葉犇宇

摘要：數(shù)列問題，不僅對高中數(shù)學(xué)來說舉足輕重，是高考數(shù)學(xué)壓軸大題，更是進入大學(xué)后高等數(shù)學(xué)級數(shù)問題的基礎(chǔ)。數(shù)列問題，可以同時蘊含了遞歸、放縮、因式分解、數(shù)學(xué)歸納等數(shù)學(xué)思想方法，多種思想摻雜在一起，導(dǎo)致數(shù)列問題難度很大，同時解法百花齊放。通過3個例題，從易到難分別介紹函數(shù)與數(shù)列問題的求解、數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用、歐拉級數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用，并對數(shù)列問題的解法進行總結(jié)，提出針對數(shù)列問題的想法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列 歐拉級數(shù) 研究與應(yīng)用

數(shù)列問題，可以和很多高中數(shù)學(xué)知識點交叉，如數(shù)列與函數(shù)、方程相結(jié)合問題，數(shù)列與不等式相結(jié)合問題、數(shù)列和極限相結(jié)合問題，等等。本文主要從三個方面入手：函數(shù)與數(shù)列問題、數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中應(yīng)用、歐拉級數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用，分別給出一個例題，求解之后對這幾個方面的數(shù)列問題總結(jié)歸納，提出針對數(shù)列問題的想法。

一、函數(shù)與數(shù)列問題

對于高中數(shù)學(xué)來說，數(shù)列是高考的難點和重點，同時，函數(shù)問題也是高考躲不過逃不過的難題，對于函數(shù)與數(shù)列知識點交叉的問題來說，如何尋找有效的突破口，是解這類問題的關(guān)鍵所在。

思路分析：函數(shù)與數(shù)列知識點交叉的問題，通常會給出函數(shù)的表達式，大部分此類題型都會已知函數(shù)與數(shù)列元素間關(guān)系，某些不給出具體關(guān)系，但通過簡單的代入遞推也可以求出關(guān)系，如上題。函數(shù)只是一個工具，它的作用就是求出數(shù)組元素間的關(guān)系（一般是an-1與an之間的關(guān)系），再通過求出的數(shù)列元素間的關(guān)系，求出題目問題所需要求的數(shù)列表達式。

三、數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法，即通過對一些特例或簡單情形進行觀察與綜合以發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的一種科學(xué)思維方法，數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的創(chuàng)造與再創(chuàng)造過程。數(shù)學(xué)研究過程中，常常需要先對問題先進行假設(shè)，再根據(jù)假設(shè)進行合理的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，把特殊情況推廣至一般情況。所以，數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)研究過程中，占有極大的地位，是其最重要的基本方法之一。對于某些特定的數(shù)列問題，可以使用數(shù)學(xué)歸納法快速的得到答案。

三、歐拉級數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用

四、總結(jié)

數(shù)列問題，千奇百變，但萬變不離其宗，歸根結(jié)底可以分為這么三類，一是求數(shù)列的表達式，二是數(shù)列的求和，三是數(shù)列與不等式的證明。對于這三類問題，可以有許多方法去求解，文中提到的函數(shù)代入、數(shù)學(xué)歸納法和歐拉常數(shù)法只是眾多解法的冰山一角，平時養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維，多總結(jié)解題思路和方法才能做到百戰(zhàn)不殆。

參考文獻：

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[2]黃其宣.無窮級數(shù)求和方法研究[J].企業(yè)技術(shù)開發(fā)，2009，（09）：140-144.