陶永霞，職保平，劉子祺，馬震岳

(1．小流域水利河南省高校工程技術(shù)研究中心，河南 開封 475004；2．黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開封 475004；3．黃河水利水電開發(fā)總公司，鄭州 450003；4．大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部，遼寧 大連 116023)

復(fù)雜擾動條件下水電站振動傳遞功率流分析

陶永霞1,2，職保平1,2，劉子祺3，馬震岳4

(1．小流域水利河南省高校工程技術(shù)研究中心，河南 開封 475004；2．黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開封 475004；3．黃河水利水電開發(fā)總公司，鄭州 450003；4．大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部，遼寧 大連 116023)

為分析水電站實際振動的復(fù)雜擾動對結(jié)構(gòu)動力特性分析的影響，在單擾動分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合功率流、Kronecker代數(shù)、Hadamard積及隨機(jī)攝動理論，推導(dǎo)了考慮參數(shù)相關(guān)和擾動相關(guān)的復(fù)雜擾動條件下的功率流隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)分析方法，并應(yīng)用于水電站豎向振動傳導(dǎo)分析。通過水電站廠房結(jié)構(gòu)振動分析表明，復(fù)雜擾動分析方法的結(jié)果是正確的，可分析各參數(shù)擾動對能量傳導(dǎo)率的靈敏度問題。該研究能夠有效降低擾動范圍，提高分析的準(zhǔn)確率，為準(zhǔn)確分析振動傳導(dǎo)路徑提供保障。

復(fù)雜擾動；功率流；隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)；傳導(dǎo)路徑；水電站

水電站這類巨型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，各部件生產(chǎn)、安裝所導(dǎo)致的材料參數(shù)、幾何尺寸、邊界條件等均存在不確定性(如混凝土等材料參數(shù))，該類不確定性與參數(shù)同步存在，屬于乘性擾動，而測量所得的參數(shù)必然伴隨著由噪聲干擾(多機(jī)工作振動、橋機(jī)運行振動干擾等)、測試擾動(環(huán)境噪聲、儀器噪聲等)等引起的加性擾動[1]。水電站振動系統(tǒng)的各參數(shù)均富含兩類擾動性，屬于典型的隨機(jī)結(jié)構(gòu)問題。結(jié)構(gòu)參數(shù)的擾動性可能引起結(jié)構(gòu)動力特性和動力響應(yīng)的大幅度變化，使力學(xué)參數(shù)的隨機(jī)性在一定條件下成為主導(dǎo)因素。

經(jīng)過近半個世紀(jì)的發(fā)展，隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)的研究主要發(fā)展了Monte-Carlo模擬[2-3]、攝動法[4-6]、隨機(jī)攝動有限元、隨機(jī)因子法[7]、區(qū)間因子法[8]等，這些方法均將各參數(shù)的擾動定義為單一擾動。但實際水電站振動分析時，各參數(shù)存在非常復(fù)雜的擾動性，針對多擾動情況。目前，復(fù)雜擾動量聯(lián)合分析的隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)研究僅處于探索階段，而參數(shù)及擾動的相關(guān)性往往忽略或?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為不相關(guān)變量的方法進(jìn)行處理，并不關(guān)注相關(guān)性對結(jié)果的影響。但相關(guān)性在特定條件下也可產(chǎn)生非常大的影響，且為精確分析多參數(shù)多擾動對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，十分有必要對隨著研究的深入， AMBROGIO[9]考慮了加性和乘性擾動之間的相關(guān)性，但未涉及參數(shù)之間的相關(guān)性；HUSAIN等[10]通過加權(quán)矩陣形式解決了參數(shù)相關(guān)性問題，但是該方法僅計算結(jié)果進(jìn)行加權(quán)；ZHI等[11]在多擾動攝動分析中考慮參數(shù)、擾動之間的相關(guān)性，推導(dǎo)了相應(yīng)的分析方法。

考慮參數(shù)擾動性的水電站測試與數(shù)值相結(jié)合的振動傳導(dǎo)分析僅處于探索階段，國內(nèi)外僅馬震岳團(tuán)隊針對機(jī)組-廠房結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動傳導(dǎo)分析[12-17]。有必要研究多種傳導(dǎo)分析方法進(jìn)行分析，以功率流為代表的能量傳導(dǎo)法在其領(lǐng)域發(fā)展迅猛，20世紀(jì)70年代后期，用功率流方法評價振動噪聲得到廣泛認(rèn)可[18-19]，其中PINNINGTON等[20-21]對功率流的若干研究成果做了系統(tǒng)全面的歸納。目前，功率流理論已在機(jī)械振動傳導(dǎo)、減振隔振[22-23]、噪聲分析與噪聲控制等研究領(lǐng)域得到應(yīng)用，取得顯著成果。功率流方法在傳導(dǎo)分析中具有明顯優(yōu)勢，在多擾動條件下的機(jī)組-廠房結(jié)構(gòu)振動傳導(dǎo)研究中引入功率流方法能避免高階矩陣的偏導(dǎo)求解，為多擾動水電機(jī)組振動傳導(dǎo)的研究提供一種新的分析方法，也能對水電站振動控制提供可相互驗證的理論依據(jù)。

