江蘇省盱眙中學(xué) (211700) 梁 義

一道常見(jiàn)試題變式的再思考

江蘇省盱眙中學(xué) (211700) 梁 義

波利亞指出："掌握數(shù)學(xué)就是善于解題."在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的過(guò)程中，教師應(yīng)適時(shí)的引導(dǎo)學(xué)生從不同的方法、角度、思維方式去觀察、聯(lián)想、分析，根據(jù)問(wèn)題的特定條件探索出一系列的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.所以一題多解的教學(xué)顯得格外重要，它充分讓學(xué)生自己思維，讓學(xué)生整理，讓學(xué)生在探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)，達(dá)到觸類旁通的效果.

下面筆者通過(guò)對(duì)一道高中常見(jiàn)試題的變式研究，來(lái)加以說(shuō)明，希望對(duì)讀者有所幫助.

在教學(xué)中給出這題時(shí)，學(xué)生很自然地給出下面這種做法：

反思：本題中的輔助角雖然不是特殊角，但前面的系數(shù)“4,3”都是較為特殊的數(shù)，因此對(duì)輔助角的取值是可以確定的，所以借助以上方法可以解決.但對(duì)于更一般的角，如55°，我們?cè)诖_定端點(diǎn)值時(shí)就顯得有點(diǎn)不知所措，這就需要我們結(jié)合各種知識(shí)，探究更多的解法，以便對(duì)這類題達(dá)到熟練解決.

方法二:(轉(zhuǎn)化為齊次式)

ⅰ)當(dāng)t=0時(shí)，y2=16；

點(diǎn)評(píng)：上述方法借助構(gòu)造齊次式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分式型函數(shù)的值域問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，達(dá)到了簡(jiǎn)化的效果！

點(diǎn)評(píng)：作為求函數(shù)值域的強(qiáng)有力的工具，準(zhǔn)確地求導(dǎo)，細(xì)致地劃分單調(diào)區(qū)間，是解決本題的關(guān)鍵所在.

圖1

圖2

方法六:(點(diǎn)到直線的距離)

圖3

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，這充分說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，正確地建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，構(gòu)建模型，將給我們解題帶來(lái)更加直觀的感受.