信艾佳

山東省無(wú)棣縣第一高級(jí)中學(xué)

高中數(shù)學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”

信艾佳

山東省無(wú)棣縣第一高級(jí)中學(xué)

縱觀近年的高考數(shù)學(xué)試卷不難發(fā)現(xiàn)，圍繞“數(shù)形結(jié)合”思想設(shè)置的題目不勝枚舉。因此，為了讓我們更好地掌握這種思想，提高應(yīng)試解題能力，本文以“數(shù)形結(jié)合”的部分案例為主要研究對(duì)象，望能夠?yàn)楫?dāng)前處在高三復(fù)習(xí)階段的廣大同學(xué)提供一定的借鑒和啟示。

高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；數(shù)形結(jié)合

一、數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于學(xué)好高中數(shù)學(xué)的意義所在

數(shù)形結(jié)合思想不僅對(duì)教師設(shè)計(jì)課堂教學(xué)有重要的引導(dǎo)作用，對(duì)于高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，也具有非常重要的指導(dǎo)意義。

首先，數(shù)形結(jié)合思想有助于我們更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，形成系統(tǒng)的模塊。事實(shí)上在小學(xué)和初中階段，我們就接觸過(guò)較為簡(jiǎn)單的“數(shù)形結(jié)合”案例，比如植樹問(wèn)題、簡(jiǎn)單的函數(shù)問(wèn)題等。但是進(jìn)入高中以后，我們所面對(duì)的問(wèn)題由簡(jiǎn)單變得復(fù)雜，由單一變得寬泛，需要我們有更為強(qiáng)大的駕馭和統(tǒng)籌能力，將不同模塊的知識(shí)囊括在統(tǒng)一的系統(tǒng)當(dāng)中，將抽象問(wèn)題具象化、將直觀問(wèn)題概念化，在不斷參與和體驗(yàn)問(wèn)題的過(guò)程中加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解。

其次，數(shù)形結(jié)合思想能培養(yǎng)我們的抽象思維和形象思維。隨著高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入，我們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)亦在不斷完善，思維方式也日漸成熟。比如當(dāng)我們接觸了高中階段的函數(shù)知識(shí)之后，只要提到不同的函數(shù)類型，隨即便會(huì)聯(lián)想到各種不同類型的解析式及相應(yīng)的圖像；再比如學(xué)習(xí)到橢圓、雙曲線時(shí)，我們亦會(huì)聯(lián)想到相應(yīng)的圖形、解析式和概念，以及圖形上的焦點(diǎn)和漸進(jìn)線等。換言之，我們可以通過(guò)具體的數(shù)聯(lián)想到相應(yīng)的圖像、通過(guò)形能夠提煉出它的代數(shù)式，實(shí)現(xiàn)動(dòng)與靜的結(jié)合，全面、辯證地看待問(wèn)題，不斷培養(yǎng)自身的抽象和形象思維。

最后，數(shù)形結(jié)合思想能有效培養(yǎng)我們發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的能力。在日常學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們習(xí)慣于通過(guò)觀察表面現(xiàn)象進(jìn)而發(fā)掘現(xiàn)象之下的內(nèi)部變化規(guī)律、探究其本質(zhì)的方法；但是“數(shù)”與“形”的結(jié)合，卻能夠有效引導(dǎo)我們發(fā)現(xiàn)數(shù)、圖像以及二者之間關(guān)聯(lián)性等各種規(guī)律，會(huì)幫助我們多角度、多層次地考慮問(wèn)題，用不同的方法解決問(wèn)題。

二、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透

(一)函數(shù)部分

數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問(wèn)題上有廣泛應(yīng)用，比如函數(shù)的值域和定義域問(wèn)題，函數(shù)極值問(wèn)題、零點(diǎn)問(wèn)題等，其具體的解決方式主要是以形輔數(shù)或以數(shù)輔形。

以這樣一道題目為例：求函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間[t，t+3]的最大和最小值。

