許愛芬,賈巨民，陳雨青

(1.軍事交通學(xué)院 軍事物流系，天津 300161； 2.41軍工兵力，湖南 衡陽(yáng) 421000)

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● 基礎(chǔ)科學(xué)與技術(shù) Basic Science & Technology

螺旋非圓錐齒輪齒面節(jié)線數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

許愛芬1,賈巨民1，陳雨青2

(1.軍事交通學(xué)院 軍事物流系，天津 300161； 2.41軍工兵力，湖南 衡陽(yáng) 421000)

以研究螺旋非圓錐齒輪齒面節(jié)線的構(gòu)建原理為目的，基于映射法構(gòu)建螺旋非圓錐齒輪齒面節(jié)線的數(shù)學(xué)模型，依據(jù)密切面的思想及算法，完成螺旋非圓錐齒輪實(shí)體模型的構(gòu)建。運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法及模型的正確性。

變傳動(dòng)比；非圓錐齒輪；齒面節(jié)線

汽車差速器的作用是保證汽車驅(qū)動(dòng)橋兩側(cè)車輪在行程不等時(shí)能以相應(yīng)的不同轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，從而滿足汽車行駛運(yùn)動(dòng)學(xué)的要求。為提高車輛通過冰雪、泥濘及松軟地面的能力，限滑差速器應(yīng)運(yùn)而生，其結(jié)構(gòu)形式可以分為人工控制式、被動(dòng)控制式和主動(dòng)控制式。變傳動(dòng)比限滑差速器作為被動(dòng)控制式的一種，近年來(lái)成為業(yè)界研究的熱點(diǎn)。其核心機(jī)構(gòu)是一對(duì)非圓錐齒輪副，能夠?qū)崿F(xiàn)相交軸之間的變速比傳動(dòng)，既可以實(shí)現(xiàn)普通圓錐齒輪差速器的差速功能，也可以鎖緊防滑。

賈巨民等[1]、趙玉民等[2-3]、馬延會(huì)[4]主要對(duì)非圓錐齒輪的設(shè)計(jì)原理進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[1]應(yīng)用微分幾何的曲面論定理，將非圓錐齒輪副傳動(dòng)的球面節(jié)曲線保測(cè)地曲率地映射到平面上，引入當(dāng)量齒輪和當(dāng)量節(jié)曲線的概念，將復(fù)雜的空間嚙合問題簡(jiǎn)化成平面問題，給出齒形的設(shè)計(jì)計(jì)算方法。平面設(shè)計(jì)完成后，再采用相反程序，將平面齒形曲線保測(cè)地曲率地映射到球面上，生成空間的三維齒廓。文獻(xiàn)[2-4]在文獻(xiàn)[1]的分析方法基礎(chǔ)上，給出了非圓錐齒輪節(jié)曲線展開的詳細(xì)算法，并以此為基礎(chǔ)，通過確定插齒刀的節(jié)圓沿平面當(dāng)量節(jié)曲線做純滾動(dòng)時(shí)插齒刀上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，模擬插齒刀加工包絡(luò)出當(dāng)量齒輪的齒形過程，并實(shí)現(xiàn)非圓錐齒輪的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。

賈慶祥等[5]和裴玉哲[6]主要對(duì)非圓錐齒輪的加工方法進(jìn)行了研究。根據(jù)短程曲線的測(cè)地曲率原理和圓錐齒輪球面漸開線形成原理，提出了一種非圓錐齒輪的球面漸開線齒廓設(shè)計(jì)方法，并在CIATA中進(jìn)行三維建模及運(yùn)動(dòng)分析。其目的是為了產(chǎn)形線切齒法在非圓錐齒輪的球面漸開線齒加工方面的推廣和應(yīng)用。

文獻(xiàn)[7-8]主要對(duì)非圓錐齒輪副進(jìn)行了試驗(yàn)研究。分析了一種三周節(jié)變傳動(dòng)比限滑差速器的工作原理，并將其與裝有普通差速器的車輛進(jìn)行性能對(duì)比試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果表明該差速器具有增大牽引力和縮短制動(dòng)距離的作用。

鄭方炎等[9]和侯東海等[10]主要對(duì)斜齒非圓(錐)齒輪進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[9]將斜齒錐齒輪的理論知識(shí)應(yīng)用到非圓齒輪領(lǐng)域，得到了斜齒非圓錐齒輪的傳動(dòng)形式，基于包絡(luò)原理的齒面生成方法，推導(dǎo)了其數(shù)學(xué)模型，并建立了非圓錐齒輪的模型。文獻(xiàn)[10]介紹了非圓齒輪齒廓的形成原理?；诠ぞ咝饼X條法加工斜齒非圓齒輪動(dòng)軸線變傳動(dòng)比復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系，建立了其理論分析的數(shù)學(xué)模型，分析了斜齒非圓齒輪齒廓的端面截形、節(jié)圓柱面截形以及瞬時(shí)接觸線。

