張辰銘

【摘要】極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物.極限是高等數(shù)學(xué)中最基本的、最重要的概念，極限思想貫穿了高等數(shù)學(xué)的整個(gè)過程.本文就極限思想的發(fā)展和完善做了簡(jiǎn)要介紹并對(duì)極限求解的常用方法進(jìn)行匯總.

【關(guān)鍵詞】無窮；極限；微積分；函數(shù)

一、無窮小和悖論

古希臘有一個(gè)哲學(xué)家叫芝諾，他提出了“兩段法”來否認(rèn)人能從一個(gè)點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)，理由是正在行走的人從A地出發(fā)走到B地，首先他必須通過標(biāo)有中心的C點(diǎn)，這剛好是AB的中心點(diǎn).然后，他又得經(jīng)過路程的34的D點(diǎn)，這是BC的中心點(diǎn).接著，從D點(diǎn)出發(fā)，在到B之前他仍要經(jīng)過一個(gè)中心點(diǎn)，即路程78的E點(diǎn).從E點(diǎn)出發(fā)，他仍然得經(jīng)過EB的中心點(diǎn)F……由此類推下去，無論距離路程終點(diǎn)B有多么接近，他都得先經(jīng)過剩下路的中心點(diǎn).但是，這些中心點(diǎn)是無止境的，哪怕是微乎其微的距離，也總還有一個(gè)地方是這段距離的中心點(diǎn)，正因?yàn)橹行狞c(diǎn)是走不完的，所以行走的人雖然離終點(diǎn)越來越近，但他始終無法到達(dá)終點(diǎn).

他還提出了“阿里斯基和烏龜賽跑”悖論.阿里斯基是古希臘的半神英雄，是古希臘的第一勇士，以善跑著稱.芝諾指出：讓阿里斯基和烏龜賽跑，烏龜在阿里斯基前方1000米，假定阿里斯基的速度是烏龜速度的100倍，當(dāng)比賽開始后，若阿里斯基跑了1000米，用了t時(shí)間，此時(shí)，烏龜又已經(jīng)跑了10米，當(dāng)阿里斯基跑完下一個(gè)10米時(shí)，用的時(shí)間為t100，此時(shí)，烏龜仍然領(lǐng)先他0.1米，當(dāng)阿里斯基跑完下一個(gè)0.1米時(shí)烏龜仍然領(lǐng)先他，以此類推，阿里斯基只能無限接近而不能追上烏龜.

這本來是荒謬的，但芝諾提出的理由又是那樣的正當(dāng)，以至于長(zhǎng)久以來沒有人能駁倒他.縱觀歷史，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家們也一直對(duì)無窮這一概念糾纏不清，希臘人也一次一次表現(xiàn)出對(duì)無窮及無窮小數(shù)的恐懼.特別是在微積分的定義中更是如此.[1]

二、極限與微積分

極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物.數(shù)學(xué)分析就是以極限為基礎(chǔ)、極限理論為工具來研究函數(shù)性質(zhì)的.在我國古代，數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年建立了“割圓術(shù)”，就是借助于在圓內(nèi)的一串內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)數(shù)列來定義圓的周長(zhǎng)[2].同樣在古代其他國家，很多哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家也在實(shí)踐過程中應(yīng)用了極限思想.

進(jìn)入17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家對(duì)曲線的長(zhǎng)度問題、面積問題、幾何體的體積問題的解決產(chǎn)生了需求，雖然當(dāng)時(shí)對(duì)阿基米德的窮竭法已熟悉，但是對(duì)于希臘嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)失去耐心，一種粗糙的計(jì)算方法開始使用.如開普勒在計(jì)算求圓的面積時(shí)，把圓看成無數(shù)個(gè)小三角形，這種情況下圓周上的短弧成了三角形的底，半徑是三角形的高，但實(shí)際上需要做到這一點(diǎn)時(shí)三角形要縮成一條線才可以，所以當(dāng)時(shí)的方法粗糙不嚴(yán)謹(jǐn).到17世紀(jì)中葉，牛頓提出使用時(shí)間無窮小瞬為計(jì)算基礎(chǔ)的流數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用了微積分基本定理，《流數(shù)簡(jiǎn)論》標(biāo)志著微積分算法的誕生，但是這個(gè)無限小增量“瞬”被看成了靜止的無窮小量，當(dāng)略去帶0的項(xiàng)時(shí)相當(dāng)于直截了當(dāng)?shù)亓钇錇榱懔耍@種觀點(diǎn)在概念上是含糊的，在邏輯上也是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?此后，以貝克萊為首的很多人對(duì)流數(shù)的敘述“模糊不清”進(jìn)行了指責(zé)，最終導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī).[3]