通過(guò)分析可知，該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為x=1(直線)，而x本身的取值范圍是[t，t+3]，由于函數(shù)取值范圍本身充滿了不確定性，就意味著我們?cè)诮忸}時(shí)，要考慮[t，t+3]與x=1之間的關(guān)系，那么這道題目就自然而然會(huì)出現(xiàn)三種可能性：

(1)[t，t+3]在x=1的左則，即意味著t+3≤1時(shí)，最大值為f(t)，最小值為f(t+3)；

(2)[t，t+3]在x=1的右則，即意味著t≥1時(shí)，最大值為f(t+3)，最小值為f(t)；

(3)x=1在[t，t+3]內(nèi)，t≤1≤t+3時(shí)，最小值為f(1)，但此時(shí)最大值卻被細(xì)化為兩種可能：

由此可見，在解決這道題目時(shí)，我們將函數(shù)的圖像置于思維當(dāng)中，隨時(shí)考慮可移動(dòng)區(qū)間與對(duì)稱軸之間的關(guān)系，那么解決這道題目過(guò)程中產(chǎn)生的障礙自然降低，我們的思路也會(huì)更加清晰。

(二)集合部分

在高中數(shù)學(xué)教材中，集合是開篇。我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)的開始階段，掌握了集合的定義、性質(zhì)和表示方法，懂得了與集合相關(guān)的重要概念，如交集、并集、子集和補(bǔ)集等。而在綜合性的集合題目中，利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決問(wèn)題無(wú)疑是難點(diǎn)和重點(diǎn)。

綜合兩種可能性，a的取值范圍為1≤a≤3，且a≠2。

(三)綜合應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想除了在上述函數(shù)和集合學(xué)習(xí)中有著廣泛應(yīng)用外，在“數(shù)與形”交叉領(lǐng)域也有著廣泛滲透。具體來(lái)講，在進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)問(wèn)題解決時(shí)，當(dāng)遇到相對(duì)復(fù)雜的知識(shí)和問(wèn)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想的有效運(yùn)用，能夠快速找到突破口，提高問(wèn)題解決效率。例如，當(dāng)遇到“如果未知數(shù)x和y都是正數(shù)，并滿足x2-y2=1的條件，那么請(qǐng)問(wèn)y/x-2具體取值范圍是多少？”此時(shí)，如實(shí)學(xué)會(huì)幾何意義和代數(shù)意義的交叉應(yīng)用，就能夠迅速和高效地解決問(wèn)題。我們?cè)谟龅缴鲜鰡?wèn)題時(shí)，許多同學(xué)會(huì)想到不同的解決方法，但“單刀直入”地進(jìn)行解題會(huì)造成解題步驟的復(fù)雜化，帶來(lái)許多不必要的麻煩，不僅降低了解題效率，而且降低了解題精準(zhǔn)度。因此，在遇到這類綜合性數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)該更多地思考如何利用數(shù)學(xué)結(jié)合方法進(jìn)行解決，將代數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)化為幾何知識(shí)找到突破口，然后在具體運(yùn)算中再次將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算，這樣就能夠快速和精準(zhǔn)地找到最終答案。

三、結(jié)論

總而言之，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段有著十分重要的意義，同時(shí)其也是近年來(lái)高考數(shù)學(xué)試卷當(dāng)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)考查最為常見的內(nèi)容之一。為了不斷培養(yǎng)和加強(qiáng)我們對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)知，能夠在面對(duì)一道具體的題目時(shí)快速切入、找到重點(diǎn)，我們不僅要加強(qiáng)練習(xí)、懂得積累，更重要的是要學(xué)會(huì)收集數(shù)學(xué)模型，提高自己對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題解構(gòu)、分析的能力。

[1]孔令偉.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用[D].遼寧師范大學(xué)，2012：12-20.

[2]張艷.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].中國(guó)校外教育，2016(31)：55+57.

[3]劉桂玲.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析[J].中國(guó)校外教育，2015(13)：106.