汪楚嬌　張艷群　韓麗霞

【摘要】 為了解決“離散數(shù)學(xué)”教育課程概念多、內(nèi)容散的問題，本文提出了針對不同內(nèi)容的學(xué)習(xí)策略，設(shè)計(jì)了針對離散數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)模型.在對課程的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了劃分的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)利用知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系，建立有序的前導(dǎo)關(guān)系.在貫穿數(shù)學(xué)建模思想上，提出了合理的教學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)模型，加強(qiáng)邏輯，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

【關(guān)鍵詞】 課程建設(shè)；教學(xué)改革；知識(shí)點(diǎn)；知識(shí)結(jié)構(gòu)

【基金項(xiàng)目】 2015年中國礦業(yè)大學(xué)校級(jí)教改項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2015YB26）.

一、引 言

離散數(shù)學(xué)課程，從1982年向本科生開設(shè)起，可以說進(jìn)行了不間斷的建設(shè).在1999年，離散數(shù)學(xué)被確定為計(jì)算機(jī)學(xué)院的重點(diǎn)建設(shè)課程.由于離散數(shù)學(xué)充分描述了計(jì)算機(jī)學(xué)科離散性的特點(diǎn)，為計(jì)算機(jī)學(xué)科的研究和應(yīng)用提供了有力的數(shù)學(xué)工具，同時(shí)，能夠訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維和推理能力，所以是計(jì)算機(jī)學(xué)科基礎(chǔ)理論課程.為了體現(xiàn)離散數(shù)學(xué)與后繼專業(yè)課的密切性，離散數(shù)學(xué)的教育目標(biāo)是使學(xué)生不僅能了解某個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)，而且要學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，提出相應(yīng)問題解決的一類數(shù)學(xué)方法.離散數(shù)學(xué)，既然是數(shù)學(xué)，其嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論是自身特色.但我們在教學(xué)中不能只陳述抽象的概念，證明抽象的定理，而應(yīng)讓學(xué)生清楚地感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“知其然，并知其所以然”的樂趣.該課程具有“概念多、內(nèi)容散、理論強(qiáng)且高度抽象”的特點(diǎn)，因而對概念的理解是這門學(xué)科的核心.因此，在教學(xué)實(shí)踐中，我們重點(diǎn)探索離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，針對如何提供有效的學(xué)習(xí)策略幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率.

二、課程知識(shí)結(jié)構(gòu)表示

在計(jì)算機(jī)本科專業(yè)中，離散數(shù)學(xué)一般主要包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)與圖論這四個(gè)部分.大量的概念和定義定理證明讓本來充滿樂趣和挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)變得枯燥無味.以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，學(xué)生們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的畏懼心理來自于對概念和性質(zhì)的掌握困難性上.而對概念掌握的困難其實(shí)在于學(xué)生不能理解概念定義的緣由以及用途.學(xué)生往往不能在腦海中建立起它們與現(xiàn)實(shí)世界中客觀事物的聯(lián)系，抓不住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，所以，通常對書上的例題一看就懂，但獨(dú)立解題的時(shí)候卻無從下手，因而，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)該門課程的興趣不高，教學(xué)效果不理想.因此，我們強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的過程是不斷建立體系的過程，通過幫助學(xué)生了解概念背后的真實(shí)含義，了解概念和概念之間的聯(lián)系，了解概念累積之后相關(guān)性質(zhì)的探討的目的性，來讓學(xué)生感受到概念不再只是文字和符號(hào)，概念是一種語言，是描述專業(yè)知識(shí)的活生生的語言.

