湖南 石向陽(yáng) 劉 丹

(作者單位：湖南省長(zhǎng)沙市雅禮教育集團(tuán)南雅中學(xué))

一道江蘇高考真題的探究引申及應(yīng)用

一、試題呈現(xiàn)

在銳角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是________．

這是2016年江蘇省數(shù)學(xué)高考第14題，填空題的壓軸題．本題題意清晰，簡(jiǎn)潔明了，學(xué)生不需要花太多時(shí)間讀題、理解題意，且解題思路常規(guī)、明了，符合考試大綱的要求．看似平常無(wú)奇的問(wèn)題，卻有著多樣的解法、深刻的背景，完全可以考查出學(xué)生的知識(shí)面、計(jì)算能力等各方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

二、解法探究

解題的目標(biāo)是求tanAtanBtanC的最小值，是一個(gè)多變?cè)呛瘮?shù)條件最值問(wèn)題.解題大致方向有兩個(gè)，一是函數(shù)最值，二是基本不等式.為敘述方便，令u=tanAtanBtanC.

【解法二】由sinA=sin(π-A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，又sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC(1)，

在(1)式兩側(cè)同時(shí)除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC(2)，

把(2)、(3)式代入u,可得

由A,B,C為銳角可得tanA>0，tanB>0，tanC>0，由(3)得1-tanBtanC<0，解得t>1.

三、解法點(diǎn)評(píng)

解法四和解法五是基本不等式的方法，比前三種解法顯得更簡(jiǎn)捷，關(guān)鍵因素是用了一個(gè)重要結(jié)論：

對(duì)于任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

這個(gè)結(jié)論是和角正切公式的變形.課本有關(guān)于正切公式的變形的應(yīng)用.相關(guān)的經(jīng)典變式有：

2.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)·…·(1+tan44°)(1+tan45°)的值；

四、結(jié)論及推廣引申拓展

【定理】在任意非直角三角形△ABC中,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

【推論1】若A+B+C=kπ(k∈Z),且tanA,tanB,tanC都有意義，則tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

五、應(yīng)用舉例

【例1】在△ABC中，已知lgtanA+lgtanC=2lgtanB，求∠B的取值范圍.

【分析】此題直接入手很難，但注意到有類似b2-4ac≥0的形式，可用構(gòu)造方程的方法解題.

而由萬(wàn)能公式得

【例5】已知△ABC為非直角三角形，∠A>∠B，且tanA=-2tanB，求tanC的最大值.

(作者單位：湖南省長(zhǎng)沙市雅禮教育集團(tuán)南雅中學(xué))