之前的研究中，作者以攝動法為基礎(chǔ)，分析了復(fù)雜擾動條件下，攝動法與Monte-Carlo模擬的誤差，該研究能為本文提供與隨機(jī)模擬法的差別，由于分析模型隨機(jī)參數(shù)多達(dá)42個，隨機(jī)模擬法計算量將不可估計，方法不再適用，最終，本文在功率流理論、Kronecker代數(shù)、Hadamard積、隨機(jī)攝動理論等方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合雙擾動性及參數(shù)之間相關(guān)、擾動之間相關(guān)性的特點，提出適用于水電機(jī)組的復(fù)雜擾動功率流分析方法，并進(jìn)行理論分析和數(shù)值計算，給出隨機(jī)路徑的水力振動功率流的一階矩及二階矩的數(shù)學(xué)表達(dá)，為研究具有兩類參數(shù)不確定的水電機(jī)組振動能量傳導(dǎo)問題提供的依據(jù)。

1 振動傳遞路徑系統(tǒng)的功率流方法

功率是指單位時間內(nèi)作用荷載所做的功即式(1)，其中，F(xiàn)i和Vi分別代表結(jié)構(gòu)有限域?qū)?yīng)的作用荷載和速度分量，可見功率能有效地反映出外荷載和結(jié)構(gòu)響應(yīng)的組合特征，也能反映出結(jié)構(gòu)的阻抗特性，因此在結(jié)構(gòu)振動傳導(dǎo)中，對復(fù)雜結(jié)構(gòu)中能量傳導(dǎo)路徑的識別意義重大。若在時域內(nèi)對某時間段通過某截面或某區(qū)域的功率進(jìn)行匯總，便可實現(xiàn)對復(fù)雜結(jié)構(gòu)功率傳導(dǎo)規(guī)律的分析。若結(jié)構(gòu)荷載可簡化為簡諧荷載，其結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)也呈簡諧變化，則對某時段某點的功率流計算公式可表達(dá)為式(2)。將式(2)中的變量用復(fù)向量表示，并進(jìn)行復(fù)數(shù)運算，可得式(3)的表達(dá)形式，右上角標(biāo)帶有*表示向量的共軛向量。

Pi=Fi·Vi

(1)

(2)

(3)

式中，Pi為T時間段內(nèi)功率流的有效值，單位W；Fi為簡諧荷載，復(fù)向量，單位N；Vi為結(jié)構(gòu)某點的響應(yīng)速度值，復(fù)向量，單位m/s；ω為簡諧振動的角頻率，單位rad/s；φ為速度與荷載的相位角，單位rad。β=V/F即是結(jié)構(gòu)點導(dǎo)納，1/β即為節(jié)點阻抗，可以通過實驗的方法測得結(jié)構(gòu)功率流的傳導(dǎo)。若荷載激勵用一個力功率譜密度來定義的，那么P(ω)就是功率流譜密度。

假設(shè)整個機(jī)組廠房結(jié)構(gòu)只在水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪處受豎向簡諧激勵，如圖1所示，且初始相位在整個過程中不發(fā)生改變，傘式機(jī)組的水電站水力振源的豎向振動可看作位于水輪機(jī)處的單振源多路徑振動系統(tǒng)，將其簡化成多路徑的功率流系統(tǒng)，如圖2所示。將各個部件分解成隔振系統(tǒng)中的質(zhì)量單元和隔振單元，即理論上將單元的振動能量分離計算，質(zhì)量作為剛體單獨作用，單元的剛度和阻尼組成隔振單元，此時可利用功率流的相關(guān)理論計算得到兩條路徑的總功率流。由于水電站的機(jī)墩部分直接與地基部分相連，并作剛性假設(shè)，因此不考慮基礎(chǔ)作用。由于各路徑內(nèi)包含多個部件，因此路徑內(nèi)作為多層隔振系統(tǒng)考慮，路徑內(nèi)動力傳遞關(guān)系圖如圖3所示。