離散數(shù)學(xué)各章節(jié)看似無多大聯(lián)系，但事實(shí)上整個(gè)課程體系相互聯(lián)系、相互依賴.圖、樹可作為我們認(rèn)識(shí)世界的一個(gè)直觀、有力的工具，集合的運(yùn)算、關(guān)系可用圖來描述；關(guān)系是在集合的基礎(chǔ)上來定義，函數(shù)是一種特殊的關(guān)系；代數(shù)系統(tǒng)的定義又是建立在關(guān)系的基礎(chǔ)上；而所有的推理證明都是在邏輯代數(shù)的指導(dǎo)下進(jìn)行.本文針對離散數(shù)學(xué)這門課程，按照課程的知識(shí)結(jié)構(gòu)，表示出一個(gè)以知識(shí)點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)圖.首先，要對知識(shí)進(jìn)行劃分、構(gòu)造知識(shí)結(jié)構(gòu)、再將知識(shí)結(jié)構(gòu)劃分為原子知識(shí)點(diǎn)，按照知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容和之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系進(jìn)行劃分，把知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系表示為有序關(guān)系，讓學(xué)生清楚理解到這個(gè)有序關(guān)系中的前導(dǎo)關(guān)系和后續(xù)關(guān)系.下面以數(shù)理邏輯部分為例，展示如何將離散數(shù)學(xué)中不同的章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系清晰地建立起來，讓學(xué)生能夠輕松地掌握大量概念以及推理證明的數(shù)學(xué)符號(hào)之間的關(guān)系.

（一）構(gòu)造知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)理邏輯是方法論的學(xué)習(xí)，它是所有學(xué)科的基礎(chǔ)，同時(shí)，也貫穿在離散數(shù)學(xué)其他章節(jié)的內(nèi)容里.尤其需要說明的一點(diǎn)是：在條件關(guān)系中的“善意的推定”規(guī)則（即如果前件為假，則命題為真，不管后件如何），可以讓邏輯理論較完備，但學(xué)生通常不能理解和接受.但是通過數(shù)學(xué)推理中的一系列結(jié)論，可以讓學(xué)生清楚地了解到，規(guī)則制定的邏輯性和嚴(yán)密性.

首先，將知識(shí)結(jié)構(gòu)劃分為原子知識(shí)點(diǎn)，按照知識(shí)點(diǎn)的最小粒度進(jìn)行劃分.數(shù)理邏輯部分的內(nèi)容大致如圖1所示.

例如，一個(gè)最小的連接詞組就是一個(gè)集合.由一個(gè)或者若干個(gè)連接詞構(gòu)成的集合，使得對于任何命題公式都可以用這個(gè)集合中的某些連接詞來等價(jià)的表示，而刪除這個(gè)集合中的任何一個(gè)連接詞，就不能將所有的命題公式表達(dá)出來.因此，表達(dá)命題的基礎(chǔ)是連接詞，表達(dá)命題公式的基礎(chǔ)是命題.

（二）構(gòu)造知識(shí)點(diǎn)關(guān)系圖

為了讓學(xué)生更清楚地理解所有知識(shí)點(diǎn)之間的承接關(guān)系，我們在課堂上應(yīng)用離散數(shù)學(xué)中的關(guān)系表達(dá)方式，來將所有的知識(shí)點(diǎn)串接起來.以一個(gè)二元組表示（知識(shí)點(diǎn)，相鄰知識(shí)點(diǎn)），其中，關(guān)系包含兩種，即前驅(qū)與后繼，如圖2所示.2元組表達(dá)式（連接詞，集合），（連接詞，命題），（命題，命題公式）的第一個(gè)元素表示為前驅(qū)結(jié)點(diǎn)，第二個(gè)元素表示為后繼結(jié)點(diǎn).

然后，在知識(shí)點(diǎn)劃分的基礎(chǔ)之上，重點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.例如，連接詞和命題之間的關(guān)系，命題和命題公式之間的關(guān)系，等價(jià)式以及范式之間的關(guān)系，等價(jià)式和范式之間的關(guān)系，以及連接詞和等價(jià)公式之間的關(guān)系等等，是課程重點(diǎn).

（三）知識(shí)結(jié)構(gòu)模型

1.本章內(nèi)容之間的知識(shí)結(jié)構(gòu)

首先，梳理集合論本章的概念之間的遞進(jìn)聯(lián)系，讓學(xué)生能夠清楚課程內(nèi)容之間的本質(zhì)聯(lián)系.例如，由命題標(biāo)識(shí)符與命題連接詞之間的聯(lián)系引入命題公式，由原子命題和命題連接詞引入命題翻譯，由命題公式引入真值表，由真值表引入永真式和永假式以及可滿足式等.對知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行組織，形成無向圖如圖3所示.

