張春明

摘 要 數學教師上課之前都要進行備課，而備課質量的優(yōu)劣將直接影響到課堂教學的效果。所以，課前如何進行高質量的備課是高效教學的前提。根據數學這門課的特點，備課就是要處理好所授內容的學術形態(tài)與教學形態(tài)、預設與生成、差異性與整體性這三大關系。

關鍵詞 備課 學術形態(tài) 教學形態(tài) 預設 生成

因為備課質量的高低直接影響到課堂教學的效率與學生吸收知識的效果，故教師要思考從哪些角度切入才能備出好課。其實人教社的章建躍博士早就給出了思路，他認為要“理解數學、理解學生、理解教學”[1]，筆者概括為“備教材、備學情、備評價”。本文探討實際備課時要處理好的三大關系。

一、學術形態(tài)與教學形態(tài)的關系

現(xiàn)在的數學教材中呈現(xiàn)的內容并不是以該知識剛被發(fā)現(xiàn)時的原始面貌來編寫的，而是經過若干年后的發(fā)生、發(fā)展和完善，編者以最嚴密、最簡潔和最漂亮的形式呈現(xiàn)出來，所以教材中的內容已是高度的形式化和符號化，具有很強的抽象性，這便是教師要在課堂上傳授給學生的數學知識，這種形式被稱為數學內容的“學術形態(tài)”。如果教師照本宣科，按教材這樣的編寫形式來直接傳授，學生會感到枯燥乏味，同時也給學生一種錯覺：以為數學知識都是這樣，與生俱來就很完美，數學家最初發(fā)現(xiàn)該知識時就很完整、很嚴密。然而歷史事實并非如此，因為任何一個數學知識的產生和發(fā)展都不是一帆風順的，期間都經歷了一代代數學家們幾十年、幾百年甚至上千年的傳承、創(chuàng)新或爭論，才逐漸慢慢地發(fā)展起來直至完善[2]，而教材把這些已完善的數學知識通過“整容”變成了“冷美人”。這就需要教師根據學生的情況對教材中的數學內容進行有意識地再創(chuàng)造。比如，可以用現(xiàn)實生活中的實際例子來替代令學生感到陌生的教材中的引入；可以采用數學史上促使該知識產生的原始問題來探究；可以把當年數學家們對該知識點的爭論呈現(xiàn)給學生辨析；可以把教材中比較抽象的數學語言轉化為通俗的易于理解的語言傳授給學生；等等。而所有這些教師在備課時的再創(chuàng)造，就是數學知識的“教學形態(tài)”。只有這樣，學生才能體會到數學的趣味性，才會知道數學知識的產生絕非“冰冷的美麗”，也有“火熱的思考”。

當然，在把教材中數學知識的“學術形態(tài)”通過備課轉化為“教學形態(tài)”時，也不能隨心所欲。比如，不能為了一味追求有趣而沒有數學味，不能為了僅僅讓課堂生動而使設計的例子失去科學性或沒有思維含量，更不能脫離現(xiàn)實和數學本質而去刻意臆造情境。因此，教師在備課時始終要圍繞所傳授知識的數學本質，按照課標的要求抓住其核心內容，在此基礎上進行再創(chuàng)造。既要能把學生學習數學的積極性充分調動起來，又能緊扣教材避免有“去數學化”傾向，而這都需要教師在備課時對教材進行二次開發(fā)。

案例1 函數的單調性概念

在高中數學蘇教版必修1的2.2.1節(jié)“函數的單調性”中，該節(jié)課的教學目標就是要讓學生理解函數單調性概念并能證明與求單調區(qū)間，因此教學重點顯然就是函數單調性的概念，但教學難點是什么呢？仔細閱讀教材，一開始就先給出一個氣溫變化圖（如圖1），然后寫了一句話：怎樣用數學語言刻畫上述時間段內“隨著時間的增加氣溫逐漸升高”這一特征？接著就直接給出增函數與減函數的概念，最后安排了兩個例子：求單調區(qū)間與證明增函數。

教材的編寫就是典型的關于“函數單調性”這個知識的學術形態(tài)。以教材中單調增函數的概念為例：“一般地，設函數y=f（x）的定義域為I，區(qū)間I？哿A。如果對于區(qū)間I內的任意兩個值x1，x2，當x1

顯然，教材中的增函數概念非常精確也很嚴密，但抽象程度非常高，正是典型的高度符號化與抽象化的數學概念代表。這對于剛進入高中的高一學生來說，在理解上還存在難度。因“任意”涉及到了“無限向有限轉化”的思想，這需要認知上的一個提升，屬于質的飛躍，所以這個詞的理解是本節(jié)課的教學難點。一旦學生突破了這個難點，理解了“任意”的含義，則表明學生從形象的感性認識上升到了抽象的理性認識，學會了如何從定量分析轉化到定性分析，也進一步理解了高中數學概念中的形式化符號表征。

有了上述分析后就要思考：該怎樣講授才能突破這個難點呢？這只能從學生已有的認知基礎出發(fā)才能循序漸進地理解。學生對函數的熟悉顯然還只停留在初中所學的四個函數，包括它們的圖象，所以一定要利用好這個前提而不能僅靠教材中給出的氣溫變化圖這一個圖象。另外要給學生一系列的問題去思考，怎樣用數學語言來表達初中所講的“增大而增大”這個描述。確定了這樣一個教學思路和策略后，就可以對教材進行二次開發(fā)，設計出逐漸深入的問題串讓學生去探究。

