閆佳，馮帆，張永亮，賀亞峰

(河北大學 物理科學與技術學院，河北 保定 071002)

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Oregonator模型中欠擴散斑圖動力學

閆佳，馮帆，張永亮，賀亞峰

(河北大學 物理科學與技術學院，河北 保定 071002)

利用時間分數階微分Oregonator模型在Turing-Hopf切空間附近研究了欠擴散對斑圖動力學的影響.通過傅里葉和拉普拉斯變換對系統(tǒng)做了穩(wěn)定性分析，并進行了一維數值模擬.結果表明，活化子欠擴散時有利于抑制Turing模，增強Hopf模，而禁阻子欠擴散時則反之.研究結果對深入研究分形媒介中的斑圖動力學提供了依據.

斑圖動力學；傅里葉變化；反常擴散

斑圖動力學是非線性科學研究的一個重要方向.掌握時空斑圖形成機制對揭示生命的起源、開發(fā)治療心顫的新方法、解釋生態(tài)系統(tǒng)的諸多現象等都具有重要的現實意義[1].化學反應系統(tǒng)和Pt催化CO氧化反應系統(tǒng)是研究斑圖動力學常用的實驗系統(tǒng)[1-3],它們所呈現出的豐富的斑圖動力學(如螺旋波等)通常用反應擴散模型來描述.這些模型假設分子間發(fā)生化學反應所需時間遠小于分子擴散時間，并且反應物分子只向其最近鄰以固定的時間間隔進行獨立的空間擴散，即正常擴散情況.然而，對于化學反應中使用的溶膠和多孔玻璃等媒介，以及Pt催化CO氧化反應中的非均相Pt表面,它們通常具有分形結構,反應物分子在其中實際存在著反常擴散[4-10]，因此，有必要對反常擴散情況下的斑圖動力學進行深入研究.

正常擴散情況下斑圖動力學一般用傳統(tǒng)的整數階反應擴散方程描述，而反常擴散情況下的斑圖動力學則需要用分數階反應擴散方程描述,利用時間分數階微分(Caputo分數微分)描述欠擴散，利用空間分數階微分(Riemann-Liouville分數微分)描述超擴散[5-8].分數階反應擴散方程可以由統(tǒng)計動力學中的連續(xù)時間隨機行走模型得到[11],它的分析與數值模擬比正常擴散時要復雜得多,這方面的研究正處于起步階段.在欠擴散斑圖動力學研究方面：Henry等[12-13]研究了欠擴散時的Gierer-Meinhardt模型和Brusselator模型，他們發(fā)現在欠擴散時圖靈斑圖形成條件也不一定要求阻滯子的擴散系數必須大于活化子的,圖靈失穩(wěn)時的擴散系數比隨欠擴散指數降低.Gafiychuk等[14-16]主要討論了欠擴散FitzHugh-Nagumo模型中圖靈分叉與Hopf分叉過程.Barrio等[8]利用傅里葉與拉普拉斯變換方法分析了欠擴散時的圖靈分叉條件，得到了同樣的結論[8].本文利用時間分數階Oregonator模型研究了Turing-Hopf切空間附近欠擴散斑圖動力學，利用傅里葉與拉普拉斯變換進行了穩(wěn)定性分析，討論了擴散指數對Turing模與Hopf模的影響，并在一維空間進行了數值模擬.

1 模型分析與數值計算結果

考慮欠擴散2變量Oregonator反應擴散方程，欠擴散用時間分數階微分描述：

(1)

(2)

其中，變量u和υ表示活化子和禁阻子濃度，Du和Dυ分別是對應的擴散系數，ε描述變量的反應速率，f、q為控制參數.擴散指數α、β分別表示活化子和禁阻子時間分數階微分.

方程左邊為Caputo分數微分，其定義為

(3)

其中m-1<γ

(4)

(5)

其中，a11=(1-2u0-fυ02q/(u0+q)2)/ε，a12=f(u0-q)/(u0+q)/ε,a21=1，a22=-1，對(4)-(5)式做傅里葉和拉普拉斯變換得

sγU-sγ-1U(k,0)=a11U+a12V-Duk2U,

(6)

sγV-sγ-1V(k,0)=a21U+a22V-Duk2V,

(7)

其中，U和V分別為

(8)

(9)

解上式得

(10)

(11)

其中

S(k,s)=sα+β+sα(Dvk2-a22)+sβ(Duk2-a11)-k2(Dva11+Dua22)+DuDvk4+a11a22-a21a12，

(12)

顯然，μ(k,t)的時間演化由U和V的奇點給出，即S=0.對于Turing模失穩(wěn)需要滿足Re[s0(k=0)]<0和Re[s0(k≠0)]>0.對于Hopf模失穩(wěn)需要滿足Re[s0(k=0)]>0和Im[s0(k=0)]≠0.為了研究Turing-Hopf切空間反常擴散斑圖動力學，固定參數為Dμ=0.01,Dv=0.07,f=1.85,q=0.002,ε=0.15.由于時間分數階微分的計算具有時間記憶的特征，系統(tǒng)定態(tài)的數值計算需要非常大的內存，因此只在一維空間數值模擬欠擴散斑圖動力學.數值模擬的時間步長為dt=0.001時間單位，空間步長為dx=0.06空間單位.

