☉江蘇東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán) 崔恒劉

發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)遞進(jìn)解題

☉江蘇東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán) 崔恒劉

牛頓從蘋果砸頭的情景中發(fā)現(xiàn)萬有引力，瓦特從開水壺嘴噴氣的情景中發(fā)明蒸汽機(jī)……任何發(fā)現(xiàn)、發(fā)明離不開必要的情景，因此新課程標(biāo)準(zhǔn)提倡探究性學(xué)習(xí)，要求在新知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，先創(chuàng)設(shè)必要的情景，再引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想，不斷嘗試，以期從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律解決問題.體現(xiàn)在近幾年的中考?jí)狠S題中，出現(xiàn)了“分析試題提供的信息和內(nèi)部的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)并利用其隱含的關(guān)聯(lián)效應(yīng)解題”的新趨勢(shì).本文以2016年淮安市中考試題第28題為例說明這類考題的應(yīng)對(duì)策略.

一、中考真題

問題背景：

如圖1，在四邊形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD= BD，探究線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1

圖2

小吳同學(xué)探究此問題的思路是：將△BCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)A、E處（如圖2），易證點(diǎn)C、A、E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以從而得出結(jié)論：AC+ B

簡(jiǎn)單應(yīng)用：

（2）如圖3，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，弧AD=弧BD，若AB=13，BC=12，求CD的長(zhǎng).

圖3

圖4

圖5

拓展規(guī)律：

（3）如圖4，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的長(zhǎng)（用含m、n的代數(shù)式表示）.

（4）如圖5，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E滿足AE=C，CE=CA，點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn)，則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是________.

二、思路探究

首先要讀懂問題背景提供的模型：四邊形由有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形組成（公共斜邊的兩側(cè)），其中一個(gè)是等腰直角三角形，則另一個(gè)直角三角形的兩直角邊之和等于四邊形兩個(gè)直角頂點(diǎn)之間距離的

第（1）問是熱身，它把背景問題數(shù)量化，只要將給出的AC與BC的長(zhǎng)度值代入問題背景提供的結(jié)論AC+BC=，即可得出CD的長(zhǎng)度，屬于送分題.

解答（2），勿忘（1），第（2）問改變了問題的情景，將直線型的圖形放置在圓中，由于已知AB為⊙O的直徑，且弧AD=弧BD，則必然會(huì)想到圓的相關(guān)性質(zhì)：直徑所對(duì)圓周角為直角，同圓中等弧所對(duì)弦相等，由此提示我們連接AC、BD、AD，便有了問題背景提供的模型“有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形組成（公共斜邊的兩側(cè)）的四邊形，其中一個(gè)是等腰直角三角形”，利用問題背景所給出的證明思路即可求出CD的長(zhǎng)度；牢記問題背景提供的模型真的好解題.

第（3）問與問題背景不同的是：由在斜邊兩側(cè)的兩個(gè)直角三角形變?yōu)榱嗽谕瑐?cè)的兩個(gè)直角三角形，怎么辦？轉(zhuǎn)化，構(gòu)造背景提供的模型，然后利用問題背景提供的模型求解.第（2）問中多了個(gè)圓，試試作以AB為直徑的⊙O，如圖6，圓是軸對(duì)稱圖形，因此把△ABD沿直線AB翻折，又有了問題背景提供的模型，由此可求CD1，D1D是直徑，所以利用勾股定理即可求出CD的長(zhǎng)度.

第（4）問，題圖簡(jiǎn)單，問題是圖沒畫全，要我們自己畫圖，肯定有文章，原來點(diǎn)E的位置有兩種，一是點(diǎn)E在直線AC的右側(cè)，二是點(diǎn)E在直線AC的左側(cè).分別畫出圖7、8，下面的事就是嘗試構(gòu)造問題背景中的模型.等腰、中點(diǎn)，連接CQ、CP后，問題背景中的模型便有了.

三、試題解答

（1）由問題背景提供的信息，可知：AC+BC=■：2CD.

將AC與BC的長(zhǎng)度值代入：

（2）連接AC、BD、AD.

在⊙O中，由AB是⊙O的直徑，得∠ADB=∠ACB= 90°.又AB=13，BC=12，則AC=5.

由弧AD=弧BD，得AD=BD.

由于∠ACB=∠ADB=90°，所以O(shè)A=OB=OC=OD，所以A、C、D、B四點(diǎn)都在⊙O上.連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D1，連接D1A、D1B、D1C，則∠AD1B=90°.由AD=BD，得AD1= BD1，如圖6.

由D1D是⊙O的直徑，得∠DCD1=90°.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=m2+n2.

在Rt△DCD1中，由勾股定理，得DD12=CD12+CD2.