根據(jù)功率流四端參數(shù)法有：

圖1 傘式機(jī)組和廠房耦合系統(tǒng)簡化模型Fig.1 Simplified model of the umbrella unit

圖2 功率流路徑示意圖Fig. 2 Transfer path of the power flow

圖3 多層隔振系統(tǒng)及動力傳遞示意圖Fig.3 The power transfer path of multi-layer isolation system

(4)

(5)

(6)

(7)

其中，

(8)

(9)

由此可計算各路徑功率為：

(10)

(11)

式中，Pzhou，F(xiàn)zhou，Vzhou分別為通過軸系振動傳遞至機(jī)墩的功率流，力和速度；Pding，F(xiàn)ding，Vding分別為振動通過頂蓋系統(tǒng)傳遞至機(jī)墩的功率流，力和速度，至此可得各路徑的功率流排序。功率流方法僅關(guān)注結(jié)構(gòu)輸入輸出之間的能量關(guān)系，避免了求解整體結(jié)構(gòu)的動力平衡方程，即無需建立結(jié)構(gòu)的整體剛度、阻尼、質(zhì)量有限元矩陣，大幅度降低了計算時間，提高了工程應(yīng)用的計算效率，同時功率流方法也具有表征直觀等多種優(yōu)勢。

2 基于復(fù)雜擾動的功率流路徑排序

在水電站結(jié)構(gòu)分析中，剛度、質(zhì)量、阻尼等參數(shù)由于材料性質(zhì)、制造安裝工藝等因素使參數(shù)具有乘性擾動性，而通過測試的方法得到相關(guān)參數(shù)，由于環(huán)境噪聲和測量噪聲的存在，使參數(shù)具有加性擾動性；同時由于測試儀器與測量方法的一致性和連續(xù)結(jié)構(gòu)離散化的方式得到參數(shù)，使參數(shù)具有相關(guān)性和互相關(guān)擾動。

考慮以上情況，將質(zhì)量、剛度、阻尼描述為一個含n個隨機(jī)變量的隨機(jī)向量a，且隨機(jī)變量同時存在兩類擾動量，當(dāng)各變量的擾動性小于均值的15%時，可將隨機(jī)變量表示為

(12)

(13)

(14)

Cov(ai,aj)=ρa(bǔ)i,ajσaiσaj

(16)

(17)

其中

(18)

忽略二階以上分量，傳遞力的擾動量為：

(19)

(20)

(21)

由式(21)可知，傳遞功率Pi和Pj的協(xié)方差函數(shù)Cov(Pi,Pj)可用結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)的協(xié)方差函數(shù)Cov(ak,al)來表示。

(22)

若i=j，則：

(23)

根據(jù)Kronecker代數(shù)(Vetter 1973)，隨機(jī)攝動理論和Hadamard積的定義得：

(24)

(25)

將式(25)代入式(24)即可得到各路徑傳遞功率Pi的方差。式(21)只給出了一階泰勒展開，若取更高階則精度更高，但會大大增加數(shù)學(xué)計算的復(fù)雜度以及計算量。式(24)表明，在求解傳遞力方差時，利用隨機(jī)變量的數(shù)字特征直接得到，而樣本不參與運算，簡化了計算量；同時考慮參數(shù)之間相關(guān)性時僅在式(24)中進(jìn)行相應(yīng)的修正，未對擾動量的計算增加過多的計算量。定義傳遞率為傳遞功率的幅值與振源激振力幅值之比：

(26)

若不考慮激振功率P0的擾動性，根據(jù)隨機(jī)變量概率分析的代數(shù)綜合法，傳遞率的期望和方差以及傳遞系數(shù)為：

(27a)

(27b)

θ=Eβ/σβ

(27c)

式中，ρ為傳遞與輸入功率流的相關(guān)系數(shù)。由于服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量除以常數(shù)時，仍為正態(tài)分布。而E[P0]、E[Pi]對于確定系統(tǒng)而言均是可知的，因此傳遞率的方差仍服從正態(tài)分布，傳遞系數(shù)是激振力的傳遞效率。通過改變激振力的頻率即可得到振動路徑的傳遞率在頻域內(nèi)的梯度排序。

上述方法給出了考慮兩類擾動量及兩類相關(guān)性的振動傳遞路徑分析方法，最終給出路徑傳遞率以及傳遞率的概率特性，在求解過程中只涉及隨機(jī)參數(shù)的一階靈敏度和隨機(jī)變量的概率特性，且兩個相關(guān)系數(shù)的引入未過多增加計算量，在簡化了計算量的同時提高了計算精度，給解決變異性較小的大體積工程結(jié)構(gòu)的計算問題帶來了方便。

