劉思平

(湖北文理學(xué)院,湖北 襄陽(yáng) 441053)

Matlab PDE工具箱在電動(dòng)力學(xué)教學(xué)中的輔助應(yīng)用

劉思平

(湖北文理學(xué)院,湖北 襄陽(yáng) 441053)

電動(dòng)力學(xué)是高校物理專(zhuān)業(yè)及相關(guān)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的理論基礎(chǔ)課，教學(xué)內(nèi)容中涉及了大量偏微分方程，求解過(guò)程復(fù)雜，難以理解，阻礙了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。Matlab中偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)是一個(gè)求解各類(lèi)偏微分方程很好的平臺(tái)，可以直觀(guān)地顯示物理規(guī)律和物理現(xiàn)象，便于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，值得在教學(xué)和科研中推廣。

電動(dòng)力學(xué)；Matlab PDE工具箱；高等教育

1 電動(dòng)力學(xué)中引入Matlab PDE工具箱輔助教學(xué)的必要性和可行性

電動(dòng)力學(xué)是在電磁學(xué)基礎(chǔ)上更系統(tǒng)、更深入、更嚴(yán)密地研究電磁場(chǎng)的基本性質(zhì)、運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及電磁場(chǎng)與帶電物質(zhì)之間相互作用的理論體系，是高校物理及相關(guān)專(zhuān)業(yè)在普通物理基礎(chǔ)上，繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的一門(mén)重要的理論基礎(chǔ)課。調(diào)查顯示[1]，長(zhǎng)期以來(lái)，傳統(tǒng)的教學(xué)注重基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)概念的講解，強(qiáng)調(diào)物理概念和數(shù)學(xué)描述的統(tǒng)一，給學(xué)生的感覺(jué)是抽象的理論知識(shí)和繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，有的學(xué)生產(chǎn)生畏難和厭學(xué)情緒，教學(xué)效果不理想。雖然學(xué)生能獲得扎實(shí)的理論基礎(chǔ)，但缺乏獨(dú)立思考能力，不能處理生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題，而且有的學(xué)生易知難而退，產(chǎn)生厭學(xué)情緒，教學(xué)效果不盡如人意。如何把抽象理論知識(shí)變得形象，引入計(jì)算機(jī)數(shù)字化技術(shù)處理電動(dòng)力學(xué)問(wèn)題是有效手段之一。

在常用的計(jì)算機(jī)軟件中，Matlab是公認(rèn)的最優(yōu)秀的應(yīng)用軟件之一，特別是其數(shù)值計(jì)算與繪圖功能更是被廣泛應(yīng)用于大學(xué)物理、電磁場(chǎng)與電磁波等諸多高校課程輔助教學(xué)中[2-4]。通過(guò)筆者調(diào)查研究，Matlab的偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)可以用于求解電動(dòng)力學(xué)中關(guān)于靜電磁場(chǎng)、電磁波傳播以及工程應(yīng)用等相關(guān)諸多問(wèn)題[5-7]，把抽象的理論概念變?yōu)樾蜗蟮亩S、三維圖形，包括靜態(tài)和動(dòng)態(tài)圖，而且易操作，只需要選擇正確的微分表達(dá)式，設(shè)置合適的初值條件和邊界條件，避免了復(fù)雜的程序編寫(xiě)。

另一方面，很多高校在前期已經(jīng)開(kāi)設(shè)了電磁學(xué)、數(shù)學(xué)物理方法以及Matlab基礎(chǔ)等課程，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及軟件方面已具備了必要的條件，所以引入Matlab PDE工具箱輔助教學(xué)是自然且可行的。

2 Matlab PDE工具箱簡(jiǎn)介

PDE 工具箱提供了研究和求解二維偏微分方程問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)大又靈活的實(shí)用環(huán)境，其功能包括設(shè)置PDE定解問(wèn)題(即設(shè)置二維定解區(qū)域、方程的形式和系數(shù)以及邊界條件)、用有限元法求解PDE和解的可視化等。

2.1 PDE工具箱求解的方程形式及邊界條件

PDE工具箱能求解的主要是定義在二維有界區(qū)域Ω上有下列形式的偏微分方程：

橢圓型方程：

(1)

拋物線(xiàn)型方程：

(2)

雙曲線(xiàn)型方程：

(3)

特征值方程：

(4)

式中u是偏微分方程的解，c,a,d,f是標(biāo)題復(fù)函數(shù)形式的系數(shù)，在拋物型和雙曲型方程中，它們也可以是t的函數(shù)，λ是待求的特征值。

2.2PDE工具箱求解的主要步驟

在Matlab命令窗口輸入pdetool命令進(jìn)入PDEToolbox窗口，利用PDE工具箱求解各類(lèi)典型方程可以簡(jiǎn)單的歸納為以下幾步：①建立幾何模型；②輸入邊界條件；③輸入偏微分方程參數(shù)；④劃分網(wǎng)絡(luò)；⑤輸入初始條件；⑥求解有限元方程；⑦繪圖。

3 Matlab PDE工具箱在電動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例

在電動(dòng)力學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，可以用PDE工具箱來(lái)求解靜電磁場(chǎng)以及交流電磁場(chǎng)等問(wèn)題。

3.1 靜電場(chǎng)拉普拉斯方程的求解

真空中有一半徑為R0的接地導(dǎo)體球，距球心為a(a>R0)處有一個(gè)點(diǎn)電荷Q，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。這是教材中典型利用鏡像法求解電勢(shì)的問(wèn)題，可以方便地用PDE工具箱直觀(guān)地求解。

僅考慮兩維情況，這個(gè)問(wèn)題可以歸結(jié)為求解以下的定解問(wèn)題：

(5)

