張 蓉，高玉斌

(中北大學 理學院，太原 030051)

一類含有3n個非零元的譜任意ray模式

張 蓉，高玉斌

(中北大學 理學院，太原 030051)

若對任意n次首一復系數多項式f(λ)，都存在復矩陣A∈Q(P)，使得A的特征多項式為f(λ)，則稱ray模式矩陣P為譜任意的。本文利用冪零-雅克比方法證明了一類含有3n個非零元的n階ray模式及其母模式為譜任意的。

冪零雅克比；譜任意；符號模式；ray模式

元素取自集合{1，-1，0}的矩陣稱為符號模式矩陣，簡稱符號模式。若A=[aij]是一個實矩陣，則把由aij的符號為元素所組成的矩陣稱為A的符號模式，記為sgnA。設為n階符號模式，記Q(A)={B/B為n階實矩陣，且sgnB=A}，則稱為A的定性矩陣類。如果對任意n次首一實系數多項式r(x)，在符號模式A的定性矩陣類Q(A)中存在一個矩陣B，使得B的特征多項式fB(x)=r(x)，則稱A是譜任意的。文獻[1]介紹了譜任意符號模式矩陣的定義，并且提出了證明符號模式為譜任意的冪零-雅克比方法。文獻[2-4]給出了各種類型的譜任意符號模式矩陣。

若n階矩陣P中元素為pij∈{eiθ:0≤θ≤2π}，則稱P為n階ray模式矩陣，簡稱ray模式。設p為n階ray模式，記Q(P)={A=[aij]∈Mn(C):aij=rijpij,rij∈R*,1≤i,j≤n}，則Q(P)稱為p的定性矩陣類。文獻[5]將證明符號模式為譜任意的冪零-雅克比方法推廣到了證明ray模式矩陣為譜任意。文獻[6]給出了幾類含有3n個非零元的n階譜任意ray模式矩陣。本論文證明了一類含有3n個非零元的n階譜任意ray模式。

引理1(冪零-雅克比方法) 設A為n階ray模式矩陣。

1) 在ray模式矩陣A的定性矩陣類中找到冪零矩陣；

2) 用變量t1,t2,…,t2n替換冪零矩陣中eθij的2n個正系數r1,r2,…,r2n，記所得矩陣為x；

3) 矩陣x的特征多項式可表示為：

xn+(f1(t1,t2,…,t2n)+ig1(t1,t2,…,t2n))xn-1+…+(fn(t1,t2,…,t2n)+ign(t1,t2,…,t2n))

若當t1,t2,…,t2n=r1,r2,…,r2n時，雅克比行列式J的值不等于零，則ray模式矩陣A及其母模式都是譜任意的。

本文證明如下含有3n個非零元的n(n≥6)階ray模式矩陣A為譜任意的。其中2個-1分別在(n,n-m+2)及(n,n)位置上。

設復矩陣B∈Q(A)，不妨設復矩陣B有如下形式：

(1)

定理1 設復矩陣B的特征多項式為

令αk=fk+igk，k=1,2,…,n，fk和gk為實系數，則有

(2)

(3)

證明

將行列式第2列的l1=λ倍加到第1列，第j+1列的lj=λj+b1iλj-1+b2iλj-2+…+bji,(j=2,…,n-2)倍加到第一列，第n列的ln-1=(λ-p)ln-2-bnln-m+bn-1i倍加到第1列，使得行列式第1列除(n,1) 位置外，其余都為0。按行列式的第1列展開可得：

所以有

定理2 ray模式矩陣A(n≥6)蘊含冪零。

令q→0，則有bj>0,j=1,2,…,n,aj>0,j=1,2,…,m-2,m,…,n,am-1<0。

定理3 ray模式矩陣A(n≥6)為譜任意的。

證明 復矩陣B的雅克比行列式為

[1] DREW J H,JOHNSON C R,OLESKY D D,et al.Spectrally arbitrary patterns[J].Linear Algebra and its Applications,2000,308(1):121-137.

[2] CAVERS M S,VANDER MEULEN KN,Spectrally and inertially arbitrary sign pattern[J].Linear Algebra and its Applications,2005.394:53-72.

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(責任編輯 陳 艷)

Class of Spectrally Arbitrary ray Patterns with 3nNonzero Entries

ZHANG Rong, GAO Yu-bin

(School of Science, North University of China,Taiyuan 030051, China)

A ray patternPis spectrally arbitrary if given any monic polynomialf(λ) of ordernwith complex coefficients, and there existsA∈Q(P), thus the characteristic polynomial ofAisf(λ). A class ray pattern of ordernmatrix with nonzero entries was presented．It is show that this ray pattern and its superpattern are spectrally arbitrary by nilpotent-Jacobi method．

nilpotent-Jacobi; spectrally arbitrary；sign pattern；ray pattern

2016-06-28 基金項目：國家自然科學基金資助項目(11071227)；山西省回國留學人員科研資助項目(12-070)

張蓉(1991—)，女，碩士研究生，主要從事組合數學研究，E-mail：1163064812@qq.com；通訊作者 高玉斌(1962—)，男，教授，博士，主要從事組合數學研究。

張蓉，高玉斌.一類含有3n個非零元的譜任意ray模式[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(2):157-162.

format：ZHANG Rong, GAO Yu-bin.Class of Spectrally Arbitrary ray Patterns with 3nNonzero Entries[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(2):157-162.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.02.026

O157

A

1674-8425(2017)02-0157-06