3 水電站仿真分析

以某巨型混流立軸傘式水輪發(fā)電機(jī)組-廠房結(jié)構(gòu)振動傳導(dǎo)模型為例，結(jié)構(gòu)如圖1所示，不考慮蝸殼及其下部結(jié)構(gòu)影響，假設(shè)激勵為1.00×106的簡諧激勵，隨機(jī)參數(shù)均值由水電站施工設(shè)計圖計算得到，含頂蓋系統(tǒng)的振動模型簡化過程見文獻(xiàn)[17]，各參數(shù)均值如下：m1=8.28×104，m2=1.042×106，m3=3.29×105，m4=9.00×105，m5=1.20×105，m6=1.15×105，m7=4.79×106，質(zhì)量m的單位為kg；k1=7.26×1010，k3=5.72×1010，k4=2.32×1010，k51=2.20×1012，k52=9.41×109，k61=1.73×108，k62=1.73×1010，剛度k單位N/m；c1=5.48×106，c3=4.11×106，c4=1.02×107，c51=2.57×107，c52=7.51×105，c61=2.23×105，c62=9.99×104，阻尼c的單位為N·s/m；各參數(shù)含兩個服從正態(tài)分布的擾動量，其中乘性擾動量與參數(shù)獲取的難易程度有關(guān)，即：包含推力軸承的豎向剛度k51和頂蓋與轉(zhuǎn)輪之間的密封等效豎向剛度k61乘性方差系數(shù)為0.15；頂蓋上承載的控制部件等附加部件較多，使不確定因素較多，取等效彎曲剛度k62的乘性方差系數(shù)為0.1；其余參數(shù)的乘性方差系數(shù)為0.05。加性隨機(jī)量中包含環(huán)境噪聲和測量噪聲，隨機(jī)量幅度往往與測量量程有關(guān)，假定各參數(shù)可測，以各參數(shù)的均值確定參數(shù)量程，以測試量程為擾動量取值依據(jù)，分別取質(zhì)量的加性擾動的方差為104和剛度的加性擾動的方差為108。

圖4、圖5給出不同計算方法下，軸系路徑的傳遞率期望和方差，其中“不相關(guān)”為不考慮兩類相關(guān)性的算法；“擾動相關(guān)”為只考慮擾動量之間相關(guān)性的算法(采用Vetter, 1973所用計算方法)；“參數(shù)相關(guān)”為只考慮參數(shù)之間具有相關(guān)性的算法(與方法2類似)；“兩類相關(guān)”為同時考慮兩類相關(guān)性的算法，即由式(24)計算所得的結(jié)果。圖4、圖5中分別給出了400-405 rad/s的局部放大特性曲線。

圖4和圖5表明：①同時考慮兩類相關(guān)性的方法相較于其他方法所得方差范圍最小，由此可得出考慮兩類相關(guān)性的方法在具有理論支持的情況下，顯著的縮小了擾動性范圍，其中考慮兩類相關(guān)性的計算中，期望降低了18.09%，方差降低了99.78%;②擾動量之間的相關(guān)性有助于減小期望范圍，降幅51.05%，但方差不顯著僅降低0.41%，這種現(xiàn)象的產(chǎn)生推測是由于加性擾動量與乘性擾動量的差異較大，使相關(guān)系數(shù)對擾動量范圍修正作用減小造成的；③參數(shù)間所具有的相關(guān)性對方法范圍的減小產(chǎn)生明顯的優(yōu)化作用，參數(shù)間相關(guān)系數(shù)僅0.002 3時，期望降幅59.75%，方差降幅99.78%。

圖4 各方法計算軸系傳導(dǎo)功率期望值Fig. 4 Expectation of the shaft transmissibility in the frequency domain by different methods

圖5 各方法計算軸系傳導(dǎo)功率方差值Fig. 5 Variance of the shaft transmissibility in the frequency domain by different methods

圖4和圖5表明：在結(jié)構(gòu)分析中，分析期望(均值)時需考慮擾動相關(guān)性，分析方差時需考慮參數(shù)相關(guān)性，以往忽略相關(guān)性對精確分析十分不利。