首先，研究只有禁阻子欠擴散時Turing-Hopf切空間的斑圖動力學，即α=1,β<1.根據式(12)，圖1給出了系統(tǒng)色散關系，其中實線表示正常擴散時的色散曲線.由圖1可見，在正常擴散時，Turing模和Hopf模均失穩(wěn).當禁阻子發(fā)生欠擴散時，隨著擴散指數的減小，Hopf模的強度逐漸減小，Turing模比正常擴散時強度略增大.當β<0.82時，Hopf模小于零.Hopf模對應的振蕩頻率隨β減小而減小，因此，減小擴散指數β可以抑制Hopf模，增強Turing模.

a.β=0.4，α=1；b.β=0.6，α=1；c.β=0.8，α=1； 實線(虛線)對應正常(反常)擴散.

圖2給出了α=1時的一維數值模擬結果，其中橫軸表示時間，縱軸表示空間.由圖1可知，當β=0.4、0.6時，系統(tǒng)的Hopf模實部小于零，Turing模大于零，因此系統(tǒng)出現穩(wěn)定的Turing斑圖，如圖2a、b所示.當α=β=1時，反應物正常擴散，Hopf模和Turing模均大于零且存在競爭，此時形成時空振蕩斑圖，如圖2c所示.

a.β=0.4，α=1；b.β=0.6，α=1；c.β=1，α=1； 橫軸為時間，縱軸為空間，其他參數同圖1.

下面討論當只有活化子發(fā)生欠擴散時的斑圖動力學.圖3給出了β=1,α<1時的色散關系.由圖3可見，隨著擴散指數α的減小，Hopf模增強，Turing模減弱，系統(tǒng)振蕩頻率增加.這表明，活化子欠擴散有利于抑制Turing模，增強Hopf模，與上述禁阻子的作用相反.圖4給出了α=0.7、0.8、0.9時系統(tǒng)的時空演化，由于此時Hopf失穩(wěn)，因此系統(tǒng)出現空間均勻時間振蕩，且振蕩頻率隨減小而增加.

a.α=0.4，β=1；b.α=0.6，β=1；c.α=0.8，β=1； 實線(虛線)對應正常(反常)擴散.

a-c中α=0.7、0.8、0.9,β=1，其他參數同圖3.

反常擴散指數α=β=0.7; 實線(虛線)對應正常(反常)擴散. 圖5 色散關系

以上2種情況分別考慮了只有活化子或只有禁阻子發(fā)生欠擴散時對系統(tǒng)動力學的影響.當反應物分子在反應媒介中具有相同的欠擴散特性時，考慮活化子和禁阻子的擴散指數相同，即α=β≤1.此時，系統(tǒng)的色散關系如圖5所示，其中的實線表示正常擴散時的色散曲線.由圖5可見，與正常擴散相比，當活化子和禁阻子存在相同的欠擴散時，系統(tǒng)的Hopf模降低，振蕩頻率增加，Turing模也有所減弱.

2 結論

利用時間分數階Oregonator模型在Turing-Hopf切空間附近研究了欠擴散斑圖動力學，通過傅里葉與拉普拉斯變換對系統(tǒng)進行了穩(wěn)定性分析，討論了擴散指數對Turing模與Hopf模的影響，并在一維空間進行了數值模擬.結果表明，活化子欠擴散時有利于抑制Turing模，增強Hopf模，而禁阻子欠擴散時則反之.如果同時考慮活化子和禁阻子欠擴散，即α=β≤1，則欠擴散更大程度上是抑制Hopf模，改變系統(tǒng)的振蕩頻率，同時對Turing模也有一定的影響.

化學反應系統(tǒng)中反應物分子欠擴散時，其擴散速度低于正常擴散時的速度.在Oregonator模型中可以用小擴散系數或時間分數階微分來描述較慢的擴散過程.禁阻子欠擴散時，Turing模得到增強，等效于正常擴散時增加禁阻子的擴散系數.因此，與正常擴散相比，當禁阻子欠擴散時，禁阻子擴散系數不一定要比活化子的擴散系數大.這意味著，在分形媒介中，即使活化子與禁阻子的擴散系數相同時，仍然有望得到Turing斑圖.筆者研究結果對深入研究Pt催化CO氧化反應與分形媒介化學反應實驗中時空斑圖形成機理提供了理論與數值依據.

[1] 歐陽頎．非線性科學與斑圖動力學導論[M]．北京:北京大學出版社，2010.