2.不同章節(jié)之間內(nèi)容的知識(shí)結(jié)構(gòu)

我們不能只是局限于本章節(jié)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，要同時(shí)讓學(xué)生能夠理解不同章節(jié)之間的內(nèi)容的相關(guān)性.要讓學(xué)生了解到不同章節(jié)知識(shí)點(diǎn)看似松散，實(shí)則承前啟后，相互呼應(yīng).知識(shí)點(diǎn)所在的層次和深度會(huì)隨著所學(xué)習(xí)的課程內(nèi)容不斷擴(kuò)展.所以，形成本章內(nèi)容概念和其他章節(jié)內(nèi)容之間的鏈接，讓知識(shí)點(diǎn)之間形成一個(gè)有機(jī)的整體，才能最終讓學(xué)生真正掌握所學(xué)知識(shí).掌握這些概念的時(shí)候，不能孤立地一個(gè)個(gè)討論，必須有比較地看，討論它們之間的關(guān)系、區(qū)別和聯(lián)系，這樣才能比較容易把握住各個(gè)概念的實(shí)質(zhì).如果并運(yùn)算可以表示為滿足兩個(gè)命題的析取所構(gòu)成的所有元素，交運(yùn)算可以表示為兩個(gè)命題的合取所構(gòu)成的所有元素.另外，集合的敘述法可以用謂詞公式進(jìn)行描述.并且，集合中的全集可以看作謂詞邏輯中的重言式，空集是謂詞邏輯中的矛盾式.并且數(shù)理邏輯中的運(yùn)算定律在集合論中也成立.但是謂詞邏輯與集合論是兩個(gè)不同的范疇，需要注意它們之間的聯(lián)系和區(qū)別.

在理解關(guān)系的基本性質(zhì)的時(shí)候，根據(jù)定義，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)誤判，對定義不能完全理解.學(xué)生不能理解只有一個(gè)序偶的關(guān)系是具有傳遞性的，按照通常的理解學(xué)生認(rèn)為這里沒有傳遞關(guān)系的存在，如果只是簡單地讓學(xué)生記住判斷方法并不能消除學(xué)生心里的疑惑.我們要做的是讓學(xué)生真正地知其然并知其所以然.在這里，如果用數(shù)理邏輯的方式描述，學(xué)生會(huì)恍然大悟.因?yàn)槎x是以條件式的形式出現(xiàn)，因而前件為假，則條件式必定成立.所以，在沒有首尾相連的序偶對出現(xiàn)時(shí)，是滿足傳遞性的.

三、學(xué)生參與到知識(shí)結(jié)構(gòu)的組織中

在課外學(xué)時(shí)分小組對其進(jìn)行討論，通過提出特定化的問題，讓學(xué)生根據(jù)自己的思考，討論知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.例如，為了讓學(xué)生清楚地了解到集合中的概念和證明方法和數(shù)理邏輯之間的聯(lián)系，提出以下問題：（1）集合恒等式的證明方法有幾種？（2）命題邏輯和謂詞邏輯推理的方法有幾種？（3）比較二者之間的聯(lián)系.（4）比較集合中的列舉方法和數(shù)理邏輯中的真值表，并畫出表格進(jìn)行比較.（5）用數(shù)理邏輯中的連接詞將關(guān)系的五個(gè)基本類型表達(dá)出來.（6）集合中的等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系同數(shù)理邏輯中的蘊(yùn)含和等價(jià)式的概念如何聯(lián)系.在后續(xù)的教學(xué)中，我們也注意選取有趣的事例來活躍課堂.除了在內(nèi)容上選取有趣的事例外，在課堂教學(xué)中，我們還非常注意使用幽默風(fēng)趣的語言.這些嘗試激發(fā)了學(xué)生的直接學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，增強(qiáng)了對這門課程的興趣.對于間接性學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的激發(fā)，我們主要通過增加教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)的聯(lián)系，讓學(xué)生了解離散數(shù)學(xué)的重要性和作用.我們還將努力從不同的角度思考來改進(jìn)教學(xué)方法，改革課程內(nèi)容，讓離散數(shù)學(xué)這門古老的課程繼續(xù)煥發(fā)迷人的風(fēng)采.

【參考文獻(xiàn)】

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