圖6給出考慮兩類相關(guān)性的豎向振動路徑功率傳遞率的期望排序，圖7給出方差排序。軸系統(tǒng)傳遞率期望與方差均大于頂蓋系統(tǒng)，軸系統(tǒng)與頂蓋系統(tǒng)的傳遞能量比比為142 862：1，軸系統(tǒng)與頂蓋系統(tǒng)的傳遞率期望比為213 399：1；相較于隨機(jī)攝動法計算的傳遞率而言[23]，兩條路徑傳遞比約為攝動法計算結(jié)果的平方，這是由于功率流由力和速度構(gòu)成，而傳遞力并不考慮速度的因素，因此，結(jié)果也將引入速度的倍數(shù)關(guān)系。圖6、7表明頂蓋系統(tǒng)傳遞率遠(yuǎn)小于軸系統(tǒng)，印證了傳統(tǒng)分析忽略頂蓋系統(tǒng)的可行性，同時也與實際工程中并未出現(xiàn)頂蓋系統(tǒng)振動過大這一現(xiàn)象向吻合，但為精確分析結(jié)構(gòu)振動形態(tài)、振動分布、以及區(qū)分振動傳遞路徑、復(fù)雜結(jié)構(gòu)可靠度等時，考慮頂蓋系統(tǒng)是有必要的。

圖6 考慮兩類相關(guān)性的各路徑傳遞率期望值Fig. 6 Expectation of paths transmissibility with two type relevance

圖7 考慮兩類相關(guān)性的各路徑傳遞率方差值Fig. 7 Variance of paths transmissibility with two type relevance

4 結(jié) 論

實際測試環(huán)境中，擾動成分十分復(fù)雜，干擾源也不能完全確定，用單擾動量進(jìn)行分析存在局限性，因此，在作者之前研究的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步推導(dǎo)了考慮兩類相關(guān)性的功率流隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)分析方法，并將其應(yīng)用于水電站豎向振動傳導(dǎo)分析，其研究不僅僅完善了隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)振動分析方法，并為研究多擾動條件下水電站振動傳導(dǎo)問題提供了新的思路，本文主要得到以下結(jié)論：

(1) 利用功率流理論、Kronecker代數(shù)、Hadamard積、隨機(jī)攝動理論等方法，推導(dǎo)考慮兩類相關(guān)性的功率流隨機(jī)參數(shù)分析方法，得到可用于多擾動能量傳導(dǎo)的傳遞能量、傳遞率及其數(shù)學(xué)特征值等問題的解析計算方法。

(2) 傘式水輪發(fā)電機(jī)組軸系統(tǒng)和廠房結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析結(jié)果表明相關(guān)系數(shù)對擾動性范圍的影響較大，其中分析期望時，必須考慮擾動之間的相關(guān)性，分析方差時必須考慮參數(shù)之間的相關(guān)性。

(3) 傘式機(jī)組-廠房結(jié)構(gòu)豎向振動傳導(dǎo)分析中，軸系統(tǒng)傳遞率遠(yuǎn)大于頂蓋系統(tǒng)，傳統(tǒng)分析中，忽略頂蓋系統(tǒng)是可行的，但在進(jìn)一步精確分析時，有必要考慮頂蓋系統(tǒng)對整個機(jī)組-廠房耦合結(jié)構(gòu)振動的影響。

水電站機(jī)組與廠房的振動傳遞路徑是一個復(fù)雜的過程，通過對水電站豎向振動模型在頻域內(nèi)傳遞功率的靈敏度以及功率的傳遞率分析可以清晰的了解豎向振動中各傳遞路徑的貢獻(xiàn)度，為研究整個水電站機(jī)組廠房的傳遞路徑打下基礎(chǔ)。

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Power flow transmissibility analysis considering complex disturbances in hydropower stations

TAO Yongxia1,2, ZHI Baoping1,2, LIU Ziqi3, MA Zhenyue4

(1 .Engineering Technology Research Center of Small Watershed Conservancy University of Henan Province, Kaifeng 475004，China;2 .Yellow River Conservancy Technical Institute, Kaifeng 475004，China;3.Yellow River Water Conservancy and Hydropower Development Corporation, Zhengzhou 450003，China;4. Faculty of Infrastructure Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116023，China)

The effects of structural parameter disturbances on the dynamic characteristics of an actual hydropower station powerhouse were analysed. The power flow analysis method considering complex disturbances and parameter-related disturbances were focused. On the basis of single disturbance analysis, the stochastic perturbation method was expanded and integratedly used with the dual disturbances analysis, power flow analysis, Kronecker algebra and Hadamard product. The correctness and feasibility of the method were validated by an example of analyzing the vibration model of the hydropower station powerhouse. The results indicate that the method proposed can efficiently reduce the disturbance range and can accurately analyze the transfer paths of vertical vibration in hydropower stations.

complex disturbance; power flow; stochastic perturbation method; transfer path; hydropower station

國家自然科學(xué)基金資助(51379030)

2015-08-05 修改稿收到日期： 2016-01-20

陶永霞 女，碩士生，副教授，1971年12月生

職保平 男，博士生，講師，1983年9月生

E-mail:clownzhi@hotmail.com

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10.13465/j.cnki.jvs.2017.06.015