH⊥OP垂足為N，H．

由解法二已得知∠BPA=45°．在△ABP中利用正弦定理可求得，從而得在△OGA中．從而可得

∵O，F(xiàn)，G，A四點(diǎn)共圓，利用圓方程求解．

設(shè)圓M的方程為 ( x－a)2代入，可求出圓方程為，將O，A，F(xiàn)三點(diǎn)

教學(xué)反思 以上的多種解法綜合利用全等，平行，相似，勾股定理，銳角三角函數(shù)，四點(diǎn)共圓，正弦定理等核心知識解決問題．每一種解法的延伸都是源于平時積累的知識，因此在平時的教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從多角度，多層次審視問題，多方位尋找解題方法．對于第三問有效設(shè)置臺階，為后續(xù)的研究做好鋪墊，對于第四問求點(diǎn)G的坐標(biāo)，需要學(xué)生對所學(xué)的知識靈活運(yùn)用，融會貫通，使學(xué)生多角度去思考，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的流暢性．解法一解法八思路:利用相似求出OG的長度，再結(jié)合銳角三角函數(shù)求出G的坐標(biāo)．解法二思路:利用直線OC和直線AG的交點(diǎn)求出點(diǎn)G坐標(biāo)．解法三的思路:用解法二中∠OAG =45°，求出OG，GA的長度，從而得出G的坐標(biāo)．解法四，五，六，七的思路:利用直線EF與OC的交點(diǎn)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．解法九思路:利用正弦定理求出AG的長度，再結(jié)合銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．解法十:利用圓方程和直線CO的交點(diǎn)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．初中階段求一個點(diǎn)的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)求解是一種比較常用的方法．

中考壓軸題已經(jīng)由單純的知識疊加型轉(zhuǎn)化為知識，方法和技能綜合型，這也是完全符合課改的要求．由于壓軸題考查的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，覆蓋面廣，關(guān)系復(fù)雜，思路難覓，解法靈活，常常令一些學(xué)生束手無策．因此需要教師在教學(xué)過程中正確引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)壓軸題的世界，為提高學(xué)生壓軸題的得分率，對學(xué)生解答壓軸題方法策略上的指導(dǎo)是必要的．根據(jù)課改的目標(biāo)，壓軸題的一般教學(xué)策略可關(guān)注以下幾個方面:1．審題;2．問題轉(zhuǎn)化;3．?dāng)?shù)學(xué)思想方法;4．一題多解;5．思維自我監(jiān)控;6．解題后的反思．教師在教學(xué)過程中可以制定一些具體的教學(xué)策略，筆者認(rèn)為在教學(xué)過程中教師應(yīng)該注重如下幾個具體策略:1．引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題挖掘隱含條件．2．引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合．3．引導(dǎo)學(xué)生用識別基本模型，關(guān)注基本圖形的特征．4．引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化問題．5．引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中思維自我控制．6．引導(dǎo)學(xué)生一題多解和多法歸因．7．引導(dǎo)學(xué)生解題后有效反思．8．引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)變式．

解題探究重在培養(yǎng)思維能力，意在孕育探究精神，久而久之，便形成可持續(xù)發(fā)展的數(shù)學(xué)解題技巧和數(shù)學(xué)解題能力．

［1］王偉．?dāng)?shù)學(xué)變式百例精講［M］．浙江:寧波出版社，2006

［2］蔡衛(wèi)兵．2015年浙江省寧波卷第26題解法探究及反思［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教育，2016(6)

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