從18世紀(jì)開始，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾就提出把極限理論作為分析的基礎(chǔ)，經(jīng)過了一個(gè)多世紀(jì)，通過達(dá)朗貝爾、拉格朗日、卡諾、泰勒、貝努利家族、歐拉等幾代科學(xué)家的努力，微積分獲得了飛速發(fā)展，在18世紀(jì)達(dá)到了空前燦爛的程度.數(shù)學(xué)分析與代數(shù)、幾何并列成為數(shù)學(xué)的三大學(xué)科，18世紀(jì)也被稱為“分析時(shí)代”.

到了19世紀(jì)，波爾查諾、柯西和維爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家在極限基礎(chǔ)上建立了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析體系，通過澄清極限、函數(shù)、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等概念，徹底排除了在微積分過程中涌現(xiàn)出的各種爭(zhēng)議，使分析達(dá)到了完美的程度.從此，建立在牢固的極限基礎(chǔ)之上的微積分理論使第二次數(shù)學(xué)危機(jī)宣告解決.

三、極限的求解方法

極限思想貫穿了數(shù)學(xué)分析的整個(gè)過程，本文就極限的重要求解方法進(jìn)行匯總舉例.

（一）利用函數(shù)極限的運(yùn)算法則

對(duì)于大部分函數(shù)的極限，一般情況下首先想到的是，是否可用函數(shù)極限的運(yùn)算法則來計(jì)算，法則本身簡(jiǎn)單易懂，而在使用的時(shí)候可以對(duì)原函數(shù)進(jìn)行通分、分解、替換等方式進(jìn)行恒等變換或化簡(jiǎn)，以使得新函數(shù)可以采用極限運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

在數(shù)學(xué)分析求導(dǎo)的過程當(dāng)中，我們主要對(duì)冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來求導(dǎo)，而這幾類函數(shù)大部分都是使用這兩個(gè)重要極限來幫助計(jì)算的，尤其在推導(dǎo)三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)過程當(dāng)中起到了至關(guān)重要的作用，利用這些結(jié)果可通過函數(shù)運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求出全部初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).而積分又是微分的逆運(yùn)算，依靠這些導(dǎo)數(shù)可以推出大量函數(shù)的積分.因此，這兩個(gè)極限是微積分的基礎(chǔ)，在整個(gè)微積分中起到了橋梁般的作用，所以解題過程中很多函數(shù)的極限可以用此方式來求解.

洛必達(dá)法則的好處就是在同一算式的計(jì)算當(dāng)中，如果滿足洛必達(dá)法則的使用條件，則在極限的求解過程中可多次使用，同時(shí)在使用過程中要慎重考慮法則條件中導(dǎo)數(shù)的存在性.在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中該法則的使用頻率也較高，是函數(shù)求極限的重要工具，上文中所講的兩個(gè)重要極限的求解也可以由該法則來推導(dǎo)得出.

四、小結(jié)

函數(shù)的連續(xù)、函數(shù)的求導(dǎo)、函數(shù)的積分等等都與極限的概念不可分割，如果要掌握好高等數(shù)學(xué)必須要掌握好對(duì)極限的理解.本文只是列舉出幾種常用的方法，在解題過程中還有其他的方法可以使用，在此不再一一列舉.而在函數(shù)的求解過程當(dāng)中，解題的方法可能不止一個(gè)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)姆绞絹硖幚順O限的求解.在學(xué)習(xí)的過程中我們不能機(jī)械地照搬，需要不斷地進(jìn)行總結(jié)、分析，不斷地完善知識(shí)的理論與結(jié)構(gòu)，才能在解題的過程中有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)新.

【參考文獻(xiàn)】

[1]理查德·曼凱維奇，著.數(shù)學(xué)的故事[M].馮速，譯.?？冢汉Ｄ铣霭嫔?，2001：196.

[2]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，2000：34.

[3]韓雪濤.數(shù)學(xué)悖論和三次數(shù)學(xué)危機(jī)[M].長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2007：154.