圖6

圖7

（4）當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時(shí)，如圖7，連接CQ、PC.

由AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，得AP=CP，∠APC=90°.

由CA=CE，點(diǎn)Q是AE的中點(diǎn)，得∠CQA=90°.

當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的右側(cè)時(shí)，如圖8，連接CQ、CP.

圖8

同理可知：∠AQC=∠APC=90°.

設(shè)AC=a.

四、教學(xué)反思

布魯納說：“學(xué)習(xí)不但應(yīng)該把我們帶往某處，而且還應(yīng)該讓我們?nèi)蘸蟮睦^續(xù)前進(jìn)更容易.”波利亞指出的：“在解題的每一階段……我們都要用已經(jīng)得到的知識(shí)去得出更多知識(shí).我們要靠逐省逐省的占領(lǐng)去最后征服一個(gè)王國.在每個(gè)階段，我們利用已被征服的省份作為行動(dòng)基地去征服下一個(gè)省份.”本題提供問題背景，讓學(xué)生在閱讀理解的過程中，掌握一個(gè)基本模型，再在簡(jiǎn)單應(yīng)用環(huán)節(jié)中，用問題（1）讓學(xué)生直接套用基本模型以進(jìn)一步熟悉模型，設(shè)計(jì)問題（2）讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)構(gòu)建基本模型解決問題，以加深理解基本模型；問題（2）比問題（1）進(jìn)了一步；在拓展規(guī)律環(huán)節(jié)中，對(duì)基本模型進(jìn)行變化，將兩個(gè)直角三角形在公共斜邊的兩側(cè)變?yōu)橥瑐?cè)設(shè)計(jì)問題（3），引導(dǎo)學(xué)生深入研究問題，要想順利解答問題（3），必須回到基本模型中，深入理解基本模型的研究思路，尋找變化后的問題與基本模型之間的關(guān)系，有效地化歸問題；問題（4）則體現(xiàn)了基本模型的應(yīng)用價(jià)值，題中畫圖留白，提醒學(xué)生注意分類研究.四個(gè)問題，每一問都緊扣著前一問，運(yùn)用規(guī)律、層層遞進(jìn)、創(chuàng)新探究，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的建模思想和應(yīng)用價(jià)值，對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新思維進(jìn)行考查，有利于開展研究性學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文教育功能.

遞進(jìn)式的綜合探究題，編制上往往有一個(gè)特點(diǎn)，就是問題設(shè)計(jì)層層深入，后一個(gè)問題的解答或者直接應(yīng)用上一個(gè)問題的結(jié)論，或者類比上一個(gè)問題的研究思路方法.表現(xiàn)在能力層次上的要求為：模仿→構(gòu)建→運(yùn)用.解題的應(yīng)對(duì)策略是：首先，要理解題目提供的問題背景，即基本模型，只有在理解了基本模型的基礎(chǔ)上才能運(yùn)用基本模型；其次，探尋問題與基本模型之間的關(guān)系，將要解決的問題轉(zhuǎn)化為基本問題.化歸思想在數(shù)學(xué)中幾乎無處不在，它是數(shù)學(xué)教學(xué)中最基本的思想方法，在遞進(jìn)式的綜合探究題中顯得特別搶眼.

數(shù)學(xué)解題是一個(gè)不斷地將未知轉(zhuǎn)化為已知，由不熟悉轉(zhuǎn)化為熟悉的過程，命題者在命題時(shí)會(huì)鋪設(shè)臺(tái)階，一步一步提升難度.在解題時(shí)，我們要將題中的條件與問題聯(lián)系起來觀察、比較、聯(lián)想，從而發(fā)現(xiàn)題目?jī)?nèi)部的關(guān)聯(lián)、遞進(jìn)關(guān)系，洞察命題者發(fā)出的暗語：層層誘導(dǎo)，先通過特殊情形認(rèn)識(shí)問題，再進(jìn)一步解決特殊化的數(shù)學(xué)問題，最后利用上述形成的結(jié)論或方法，來解決后面的數(shù)學(xué)問題，最終順利解決問題.近年來，中考數(shù)學(xué)壓軸題特別重視突出數(shù)學(xué)思想和方法的考查.因此，在平時(shí)的教學(xué)中，要注意體會(huì)、歸納教材、題目中的數(shù)學(xué)思想方法.尤其在中考復(fù)習(xí)時(shí)，教師更應(yīng)有意識(shí)、有目的、適時(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法，從解題過程中獲取解題經(jīng)驗(yàn)，感受解題過程中的思維體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生有效利用數(shù)學(xué)思想方法解決相關(guān)問題的能力.

1.波利亞：數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)［M］，呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社，1982.