其中C1表示導(dǎo)體球面，用小圓代替點(diǎn)電荷，C2表示小圓面。這里假設(shè)R0=0.2，a=1，選擇Electrostatics方程模式且取小圓面電勢(shì)為10V，epsilon=1,rho=0。由圖1易直觀(guān)地看出二維空間電勢(shì)以及電場(chǎng)分布，點(diǎn)電荷發(fā)出的電場(chǎng)線(xiàn)只有一部分收斂于球面，剩下的部分伸展至無(wú)窮遠(yuǎn)。由小圓來(lái)代替點(diǎn)電荷會(huì)引入一定的誤差。

3.2 靜磁場(chǎng)泊松方程的求解

半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體上有恒定的電流J均勻分布在截面上，試解矢勢(shì)A的微分方程，設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為μ0，導(dǎo)體外的磁導(dǎo)率為μ。

選擇Magnetostatics方程模式，外邊界由半徑R的球面代替，僅考慮兩維情況，這個(gè)問(wèn)題可以歸結(jié)為求解以下靜磁場(chǎng)的定解問(wèn)題

(6)

假設(shè)R=1，a=0.1,J=10,μ0=1,μ=1.2。由圖2可以看出，矢勢(shì)由內(nèi)向外逐漸變小，在柱面上變?yōu)榱?，柱面外為?fù)值。磁場(chǎng)由內(nèi)向外逐漸增大，在柱面上達(dá)到最大值，然后沿徑向向外逐漸變小。

類(lèi)似的一大部分關(guān)于靜電磁場(chǎng)的習(xí)題均可用PDE工具箱畫(huà)出直觀(guān)的圖形，可以在很大程度上幫助學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解。

3.3 交流電磁場(chǎng)在導(dǎo)體中的傳輸

低頻電力系統(tǒng)常用銅線(xiàn)或者鋁線(xiàn)傳輸，當(dāng)銅線(xiàn)通過(guò)交流電流時(shí)，會(huì)產(chǎn)生趨膚效應(yīng)。選擇AC Power Electromagnetics方程模式，電場(chǎng)滿(mǎn)足的微分方程形式為：

(7)

當(dāng)銅線(xiàn)的在線(xiàn)頻率為50Hz時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部的電流密度J遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于導(dǎo)體表面，這里取J=1。由E=σJ，則電場(chǎng)的Dirichlet條件為E=1/σ。銅的電導(dǎo)率數(shù)值為σ=58×106，磁導(dǎo)率數(shù)值為μ=4π×10-7，ε0=8.85×10-12。圖3可以看出很明顯的趨膚效應(yīng)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只在導(dǎo)體表面薄層傳輸，導(dǎo)體內(nèi)場(chǎng)量為零。

4 結(jié)語(yǔ)

本文依據(jù)電動(dòng)力學(xué)的特點(diǎn)以及學(xué)生的實(shí)際情況，對(duì)電動(dòng)力學(xué)的教學(xué)方式和手段進(jìn)行了改革，引入了MatlabPDE工具箱，對(duì)于大部分的靜電磁場(chǎng)問(wèn)題以及一部分的電磁波傳輸問(wèn)題都可以數(shù)值求解。該方法計(jì)算方便，速度快，便于學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)迅速上手，幫助對(duì)知識(shí)點(diǎn)的直觀(guān)理解，同時(shí)也加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)物理方程的理解和掌握。

[1] 熊萬(wàn)杰.電動(dòng)力學(xué)教學(xué)的調(diào)查研究[J].研究生教育研究,2007,(1):30-33.

[2] 葉松,王向賢,余建立,等.Matlab在大學(xué)物理學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].巢湖學(xué)院學(xué)報(bào),2011,13(6):147-150.

[3] 王明軍,李應(yīng)樂(lè),唐靜.Matlab在電磁場(chǎng)與電磁波課程教學(xué)中的應(yīng)用[J].咸陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009,24(2):89-91.

[4] 姜?dú)J揚(yáng).Matlab軟件在高校教學(xué)中的應(yīng)用[J].沈陽(yáng)教育學(xué)院學(xué)報(bào),2008,10(3):31-33.

[5] 李好,楊天春,王齊仁.基于Matlab7.0PDE工具箱求解數(shù)學(xué)物理方程[J].電腦開(kāi)發(fā)與應(yīng)用,2009,22(1):26-27,48.

[6] 張純靜,申龍涉,杜義明,等.MatlabPDE工具箱在稠油輸送管道中的應(yīng)用[J].當(dāng)代化工,2012,41(1):48-49,53.

[7] 牛宏,梁杏,尼勝楠,等.MATLABPDE工具箱在地下水科學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用[J].安全與環(huán)境工程,2013,20(6):6-11.

The Auxiliary Application of Matlab PDE Toolbox in Electrodynamics Teaching

LIUSi-ping

(HubeiUniversityofArtsandScience,Xiangyang441053,China)

Electrodynamics is an important basic theoretical course of physics and related major in universities. The teaching content involves a large number of partial differential equations. The complexity of solution process makes it difficult to understand, and hinders the learning interest of students. Matlab PDE toolbox is a good platform to solute the various partial differential equations. It can show the physical laws and phenomenon visually and help understand the knowledge, and should be popularized in the teaching and research.

electrodynamics; Matlab PDE toolbox; higher education

2016-12-17

湖北文理學(xué)院校級(jí)教研項(xiàng)目(JY2015031);湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(D20152602)

劉思平(1975-)，女，博士，湖北文理學(xué)院物理與電子工程學(xué)院副教授，研究方向：光學(xué)。

G642.3

A

1674-3229(2017)01-0110-03