上述各研究成果對(duì)本文的研究提供了極有價(jià)值的理論借鑒，但是其研究對(duì)象主要是直齒非圓錐齒輪。螺旋錐齒輪與直齒錐齒輪相比，具有重疊系數(shù)大、負(fù)載能力強(qiáng)、可以實(shí)現(xiàn)大傳動(dòng)比等優(yōu)點(diǎn)。因此，對(duì)螺旋非圓錐齒輪進(jìn)行研究具有極重要的理論意義和極高的工程實(shí)用價(jià)值。

1 螺旋非圓錐齒輪齒面節(jié)線數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

1.1 齒面節(jié)線的形成原理

本文利用螺旋圓錐齒輪的齒面節(jié)線(螺旋線)向非圓錐齒輪節(jié)面進(jìn)行映射的方法求得非圓錐齒輪的齒面節(jié)線，即令螺旋圓錐齒輪與非圓錐齒輪的節(jié)面進(jìn)行純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，求出螺旋圓錐齒輪的齒面節(jié)線與非圓錐齒輪節(jié)面的交點(diǎn)，連接成線，即可獲得非圓錐齒輪的齒面節(jié)線。

螺旋圓錐齒輪的齒面節(jié)線方程為

式中：Tb為螺旋線的螺距；γ為轉(zhuǎn)動(dòng)角度；μ為圓錐錐角的一半；L為母線長(zhǎng)。

以非圓錐齒輪的錐頂為原點(diǎn)建立固定坐標(biāo)系O0-x0y0z0，以螺旋錐齒輪大端的圓心為原點(diǎn)建立固定坐標(biāo)系O1-x1y1z1，當(dāng)螺旋錐齒輪繞旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過角度θ后，其隨動(dòng)坐標(biāo)系為O2-x2y2z2，如圖1所示。

圖1 螺旋錐齒輪與非圓錐齒輪節(jié)面位置關(guān)系

1.2 螺旋非圓錐齒輪齒面節(jié)線的生成

首先將坐標(biāo)系O2-x2y2z2中的點(diǎn)轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系O1-x1y1z1中，根據(jù)坐標(biāo)變換關(guān)系[11]，兩坐標(biāo)系相差的角度為θ，因此坐標(biāo)變換關(guān)系為

θ可以根據(jù)螺旋錐齒輪節(jié)面和非圓錐齒輪節(jié)面之間的純滾動(dòng)關(guān)系求出[12]，母線為一定值時(shí)，節(jié)曲線的長(zhǎng)度為

式中：

根據(jù)上述計(jì)算，便可以將坐標(biāo)系O2-x2y2z2中的點(diǎn)轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系O1-x1y1z1中。當(dāng)球面半徑a為一定值時(shí)，利用坐標(biāo)變換便可以得到坐標(biāo)系O1-x1y1z1與O0-x0y0z0的變換關(guān)系。對(duì)于任意的球面半徑a，節(jié)曲線上周向的單位切向量t1為

同理，徑向的單位切向量t2為

根據(jù)向量叉乘的定義，可以得到與向量t1和t2分別垂直的向量n為

n=t1×t2

由于n的方向并不與圓錐底面平行，而是相差一定的角度，因此將n偏轉(zhuǎn)一定角度，獲得新向量m，使其經(jīng)過圓錐底面圓心：

m=t2sinμ+ncosμ

式中μ為螺旋錐齒輪錐角的一半。

向量m的3個(gè)方向的分量分別是m1、m2、m3。節(jié)曲線的法線等距線是根據(jù)曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)及該點(diǎn)沿m向量方向的位移構(gòu)建的，可以表示為

(xm,ym,zm)即為坐標(biāo)系O1-x1y1z1原點(diǎn)坐標(biāo)，還需要求出這個(gè)坐標(biāo)系的方向參數(shù)，再使用向量間的坐標(biāo)變換。坐標(biāo)系O1-x1y1z1的坐標(biāo)軸用向量可以表示為

坐標(biāo)系O0-x0y0z0的坐標(biāo)軸向量為

根據(jù)坐標(biāo)變換原理，可以得到坐標(biāo)系O1-x1y1z1和坐標(biāo)系O0-x0y0z0的坐標(biāo)變換關(guān)系：

式中：p1、p2、p3為向量p的3個(gè)分量；q1、q2、q3為向量q的3個(gè)分量。

綜上所述，將圓錐面上螺旋線坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到非圓錐齒輪坐標(biāo)系為

r=M10M21r0

(1)

將各個(gè)參數(shù)代入式(1)，即可將圓錐面上的螺旋線映射到非圓錐齒輪節(jié)面上，從而獲得非圓錐齒輪齒面節(jié)線的數(shù)學(xué)模型。

