盧嘉澍

【摘要】 本文基于蒙特卡洛方法的定義，給出使用其進(jìn)行近似積分的一般步驟，并以均勻分布為例講解了具體操作步驟.積分算例表明，這種方法概念簡(jiǎn)單、編程容易，可應(yīng)用于工程實(shí)際問題中重要的數(shù)值積分計(jì)算.

【關(guān)鍵詞】 積分計(jì)算；蒙特卡洛法；區(qū)間估計(jì)

一、引 言

蒙特卡洛法，也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，是一種計(jì)算機(jī)化的數(shù)學(xué)方法.20世紀(jì)40年代中葉出現(xiàn)了電子計(jì)算機(jī)，使得用數(shù)學(xué)方法模擬大量試驗(yàn)成為可能.另外，隨著科學(xué)技術(shù)不斷發(fā)展，出現(xiàn)了越來越多的復(fù)雜問題，用通常的解析方法或數(shù)值方法都難解決.蒙特卡洛法（包括求積分、微分以及線性、非線性方程組等）就是在這些情況下，作為一種可行的，且是不可缺少的計(jì)算方法被提出和迅速發(fā)展起來的.以概率論為理論基礎(chǔ)，其可靠性與收斂性也能得到很好地說明.在通常積分的求解中，常用數(shù)值積分公式對(duì)積分進(jìn)行求解.然而數(shù)值求積公式的精度將受到積分維數(shù)的影響，同時(shí)，對(duì)于無(wú)窮積分，將其近似地看作定積分本身也會(huì)喪失一定的精度.

二、算法思想

對(duì)于積分若能選取連續(xù)型隨機(jī)變量X，其概率密度函數(shù)p（x）滿足如下條件：

1.p（x）>0，x∈ R n.

2.p（x）及其上側(cè)分位數(shù)已知.

則便可對(duì)上述積分作統(tǒng)計(jì)模擬并進(jìn)行誤差估計(jì).特別地，若取概率分布為D上的均勻分布，則其概率密度

g（x）= 1 m（D） .

其中m（D）為積分區(qū)域D的測(cè)度.則原積分可轉(zhuǎn)化為

即相當(dāng)于求隨機(jī)變量X在函數(shù)

下的數(shù)學(xué)期望，這就將積分問題轉(zhuǎn)化為期望估計(jì)問題，至此便可運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)相關(guān)理論，如點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)對(duì)其進(jìn)行求解.

三、公式推導(dǎo)

考慮一般情形，對(duì)于所求期望E（h（x）），我們運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)理論對(duì)其進(jìn)行區(qū)間估計(jì).首先，假設(shè)

為一束均勻分布族，把上式代入積分表達(dá)式，可得

根據(jù)此式，可以得到n重積分的估計(jì)式

根據(jù)上式即可使用基于均勻分布的樣本對(duì)所求積分進(jìn)行數(shù)值估計(jì).

四、實(shí) 例

（1）考慮一維情形.根據(jù)隨機(jī)分布g（x）隨機(jī)選取樣本（x1，x2，…，xn），

則可以給出積分

的估計(jì)式

同時(shí)，也可以給出基于區(qū)間估計(jì)的誤差，置信度為1-α的誤差為

其中Kα為同置信度有關(guān)的常數(shù)，并滿足|Kα|<1.故誤差滿足

我們可以得到，積分值的估計(jì)量θ ^ →∫baf（x）dx，誤差的大小不隨維數(shù)而顯著改變，故這種估計(jì)方法是合理的.若取f（x）=ex，考慮其在[0，1]上的積分.選取n=10 000，生成10 000個(gè)[0，1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，再根據(jù)上式進(jìn)行求解.使用MATLAB編程求解其在[0，1]內(nèi)積分的近似值，運(yùn)行代碼如下：

f=@（x）exp（x）；xx=rand（1，10000）；S=sum（f（xx））/

10000

輸出結(jié)果

S=1.718220782967407

對(duì)于任意區(qū)間[a，b]的均勻分布隨機(jī)數(shù)，總可以通過[0，1]內(nèi)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行線性映射得到

r′k=（b-a）rk+a.

綜上所述，使用蒙特卡羅法進(jìn)行積分計(jì)算的一般步驟為：

（1）根據(jù)概率密度函數(shù)，確定一組基于密度函數(shù)的容量為n的樣本（x1，x2，…，xn）.

（2）根據(jù)每層積分上下限的表達(dá)式，確定每一層相應(yīng)積分樣本的上下限.特別的，若積分為矩形區(qū)域上的積分，則樣本上下限即為相應(yīng)層積分區(qū)間的上下限[ai，bi].

（3）使用公式

對(duì)原積分進(jìn)行數(shù)值估計(jì).

五、結(jié) 語(yǔ)

使用蒙特卡洛方法進(jìn)行積分計(jì)算，理論上可以通過選取合適的隨機(jī)分布來提高蒙特卡洛方法的精度.

由于蒙特卡洛方法思想簡(jiǎn)單，易于編程實(shí)現(xiàn)，且一般的程序語(yǔ)言如C++，MATLAB，Mathematica都有生成各類常用分布隨機(jī)數(shù)的命令，更加方便了程序設(shè)計(jì).并且，其精度不會(huì)隨著積分維數(shù)增大而顯著增長(zhǎng)，對(duì)于計(jì)算一些復(fù)雜的高維積分有明顯的優(yōu)勢(shì).因此，可以推斷，蒙特卡洛方法將作為一種數(shù)值積分工具而得到廣泛應(yīng)用.