[2] BANSAGI JR T,VANAG V K,EPSTEIN I R.Tomography of reaction-diffusion microemulsions reveals three-dimensional Turing patterns [J].Science,2011,331:1309.DOI:10.1126/science.1200815.

[3] SACHS C,HILDEBRAND M,VOLKENING S,et al.Spatiotemporal self-organization in a surface reaction:from the atomic to the mesoscopic scale [J].Science,2001,31:1635.DOI:10.1126/science.1062883.

[4] 辛厚文.分形介質反應動力學[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，1997：18.

[5] METZLER R,KLAFTER J.The random walk's guide to anomalous diffusion:A fractional dynamics approach [J].Phys Rep,2000,339:1.DOI:10.1103/PhysRevE.62.2555.

[6] DRAZER G,ZANETTE D H.Experimental evidence of power law trapping time distributions in porous media [J].Phys Rev E,1999,60:5858.DOI:10.1103/PhysRevE.60.5858.

[7] WEEKS E R,WEITZ D A.Subdiffusion and the cage effect studied near the colloidal glasstransition,Chem [J].Phys,2002,284:361.DOI:10.1103/PhysRevLett.89.095704.

[8] HERNANDEZ D,VAREA C,BARRIO R A.Dynamics of reaction diffusion systems in a subdiffusive regime [J].Phys Rev E,2009,79:026109.DOI:10.1103/PhysRevE.79.026109.

[9] GAFIYCHUKV V,DATSKO B Y.Stability analysis and oscillatory structures in time-fractional reaction-diffusion systems [J].Phys Rev E,2007,75:055201.DOI:10.1103/PhysRevE.75.055201.

[10] BERTRAM M,MIKHAILOV A S.Pattern formation on the edge of chaos:Mathematical modeling of CO oxidation on a Pt(110) surface under global delayed feedback[J].Phys Rev E,2003,67:036207.DOI:10.1103/PhysRevE.67.036207.

[11] HENRY B I,LANGLANDST A M,WEARNE S L.Anomalous diffusion with linear reaction dynamics:From continuous time random walks to fractional reaction-diffusion equations[J].Phys Rev E,2006,74:031116.DOI:10.1103/PhysRevE.74.031116.

[12] HENRY B I,LANGLANDS T A M,WEARNE S L.Turing pattern formation in fraction activator-inhibitor systems [J].Phys Rev E,2005,72:026101.DOI:10.1103/PhysRevE.72.026101.

[13] LANDLANDS A M,HENRY B I,WEARNE S L.Turing pattern formation with fractional diffusion and fractional reactions [J].Phys Condens Matter,2007,19:065115.DOI:10.1088/0953-8984/19/6/065115.

[14] GAFIYCHUK V V,DATSKO B Y.Spatiotemporal pattern formation in fractional reaction-diffusion systems with indices of different order[J].Phys Rev E,2008,77:066210.DOI:10.1103/PhysRevE.77.066210.

[15] GAFIYCHUK V V,DATSKO B Y.Pattern formation in a fractional reaction-diffusion system [J].Physica A,2006,365:300.DOI:10.1016/j.physa.2005.09.046.

[16] DASTKO B Y,GAFIYCHUK V V.Self-organization phenomena in reaction diffusion systems with non-integer order time derivatives [J].Phys Scr,2009,136:014027.DOI:10.1088/0031-8949/2009/T136/014027.

(責任編輯：孟素蘭)

Pattern formation induced by subdiffusion in Oregonator model

YAN Jia,FENG Fan,ZHANG Yongliang,HE Yafeng

(College of Physics Science and Technology,Hebei University,Baoding 071002,China)

Effect of subdiffusion on the dynamics of pattern formation is studied near codimension-two Turing-Hopf bifurcations in a fractional-in-time Oregonator model.Stability analysis is performed by using Fourier and Laplace transforms,and numerical simulations are conducted in one dimension.Our results have shown that the subdiffusion of activator can depress Turing mode and promote Hopf mode.In the case of subdiffusion of inhibitor,the results are reversed.The results obtained here are helpful to the intensive study of pattern formation in fractal media.

pattern formation;Fourier transform;anomalous diffusion

10.3969/j.issn.1000-1565.2017.01.004

2016-04-14

國家自然科學基金資助項目(11205044，11405042)；河北省自然科學基金資助項目(A2011201006；A2012201015)；河北省教育廳基金資助項目(Y2012009)；中西部高校綜合實力提升工程；河北大學科學研究基金資助項目

閆佳(1991—)，男，陜西麟游人，河北大學在讀碩士研究生，主要從事斑圖動力學方面研究. E-mail:245323970@qq.com

賀亞峰(1978—)，男，河北陽原人，河北大學副教授，主要從事斑圖動力學方面研究.E-mail:heyf@hbu.edu.cn

O415

A

1000-1565(2017)01-0019-05