安徽 劉 陽
(作者單位:安徽省阜陽市太和中學(xué))
一道圓錐曲線高考題的探索歷程
【例題】(2016·新課標(biāo)Ⅰ理·20)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.
(Ⅰ)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.
(1)考點(diǎn)、熱點(diǎn)的考查:直線、圓和橢圓.
(2)能力和應(yīng)用意識的考查:邏輯推理的能力、運(yùn)算求解的能力、數(shù)據(jù)處理的能力、數(shù)形結(jié)合應(yīng)用意識和設(shè)而不求應(yīng)用意識.
采取化整為零,步步為營的策略.
(1)“圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A”,將這句話“翻譯”為:“圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,圓心A(-1,0)”;
(2)“直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn)”,這句話表明直線l不與y軸垂直,這句話間接告訴考生此條件將為問題的解決隱含著什么;一是動(dòng)直線l方程的兩種設(shè)法,二是求點(diǎn)E的軌跡方程y隱含條件埋下伏筆;
(3)“過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E”,此處會(huì)讓考生聯(lián)想平行線的性質(zhì)定理和三角形相似性——在三角形中平行與一邊的直線將原三角形形成兩個(gè)三角形相似,同時(shí)由線段AC和線段AD都是圓A半徑,得出△ACD為等腰三角形;
(4)“證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程”,此問又含有兩小問:先證定值、接著根據(jù)定值判定軌跡曲線類型再書寫軌跡方程,要注意書寫方程根據(jù)點(diǎn)E的軌跡帶上y的限制條件;
【解】(Ⅰ)因?yàn)閨AD|=|AC|,EB∥AC,
故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,
故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|,如下圖.
又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,
從而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.
(Ⅱ)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).如下圖.
由題知Δ>0顯然成立,
過點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m:
當(dāng)與x軸垂直時(shí),其方程為x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四邊形MPNQ的面積為12.
又AC=AD,∴BE=DE,以下相同.
直線l的方程可化為:x-ty-1=0,t∈R,
直線m方程可以設(shè)為tx+y+c=0,
把B(1,0)代入得c=-t,
∴直線m方程:tx+y-t=0.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過橢圓的右焦點(diǎn)F作直線l1,l2,直線l1與橢圓分別交于M,N點(diǎn),直線l2與橢圓分別交于P,Q點(diǎn),且l1⊥l2,求四邊形MPNQ的面積S的最小值.
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)等號成立.
求四邊形ABCD的面積的最小值.
【解析】(1)若直線BD的斜率k=0或斜率不存在時(shí),四邊形MPNQ的面積S=4.
設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2),
(作者單位:安徽省阜陽市太和中學(xué))