設計片斷：首先展示圖1，讓學生直觀感受日常生活中某一天出現(xiàn)的哪些時間段氣溫在升高或下降，然后針對“氣溫隨著時間的增加慢慢上升”這個現(xiàn)象類比學生非常熟悉的函數f（x）=x2。學生根據圖象自然會知道在[0，+∞]內f（x）是隨x的增大而增大，接著就給出一個問題來探究：“怎樣用數學語言來刻畫f（x）=x2在[0，+∞]內f（x）是隨x的增大而增大？”這就是要讓學生學會用抽象的數學語言去表征形象化的文字語言。當然這樣提問難度太大，學生也回答不了，故可分解成若干個小問題來降低難度，于是就設計了下列一些環(huán)環(huán)緊扣的問題串。

（1）當0<1時，有f（0）

（2）當0<1<2<3<…時，有f（0）

（3）當有無數個x1

（4）如何才能讓自變量x取遍區(qū)間里的所有值呢？難道真需要這樣一個接一個列舉下去嗎？

當學生探究思考到這兒，就會很自然想到要用字母來代替數字，此時概念的符號化表達就呼之欲出了，同時也把“任意”兩字很輕松地解決了。教師還可以邊問邊用幾何畫板來演示f（x）=x2在[0，+∞]內點的運動軌跡，以增加教學的直觀性。

上述設計片斷便是教師授課時對單調增函數概念的“教學形態(tài)”，這樣才能讓學生易于理解抽象性的概念，即概念的“學術形態(tài)”，而剛才這個分析與思考過程就是備課中的一個環(huán)節(jié)。當然接下來的減函數概念理解也就水到渠成了。

二、預設與生成的關系

預設其實就是指對教學過程的預先設計，是對課堂動態(tài)系統(tǒng)的預先思考，通俗說法就是前面提到的“備課”過程。而生成是指教師在課堂的實際教學過程中產生的新問題，它可以是學生出乎意料的答案或想法，也可以是教師臨時發(fā)現(xiàn)的有矛盾甚至有誤的地方。

作為一名教師，對某一數學內容的教學過程進行預設后，在實際授課時可能會出現(xiàn)生成，而此時的生成經過教師反思后可成為下次傳授此內容的預設，于是生成就轉化為新的預設；同樣道理，如果再在授課時又產生新的生成，則此次生成還可成為再下次更新的預設。預設、生成，再預設、再生成，如此繼續(xù)循環(huán)下去，教師的預設就會越來越多，備課的質量也就會越來越高（如圖2）。

案例2 基本不等式的證明

（3）結合恒等式變換來證明

教師準備好上述幾種方法的預設還不夠，因為這些方法都只是代數角度的方法，除此之外還要預設幾何角度的證法。在蘇教版教材上安排了基本不等式的幾何意義（如圖3），就是一個半圓模型。因此受此啟發(fā)還有其他幾何方法：構造圓模型、弦圖模型等來推導[3]。即便預設了這么多的證法，仍然免不了課堂上可能還有其他意外證法的生成等。所以教師一定要不斷積累課堂隨時會產生的生成，并作為以后的預設，這樣才能在遇到新的生成時不心慌，不被打亂節(jié)奏，并能順利引導學生完成這節(jié)課的教學目標。

當然，預設畢竟是課前作的準備，是靜態(tài)的，而課堂是隨時在發(fā)生變化的一個動態(tài)過程。所以教師要因時因地，具體情況具體應變，既不要無視生成而一定要把預設全講完，也不要因生成多了而拋棄事先的預設導致無法實現(xiàn)教學目標。由此可見，預設與生成這個矛盾統(tǒng)一體一定要處理得當。預設是前提，生成是過程，只要教師在備課時能充分考慮到“生成”的可能情況，就能在課堂上應對自如。

三、差異性與整體性的關系

心理學研究表明，人與人之間是有差異的。這些差異可以體現(xiàn)在記憶力、理解能力、動手操作實踐能力等各方面。教師在課堂上授課時，雖然學生都在認真聽講，但他們的接受能力是不同的。這就要求教師在備課時需要考慮學生的個體差異性，還要考慮班級的整體性，也就是要保證每個學生都能達到這節(jié)課的教學目標。故在備課時，基于全體學生要掌握的基本教學目的，需要認真設計例習題，使它們的難度具有層次性，富有梯度。設計出符合不同程度學生的習題，既有讓他們能獨立完成的習題，又有各自“跳一跳夠得著”的拓展題。

教師在提問、講解時要從不同程度學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，巧妙靈活地應用各種教學策略或手段，圍繞不同層次的學生設計出“恰時恰點”的問題。教師若能在備課時合理安排好差異性與整體性的關系，也就做到了“因材施教”和隱性的“分層教學”。

備課時還要考慮評價，即練習題和作業(yè)的配置，此時也要兼顧差異性與整體性。如安排一些整體學生須掌握的基礎題與中等題，再安排一些拓展提高題，以訓練思維的深刻性與發(fā)散性。因此無論課前、課中還是課后，都要認真處理好差異性與整體性的關系。

參考文獻

[1] 章建躍.中學數學課改的十個論題[J].中學數學教學參考：高中版，2010（3）.

[2] 汪曉勤、韓祥臨.中學數學中的數學史[M].北京：科學出版社，2002.

[3] 沈金興.“形神兼?zhèn)洹敝挡坏仁叫蕾p[J].中學數學教學參考：高中版，2015（9）.

【責任編輯 郭振玲】