陳明

【摘要】 本文介紹參數(shù)估計以及Matlab軟件，給出最大似然估計數(shù)學(xué)定義，闡述了Matlab軟件中Statistics Toolbox中Normfit函數(shù)格式和使用說明，并舉例加以說明，最后，強(qiáng)調(diào)論文的出發(fā)點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】 最大似然估計；Matlab；均值與方差

一、引 言

在很多實(shí)際問題中，為了進(jìn)行某些統(tǒng)計推斷，需要確定總體所服從的分布.通常根據(jù)問題的實(shí)際背景或適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計方法可以判斷總體分布的類型，但是總體的分布中往往含有未知參數(shù)，需要用樣本觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計，例如，學(xué)生的某門課程的考試成績通常服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ，σ2為未知參數(shù)，需要用樣本觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計，這就是所謂的參數(shù)估計.它是統(tǒng)計推斷的一種重要形式.Matlab和Mathematica、Maple并稱為三大數(shù)學(xué)軟件，它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中在數(shù)值計算方面首屈一指，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境，主要包括Matlab和Simulink兩大部分.Matlab含有30多個工具箱，其中Statistics Toolbox是專門用于統(tǒng)計的工具箱，包含200多個m文件（函數(shù)），主要支持概率分布、參數(shù)估計、描述統(tǒng)計、線性模型、非線性模型等應(yīng)用.

二、最大似然估計數(shù)學(xué)定義

設(shè)總體x為隨機(jī)變量，其分布的概率函數(shù)或密度函數(shù)已知，但θ為未知參數(shù)，x1，x2，…，xn為樣本觀測值，稱

L（θ）=∏ n i=1 P（xi，θ）=P（x1，θ）P（x2，θ）…P（xn，θ）

為似然函數(shù).當(dāng)θ=θ ^ 時，似然函數(shù)達(dá)到最大值，即稱θ ^ =θ ^ （x1，x2…xn）為參數(shù)θ的最大似然估計值，而θ ^ 可由方程 dL（θ） dθ =0解出，上述方程稱為似然方程.

三、Normfit函數(shù)說明

Normfit函數(shù)可求正態(tài)總體參數(shù)的最大似然估計和置信區(qū)間，其格式為[muhat，sigmahat，muci，sigmaci]=Normfit（x，P），其中x為樣本觀測值向量，1-P為置信度，muhat為總體均值μ的最大似然估計，muci為置信度1-P的置信區(qū)間，sigmahat為總體方差的最大似然估計，sigmaci為置信度1-P的置信區(qū)間.

四、舉例說明

從某公司生產(chǎn)的藥丸中隨機(jī)抽取10個，測得滾珠的直徑（單位：mm）如下：

15.14 14.81 15.11 15.26 15.08 15.17 15.12 14.95 15.05 14.87

若藥丸的直徑服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ，σ2未知，求μ，σ2最大似然估計和置信水平為90 % 的置信區(qū)間.

利用Matlab軟件，輸入如下代碼：

>>x=[15.14 14.81 15.11 15.26 15.08 1517 15.12 14.95 15.05 14.87]

>>[muhat，sigmahat，muci，sigmaci]=Normfit（x，0.1）

其計算結(jié)果為muhat=15.0560，sigmahat=0.1397，muci=[14.9750，15.1370]，sigmaci=[0.1019，0.2298]，即總體均值μ的最大似然估計為15.0560，90 % 置信區(qū)間為[149750，15.1370]，總體方差σ2最大似然估計為0.1397，90 % 置信區(qū)間為[0.1019，0.2298].

五、結(jié)束語

本文利用Matlab實(shí)現(xiàn)最大似然估計有兩個主要原因.第一是問題本身，即利用該軟件來計算結(jié)果，得出正確答案.第二是熟悉Matlab軟件，正如本文開頭所述，Matlab是數(shù)學(xué)專業(yè)軟件，作為數(shù)學(xué)的重要分支統(tǒng)計學(xué)，熟練使用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行統(tǒng)計學(xué)計算既是必備能力也是學(xué)生發(fā)展的需要.

【參考文獻(xiàn)】

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