本課題研究的螺旋非圓錐齒輪共有9個(gè)齒，每個(gè)齒與節(jié)錐可以相交出兩條齒面節(jié)線，共18條齒面節(jié)線。將上述齒面節(jié)線的數(shù)學(xué)模型通過Matlab編程、SolidWorks環(huán)境繪制得到的齒面節(jié)線如圖2所示。

2 螺旋非圓錐齒輪模型生成

基于密切面思想，將螺旋非圓錐齒輪的齒面節(jié)線分割為若干份，每個(gè)分割點(diǎn)將對(duì)應(yīng)一條球面節(jié)曲線，以該球面節(jié)曲線為基礎(chǔ)，以分割點(diǎn)為起點(diǎn)，根據(jù)文獻(xiàn)[1]的方法分別計(jì)算出齒形曲線，并將齒形曲線沿齒面節(jié)線方向進(jìn)行放樣連接，即可獲得螺旋非圓錐齒輪的齒形(如圖3所示)。圖4為螺旋非圓錐齒輪副的嚙合圖。

圖2 齒面節(jié)線示意

(a)單周期內(nèi)的齒形 (b)全周期內(nèi)的齒形 圖3 螺旋非圓錐齒輪的齒形

圖4 螺旋非圓錐齒輪副的嚙合

將圖4中的齒輪副基于ADMAS環(huán)境進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，結(jié)果表明，其運(yùn)轉(zhuǎn)狀況良好，不會(huì)出現(xiàn)卡死、漏齒等情況，其實(shí)際嚙合曲線與理論曲線基本相符，在此不再贅述。

3 結(jié) 論

(1)本文所提出的“映射法”生成非圓錐齒輪齒面節(jié)線的方法是切實(shí)可行的；

(2)基于密切思想構(gòu)建的螺旋非圓錐齒輪的模型是正確的。

上述研究成果為變傳動(dòng)比限滑差速器非圓錐齒輪設(shè)計(jì)及其嚙合理論的完善及創(chuàng)新提供了理論和技術(shù)支撐。

[1] 賈巨民,高波,趙德龍.基于保測(cè)地曲率映射的非圓錐齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)分析方法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2008,44(4):53-57.

[2] 趙玉民,倪俊義,馬延會(huì).非圓錐齒輪的三維計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)[J].機(jī)械傳動(dòng),2010,34(9): 47-50.

[3] 趙玉民,馬延會(huì),華林，等.非圓錐齒輪節(jié)曲線的平面展開算法研究[J].中國(guó)機(jī)械工程,2008,19(17):2046-2049.

[4] 馬延會(huì).變傳動(dòng)比限滑差速器的齒輪設(shè)計(jì)[D].武漢:武漢理工大學(xué),2007.

[5] 賈慶祥,裴玉哲,高士龍，等.球面漸開線齒形非圓錐齒輪的設(shè)計(jì)與分析[J].機(jī)械傳動(dòng), 2014,38(3): 80-82.

[6] 裴玉哲.球面漸開線非圓錐齒輪產(chǎn)形線切齒法的研究[D].長(zhǎng)春:吉林大學(xué),2014.

[7] 姜虹,王小椿.三周節(jié)變傳動(dòng)比限滑差速器設(shè)計(jì)與試驗(yàn)[J].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào),2007,38(4):31-34.

[8] 姜虹,王小椿.三周節(jié)變傳動(dòng)比限滑差速器性能分析及試驗(yàn)研究[J].工程機(jī)械,2006,37(12):19-22.

[9] 鄭方焱,李波,吳俊峰，等.斜齒非圓錐齒輪的數(shù)學(xué)模型與實(shí)例分析[J].機(jī)械設(shè)計(jì), 2014,31(11):41-45.

[10] 鄭方焱,劉忠明.用工具斜齒條法加工斜齒非圓齒輪的嚙合理論模型[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2003,39(8):49-54.

[11] 吳序堂. 齒輪嚙合原理[M].3版．北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2009：127-131.

[12] 吳序堂,王貴海.非圓錐齒輪及非勻速比傳動(dòng)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,1997：45-49.

(編輯：史海英)

Mathematical Model of Tooth Section Line of Spiral Noncircular Bevel Gear

XU Aifen1, JIA Jumin1, CHEN Yuqing2

(1.Military Logistics Department, Military Transportation University, Tianjin 300161, China; 2.41 Army Corps of Engineers, Hengyang 421000, China)

s： To study the building principle of tooth section line of spiral noncircular bevel gear, the paper firstly establishes a mathematical model of tooth section line of spiral noncircular bevel gear with mapping method, and then establishes a spiral noncircular bevel gear solid model according to the theory and algorithm of osculating planes. The Kinematics simulation results verify the correctness of the algorithm and the model.

variable ratio; noncircular bevel gear; tooth section line

2016-07-03；

2016-07-16．

天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃項(xiàng)目(12JCZDJC34600)．

許愛芬(1972—)，女，博士，副教授．

10．16807/j.cnki.12-1372/e.2017.03.021

TH132.42

A

1674-2192(2017)03- 0087- 04